精品解析：四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

2024年春期高2023级高一期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 2. 已知是第二象限角, A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－. 3. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，可得， 所以. 故选：D． 4. 如果函数的一个零点是，那么φ可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数的图像与性质，列出方程，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数的一个零点是，可得， 即，解得， 当 时，可得. 故选：D. 5. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可. 【详解】由余弦定理可得： 由条件及正弦定理可得： ， 所以，则． 故选：A 6. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. 【详解】，，， , 解得或，又， 则，， 故选：B. 7. 如图，在四面体 中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体 补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体 补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体 的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点 位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点 位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC 10. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题干条件可得到，b与0的大小关系不确定，进而可得到选项ABC均正确，D选项不确定. 【详解】∵，且，∴，而b与0的大小关系不确定， ∴，，均恒成立， 而与的大小关系不确定. 故选：ABC. 11. 如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将 沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ） A. B. C. 点的轨迹的长度为 D. 直线与平面所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C，先由旋转，易判断出，故其轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可 【详解】 依题意，将 沿直线翻折至，连接,由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分， 故，又在平面内的射影在线段上， 所以平面， 平面，所以， ，平面，平面 所以平面. 平面，平面，平面， ， ，且即为二面角的平面角 对于A选项，由题意可知，为 与平面所成的线面角，故由线面角最小可知，故A错误； 对于B选项， 即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正确； 对于C选项， 恒成立，故的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，易知其长度为，故C正确； 对于D选项，如下图所示 设， 在中，，， 在 中，，， 所以，设直线与平面所成角为， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果. 【详解】在直观图等腰梯形，，且，如下图所示： 分别过点、作，，垂足分别为点、， 由题意可知， 所以，，同理可得， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，故， 将直观图还原为原图形如下图所示： 由题意可知，梯形为直角梯形， ，，， ，， 因此，梯形的面积为. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值. 【详解】因为，所以，所以或， 当时，，； 当时，，. 故答案为： 或. 14. 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】，向左平移个单位长度后得到的图象，则 ，，，，则在上的值域为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当 为何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数 的值. 【小问1详解】 解：因为，，与的夹角为， 则， 所以，. 【小问2详解】 解：因为，则 ，解得. 16. 已知. （1）化简； （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得； （2）根据同角关系式结合条件即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以， ∴. 17. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式； （2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域； （3）根据可求出，由此求出，进而得到的值. 【小问1详解】 由图知，，则. 由图可得，在处最大值， 又因为图象经过，故， 所以，故， 又因为，所以， 函数又经过，故，得. 所以函数的表达式为． 【小问2详解】 由题意得，， 因为，所以， 则，所以， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 因为， 所以，即， 又因为，所以， 由，所以. 所以， 所以. 18. 如图，在三棱锥 中，平面平面，，为 的中点. （1）证明： ； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上， ，且二面角 的大小为，求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明：因为，O是 中点，所以 ， 因为 平面，平面平面， 且平面 平面 ，所以 平面． 因为平面，所以 ； (2). 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）略 （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则 ，设 , 所以 ， 设为平面 的法向量， 则由可求得平面 的一个法向量为 ． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥 的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作 ，垂足为点G． 作 ，垂足为点F，连结，则 ． 因为 平面，所以 平面， 为二面角 的平面角． 因为 ，所以 ． 由已知得 ，故 ． 又 ，所以． 因为 ， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角 ，记 为，为， ， 记二面角 为．据题意，得 ． 对使用三面角的余弦公式，可得 ， 化简可得 ．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得 ．② 将①②两式平方后相加，可得 ， 由此得 ，从而可得． 如图可知 ，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得 从而可得三棱锥 的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量的坐标； （2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值； （3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量； （2）先求得，由求得，进而求得，从而求得； （3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解： ， 所以. 【小问2详解】 解：依题意， 由得， 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 解：由题知，， 所以 因为，， 所以，， 令， 所以，问题转化为函数的最值问题. 因为函数的对称轴为， 所以，当，即时，的最大值在处取得，为； 当，即时，的最大值在处取得，为； 当，即时，的最大值在处取得，为； 综上，在上的最大值为. 【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期高2023级高一期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第二象限角, A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果函数的一个零点是，那么φ可以是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体 中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 10. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将 沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ） A. B. C. 点的轨迹的长度为 D. 直线与平面所成角的余弦值的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________. 13. 已知，则______． 14. 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当 为何值时，． 16. 已知. （1）化简； （2）已知，求的值. 17. 已知函数的一段图象过点，如图所示． （1）求函数的表达式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域； （3）若，求的值. 18. 如图，在三棱锥 中，平面平面，，为 的中点. （1）证明： ； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上， ，且二面角 的大小为，求三棱锥 的体积. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. （1）设函数，试求的伴随向量的坐标； （2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值； （3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $