2024年九年级中考数学证明题【考前专练】【相似三角形与解三角形的证明题】　

【相似三角形与解三角形的证明题】中考数学证明题【考前专练】 【题型分类】 1、 相似三角形的性质与判定的综合 2、 解三角形证明题 【专项训练】 1．在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 2．已知，在平面直角坐标系中，点，以为圆心，为半径的半圆与轴的另一个交点是，一次函数（为实数）的图象为直线，分别交轴，轴于，两点，    (1)点坐标是_______（用含的代数式表示），____________ (2)若点是直线与半圆的一个公共点（两个公共点时，为右侧一点），过点 作的切线交轴于点，如图． ①是否存在这样的的值，使得是直角三角形．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②过点作于点，当 时，求线段的长度以及此时的值． 3．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 4．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 5．如图，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止，连结交于点E，以为直径作交于点F，连接．设点 P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，请说明理由； (2)当时，的值为 ； (3)在点P整个运动过程中，求圆心O运动轨迹的长度； (4)作点F关于所在直线的对称点，连结，当线段恰好与正方形的一边平行时，直接写出t的值． 6．定义：若点P到多边形各个顶点的距离均相等，则称点P为“等距点”． 问题探究 （1）圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，该结论是否正确？______（填“正确”或“错误”） （2）如图1，在内部有一个“等距点O”，已知，“等距点O”到线段的距离为，求的最大面积． 问题解决 （3）如图2，在平面直角坐标系中，点在x轴上，以为边作四边形，满足，在边上有一点M，若点M为四边形的“等距点”，设，四边形的周长为n，请求出n与m之间的函数关系式，并探究n是否存在最大值． 7．如图1，和中，，，，连接，且，过点作交线段ED的延长线于点G，与相交于点，连接，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，连接，过点作于，交于，若，求的长． 8．（1）问题发现． 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．求的度数． （2）问题探究． 如图2，在正方形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当时，求的长度； （3）问题解决， 某科技公司现有一块形如矩形的研发基地，如图3，已知米，米，为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点是对角线上一动点，以为边在右侧作直角三角形，满足，，其中将修建成新能源研发区，为试验区，为保证研发效果，要使研发区（即的面积最大，求此时试验区（即的面积．    9．在中，，是斜边上一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，． (1)如图，求证：是的中点； (2)已知点和边上的点满足，连接，，． （）如图，求证：四边形是菱形． （）如图，连接，若，，求值． 10．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应． (1)如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：； (2)如图，若点刚好落在的中点处，求的值； (3)如图，若点为的中点，求的最小值． 11．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B），点E落在内部． 深入探究： ①“善思小组”提出问题：如图2，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N，试猜想线段和的数量关系，并加以证明， ②“智慧小组”提出问题：如图3，当时，过点A作于点H，若，，则的长为______． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．【解答】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 2．【解答】（1）解：当，则， 解得： 故点坐标是， 一次函数与轴交于点（，）， ， ； 故答案为：，； （2）①如图1，    假设存在这样的的值，使得是直角三角形．连接 若， 是的切线， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 若， 是的切线， ， 点、、三点共线，即点与点重合， ， 综上可知，或； ②如图②，连接，过点作，于，过点作，于，    则， ， ，，， ：：， ：：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴． 3．【解答】（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴, ∴ ∵,    ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2， ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴, ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴cm， ∴， ∴线段的长为． 4．【解答】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 5．【解答】（1）证明：四边形是正方形，是对角线， ， 在中，所对的圆周角是和， ， ， 又是的直径， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：当时，， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接交于点Ｉ，取的中点， 当点P与点A重合时，点O与点H重合； 当点P与点B重合时，点O与点I重合； ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴当点P在边上运动时，圆心O运动轨迹是， 同理，当点P在边上运动时，圆心O运动轨迹是， ∴圆心O运动轨迹是， ∴圆心O运动轨迹的长度为6； （4）解：如图，当点P在边上运动时，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴， 由对称的性质知， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； 如图，当点P在边上运动时，， 同理，， ∴， ∴； 综上，t的值为秒或秒． 6．【解答】（1）解：由题意知，圆心O是中任意内接多边形的“等距点”，该结论正确， 故答案为：正确； （2）解：由题意知，在以为圆心的圆上，如图1，作，作于，则，         图1 如图，延长交于，连接， 由题意知，重合时，的面积最大为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大面积为； （3）解：由题意知，在以为圆心，为直径的圆上，如图2，作，连接、，交点为，        图2 ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得，，即； ，即， ∵， ∴，整理得，， 解得，， ∴， ∴四边形的周长为，整理得，， ∵， ∴当时，有最大值． 7．【解答】（1）证明: ∵, ∵, ∴，, ∴； （2）四边形的形状是平行四边形，理由： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴. 在和中, ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （3）过点作于点, 如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 8．【解答】（1）四边形是菱形，， ，， 由旋转可知：，， ， ， ； （2）如图2，过点作于，   四边形是正方形，，是对角线， ，，， 又， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中，， 绕点逆时针旋转得到， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ； （3）如图3，过作于，过点作，交延长线于，   ， 四边形是矩形，米，米， ， （米， （米，米， （米， 中，，， ，， 又， ， 又， ， ， 设米，则米， 米，米， 米， ， 当时，面积最大， 此时米，米， （米， （米， （平方米）， 即研发区的面积最大时试验区的面积为平方米． 9．【解答】（1）证明: 由旋转的性质得: ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）（）证明: 连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （）过点作于点， 则， 在中，由勾股定理得:， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，     ∴， ∴。 ∴， ∴， ∴． 10．【解答】（1）如图，连接， ∵， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴垂直平分， ∴； （2）如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点， 同（）可得，， ∴， 由折叠性质可知：，设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， 同理：， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）如图，连接，， 由折叠性质可知：点为交点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ 点在以为圆心，为半径的圆上， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∴． 11．【解答】（1）结论：． 理由：∵交的延长线于点， ， ∵ ， ， ， ∵， ， ， ， 由题意得， ； （2）如图，设的交点为，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点是的中点， 由勾股定理得， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． $$