陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列1，，5，，…的第9项是(    ) A. B. 19 C. D. 17 2.已知函数在处的导数为3，则(    ) A. 6 B. 3 C. D. 3.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前n项和为，若，，则当取得最小值时，(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于的描述一定正确的是(    ) A. 在区间上单调递减 B. 当时，取得最大值 C. 在区间上单调递减 D. 当时，取得最小值 6.设数列满足…，则(    ) A. B. C. D. 7.设函数，若，且，则下列不等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 8.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为(    ) A. 120 B. 124 C. 128 D. 130 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若数列为递增数列，则的通项公式可以为(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，则下列结论中正确的是(    ) A. ， B. 函数可能无极值点 C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 11.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，若，，且，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 数列中的最大值是 D. 数列无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，______. 13.在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为______. 14.设且，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 求下列函数的导数： Ⅰ； Ⅱ 16.本小题15分 已知等比数列的前n项和为公比，若， 求的通项公式； 证明： 17.本小题15分 已知函数， Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程； Ⅱ若在上恒成立，求a的取值范围. 18.本小题17分 若数列满足条件：存在正整数k，使得对一切，都成立，则称数列为k级等差数列. Ⅰ若数列为1级等差数列，，，求数列的前n项和； Ⅱ若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和 19.本小题17分 已知函数，其中e是自然对数的底数， Ⅰ当时，求函数的单调区间和极值； Ⅱ是否存在实数a，使的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：由题意可知，该数列可用表示， 故 故选： 该数列可用表示，将代入，即可求解． 本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题． 2.【答案】A  【解析】解：由题意可得， 则 故选： 利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解． 本题考查了导数的几何意义以及极限的运算性质，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢， 故 故选： 直接根据导数的几何意义以及函数的图像即可得到结论． 本题主要考查导数的几何意义的应用，属于基础题． 4.【答案】B  【解析】解：， 则， ， 则， 故当取得最小值时， 故选： 根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 5.【答案】C  【解析】解：由图可知，时，，为增函数； 时，，为减函数； 当时，有极大值，不一定为最大值； 时，，为增函数； 当时，有极小值，不一定为最小值； 时，，为减函数， 综上可得只有C正确． 故选： 根据导数图象与函数图象的关系可得答案． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：…， 当时， 当时，…， ， 当时也成立， 故选： 利用递推关系即可得出． 本题考查了数列的通项公式求法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7.【答案】D  【解析】解：，则函数为偶函数， 当时，， 则函数在上单调递增， 又，且， 则， 故 故选： 易知函数为偶函数，且在上单调递增，结合题意可得，由此得解． 本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等差数列的实际应用，涉及等差数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 根据题意，分析碳杆材质的鳞片和竹质鳞片之间的规律，再假设有n个“碳杆”鳞片，分析可得n的不等式，求出n的值，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，分析可得：第n个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有n个竹质鳞片， 假设有n个碳杆材质的鳞片，， 由已知可得…①， 如果只有个碳杆材质的鳞片，则骨架总数少于140， 所以…②， 联立①②可得：且， 又，解得，即需要16个碳杆材质的鳞片， 故需要个竹质鳞片． 故选： 9.【答案】ABD  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，则，易得，则数列为递增数列，符合题意； 对于B，，则，则数列为递增数列，符合题意； 对于C，，有，数列不是递增数列，不符合题意； 对于D，，，数列为递增数列，符合题意． 故选： 根据题意，依次分析选项中数列的单调性，综合可得答案． 本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题． 10.【答案】ABC  【解析】解：函数，当时，，当时，， 又连续，所以，，A正确； 当时，在R上单调递增，无极值点，故B正确； 三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确； 若是的极小值点，可能还有极大值点，若， 则在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误． 故选： 由三次函数的图象特征可判断A；取函数即可判断B；由极值点的定义即可判断C；由极值点与单调性的关系即可判断 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于中档题． 11.【答案】ABC  【解析】解：，，且， 则，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于CD，，，， 则数列中的最大值是，故C正确，D错误． 故选： 根据已知条件，推得，，即可依次判断． 本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：由题， 所以， 则 故答案为： 先求出导数，即可求出常数 本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题． 13.【答案】35  【解析】解：正项等比数列中，为其前n项和， 故，，成等比数列；由于，， 所以，解得 故答案为： 直接利用等比数列的性质求出结果． 本题考查的知识点：等比数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：当时，由指数函数的性质可知与只有一个交点，不满足题意； 当时， 设， 则在上有2个根， 因为， 易知在0，上单调递增， 设，即有， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以， 即，， ，，， 解得， 综上， 故答案为： 由指数函数的性质可知当时，不满足题意，当时，设，将问题转化为在上有2个根，利用导数求解即可． 本题考查了指数函数的性质、转化思想及导数的综合运用，属于中档题． 15.【答案】解：； Ⅱ  【解析】由已知结合函数的求导公式及求导法则即可分别求解． 本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题． 16.【答案】解：等比数列中，由于，， 则有， 解得或舍去，所以 因为，且， 所以， 所以  【解析】根据题意，分析得到关于、q的方程组，解得即可； 首先求出，再利用作差法证明即可． 本题考查等不数量的求和，涉及等比数列的前n项和，属于基础题． 17.【答案】解：Ⅰ当时，， 则，， ， 曲线在点处的切线方程为，即； Ⅱ在上恒成立，等价于在上恒成立， 即，令， 则， 当时，，当时，， 在上的极小值点为，也是最小值点， ， ， 即a的取值范围为  【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求解； Ⅱ由题意可知，在上恒成立，即，令，利用导数求出的最小值即可． 本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题． 18.【答案】解：Ⅰ若数列为1级等差数列，即对一切，都成立， 则数列为等差数列，设公差为d， 由，，可得， 则 Ⅱ由数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3， 可得对一切，都成立， ，，，…， 可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0，公差为3的等差数列， 则   【解析】Ⅰ结合已知定义，利用等差数列的性质及求和公式即可求解； Ⅱ由已知递推关系，结合等差数列的求和公式即可求解． 本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题． 19.【答案】解：Ⅰ当时，， 则， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增． 所以函数的极小值为， 故的单调递减区间为，单调递增区间为 的极小值为，无极大值； Ⅱ假设存在实数a，使，的最小值是3， ， ①当时，因为所以，在上单调递减， 所以，解得舍去； ②当时，即时， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增． 所以，解得，满足条件； ③当时，即时，对任意的在上单调递减， 所以，解得舍去 综上，存在实数，使得当时，的最小值为  【解析】Ⅰ当时，求得，分析导数的符号变化，由此可求得函数的单调递增区间、递减区间以及极值； Ⅱ求得，对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合函数在区间上的最小值为3可求得实数a的值． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$