精品解析：湖南省衡阳市祁东县2024届高三第三次联考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 函数零点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程 所确定的隐函数的导数，将方程 的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正四棱台容器的高为12cm， ，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线 与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数 ，，均不为0，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数 满足，且，则 B. 若复数 满足，则 C. 若，则 D. 若复数，满足，则 10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则________，该直线的方程为________． 13. 4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________． 14. 在长方体中，，平面平面，则 截四面体所得截面面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列． （1）求数列的公差； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，在三棱柱中，平面 平面 ，平面 平面 ． （1）证明： 平面ABC． （2）若 ，，求直线BC与平面所成角的正弦值． 17. 小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍． （1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率； （2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2， ，10）的概率为，则当k为何值时，最大？ 18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6. （1）求抛物线的方程. （2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于 两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 19. 已知函数． （1）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）已知是的零点，是的零点． ①证明：， ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把双曲线方程中的1换为0，可得渐近线方程. 【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，即． 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，故，可得，进而可求值. 【详解】令，则，故， ． 故选：A. 4. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前 的平均数分别为，， 剔除两对数据后 的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得 . 故选：C. 5. 函数零点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】将零点问题转化为交点问题，利用函数性质判断即可. 【详解】令，可得， 则函数零点的个数为与 的交点个数， 显然与 均关于对称， 又当时，，当时，， 再结合两个函数的图象，可得与 有5个交点， 故函数零点的个数为5，故C正确. 故选：C 6. 如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程 所确定的隐函数的导数，将方程 的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可. 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得， 解得，故切线斜率为，得到切线方程为， 化简得方程为，故B正确. 故选：B 7. 如图，正四棱台容器的高为12cm， ，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案. 【详解】正四棱台容器的高为12cm， ，， 正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为， 其体积为； 放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图， 其中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm， 是水的高为9 cm， 由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm， 此时水的体积为， 放入的57个球的体积为， 设小铁球的半径为，则，解得. 故选：A 8. 设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，且，则 B. 若复数满足，则 C. 若，则 D. 若复数，满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A选项，令，a，，则， 因为，且，所以，则，故，故A正确； 对于B选项，令，则由，得， 所以，故B正确； 对于C选项，令，，此时，，，故C错误； 对于D选项，令，， 则，所以， ，故D正确. 故选：ABD 10. 已知 内角 的对边分别为为 的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是 的重心，延长交于点 ，则 是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC． 11. 已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数对称性的定义判断A，利用周期性的定义判断B，利用给定区间的函数解析式求解未知解析式判断C，利用周期性对函数求和判断D即可. 【详解】由的图象关于直线对称,可知即所以 图象关于轴对称,故A正确. 由可得又, 所以可知 的图象关于对称， 所以， 所以 是周期为4的周期函数， 则故B错误. 当时, 又因为 所以 即 在区间上的解析式为故C错误. 因为 ，， 所以， 所以， 所以.故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则________，该直线的方程为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可. 【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得 (其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为 ， 故答案为：1； 13. 4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________． 【答案】 【解析】 【分析】采用分步乘法原理和排列计算结合插空法求出. 【详解】4名男生先排，共有种， 2名女生再排，共有种，再将2名女生插空到男生中， 若两名女生一起，可排在最左边，中间，最右边，共有3种； 若两名女生分开排，则有种； 所以一共有种， 故答案为：. 14. 在长方体中，，平面平面，则 截四面体所得截面面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意画出对应图形后，设，则有，则有，借助 表示出面积，结合二次函数的性质即可得. 【详解】平面 截四面体的截面如图所示， 设，则，所以四边形为平行四边形， 且， 在矩形中，，， 则 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的性质求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列． （1）求数列的公差； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据为等差，得到，求出公差； （2）得到，裂项相消法求和，得到答案. 【小问1详解】 设数列的公差为d，则． 因为是等差数列，所以为常数． ， 所以，解得 【小问2详解】 因为，所以． ， 故． 16. 如图，在三棱柱中，平面 平面，平面 平面． （1）证明： 平面ABC． （2）若 ，，求直线BC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取O为 内一点， 作OE垂直AB，交AB于点E，作OF垂直BC，交BC于点F， 因为平面 平面且平面 平面 ， 平面， 所以 平面，因为 平面，所以， 同理，因为 ，且 平面， 所以 平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）取O为 内一点，作 ，利用面面垂直的性质，证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得 平面． （2）以B为原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为BC，BA，两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 令 ，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， ，所以， 设直线与平面所成的角为 ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍． （1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率； （2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2， ，10）的概率为，则当k为何值时，最大？ 【答案】（1）0.6 （2）6 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法概率求出即可； （2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设，利用组合数的性质求出即可. 【小问1详解】 设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为， 由题意可得， 所以， 所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6. 【小问2详解】 由（1）可得， 设， 即， 所以， 即， 解得， 又，所以 时，最大. 18. 设抛物线的焦点为 ，已知点 到圆上一点的距离的最大值为6. （1）求抛物线的方程. （2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）点 到圆上点的最大距离为，即,计算即可； （2）由已知设，求得则， 方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果. 【小问1详解】 点 到圆上点的最大距离为，即，得, 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，则方程为， 方程为, 联立与抛物线的方程可得，即, 因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为， 则点坐标为,同理可得点坐标为, 因此直线的斜率为, 代入点坐标可以得到方程为, 整理可以得到,因此经过定点. 19. 已知函数． （1）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）已知是的零点，是的零点． ①证明：， ②证明：． 【答案】（1）存在，且 （2） ①由题意，有两个零点，， 若，则 ，所以在 上单调递增，不符合题意， 若 ，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 且当 时，，当时，， 所以，解得，得证； ②令，得，即， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在同一坐标平面内作出函数与函数的图象， 它们有公共点，如图， 故，且有， 由，得，即，又，所以， 由，得，即，又，所以， 由，得，即， 故. 【解析】 【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分与 进行讨论即可得； （2）①利用导数得到的单调性后，借助零点的存在性定理可得，解出即可得；②构造函数，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到，，从而可得，结合的范围即可得解. 【小问1详解】 由题意得， 当时，，所以和在上都单调递增，符合题意； 当 时，若和在上的单调区间相同， 则和有相同的极值点，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以无解， 综上，当时，和在上的单调区间相同； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数，结合导数得到函数的单调性，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $