人教版数学九年级上暑假自学课专题训练专题九 二次函数的应用

人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题九 二次函数的应用 专题导航 知识点1 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． 名师点拨 确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 典例剖析1 例1-1．如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，∠B=60°． （1）求AB的长； （2）设AE=x,则DE=_____．EF=_____（用含x的表达式表示）． （3）求矩形CDEF的面积的最大值． 例1-2．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标． 例1-3．如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-x+3经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 针对训练1 1．已知二次函数y=x2+bx-c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x=1． （1）求b+c的值． （2）当-4≤x≤3时，求y的最大值． （3）平移抛物线y=x2+bx-c,使其顶点始终在二次函数y=2x2-x-1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 2．已知二次函数y=ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式． （2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 3．已知关于x的二次函数y1=x2+bx+c（实数b,c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的表达式； （2）若b2-c=0，当b-3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数y2=2x2+x+m,若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值． 能力提升1 1．已知二次函数y=mx2-2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（-1，6），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当-1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 2．已知边长为6的正方形ABCD，点P从A点出发，以2个单位长度/秒顺时针运动，点Q从A点出发，以3个单位长度/秒逆时针运动，当P、Q两点相遇时运动停止，设运动时间为t. （1）当t=1秒时，求△APQ的面积； （2）△APQ的面积等于时，求t的值； （3）求△APQ面积的最大值． 3．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，图象与x轴交于点（4，0）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若（5，y1）和（m,y2）为抛物线上不同的两点，当y2＞y1时，求出m的取值范围． （3）若把抛物线的图象沿x轴平移n个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-3，求n的值． 知识点2 根据实际问题确定二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 名师点拨 ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 典例剖析2 例2-1．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（　　） A. y=（6-x）（500+x） B. y=（13.5-x）（500+200x） C. y=（6-x）（500+200x） D. 以上答案都不对 例2-2．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A. w=（99-x）[200+10（x-50）] B. w=（x-50）[200+10（99-x）] C. w=（x-50）（200+×10） D. w=（x-50）（200+×10） 例2-3．将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　） A. y=-x2+50x B. y=x2-50x C. y=-x2+25x D. y=-2x2+25 针对训练2 1．某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为x,则该工厂3月份的产值y与x之间的函数解析式为（　　） A. y=500（1+x） B. y=500（1+x）2 C. y=x2+500x D. y=500x2+x 2．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A. y=200-10x B. y=（200-10x）（80-60-x） C. y=（200+10x）（80-60-x） D. y=（200-10x）（80-60+x） 3．等边三角形的周长为x,面积为y,用x表示y的关系式为y=_____． 能力提升2 1．小李家用40m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图． （1）写出这块菜园的面积y（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式； （2）直接写出x的取值范围． 2．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式． 3．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒． （1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值； （2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式． 知识点3 利用二次函数性质解决实际问题 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 名师点拨 应用二次函数解决实质问题的基本思路和步骤: 1、 基本思路:理解问题→剖析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→查验结果的合理性; 2、 基本步骤: 审题→建模 (成立二次函数模型 ) →解模 (求解 ) →回答 (用生活语言回答） 典例剖析3 例3-1．小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的．如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y=-+bx+c,如果AB=8m,AD=2m,则隧道顶端点N到地面AB的距离为（　　） A. 8 m B. 7 m C. 6 m D. 5 m 例3-2．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y=ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 -3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A. 函数图象开口向下 B. 当x=2时，该函数有最大值 C. 当x=0时，y=-3 D. 若在函数图象上有两点A（x1，-4），，则x1＞x2 例3-3．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①AB=24m； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 针对训练3 1．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（　　） A. 米 B. 10米 C. 米 D. 米 2．为了让甲、乙两名运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，需要研究他们从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系．我们研究发现甲运动员跳跃时，空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC⊥x轴于点C．测得相关数据如下：OA=12米，OC=18米，抛物线最高点到x轴距离为4米．若乙运动员跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=-x,则他们跳跃时起跳点与落地点的水平距离（　　） ​ A. 甲＞乙 B. 甲＜乙 C. 甲=乙 D. 无法确定 3．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 能力提升3 1．如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为A，求A点的坐标； （3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 2．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 3．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题九 二次函数的应用（解析版） 专题导航 知识点1 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． 名师点拨 确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 典例剖析1 例1-1．如图，D、E、F是Rt△ABC三边上的点，且四边形CDEF为矩形，BC=6，∠B=60°． （1）求AB的长； （2）设AE=x,则DE=_____．EF=_____（用含x的表达式表示）． （3）求矩形CDEF的面积的最大值． 【答案】(1);(2)6-x; 【解析】（1）利用已知条件首先求出∠A，然后解直角三角形即可求解； （2）首先利用已知条件求出DE，然后利用矩形的性质和三角函数即可求出EF的长度； （3）首先利用矩形的面积公式建立函数关系式，然后利用二次函数即可求解． 解：（1）在Rt△ABC中，BC=6，∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=2×6=12； （2）在Rt△ADE中，∠A=30°， ∵AE=x, ∴DE=，AD=x, ∴CD=AC-AD=12×sin60°-x=6-x, 而四边形CDEF为矩形， ∴EF=CD=6-x. 故答案为：，6-x； （3）∵S矩形CDEF=DE×EF =x（6-x） =， ∴当x=6时，矩形CDEF的面积取得最大值，为． 例1-2．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A（0，4），已知点C坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标． 【解析】（1）根据点A、C的坐标，直接利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线AC的解析式为y=-x+4，由题意可得∠OAC=45°，由PQ∥y轴得∠PQH=45°，则PH=QH=PQ，设P（t,t2-5t+4），则Q（t,-t+4），以此得到△PHQ周长=，再用含t的代数式表示出PQ=-t2+4t,根据二次函数的性质可求出PQ的最大值以及P点坐标，再算出此时△PHQ的周长即可． 解：（1）∵点A（0，4），点C（4，0）在抛物线y=x2+bx+c上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4； （2）设直线AC的解析式y=kx+b, ∵直线AC过点A（0，4），点C（4，0）， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式y=-x+4， 由题意可知，OA=OC=4， ∴∠OAC=45°， ∵PQ∥y轴， ∴∠PQH=45°， ∵PH⊥AC， ∴PH=QH=PQ， ∴， 要求△PHQ周长的最大值，即求PQ的最大值， 设P（t,t2-5t+4），则Q（t,-t+4）， ∴PQ=-t+4-（t2-5t+4）=-t2+4t, ∵-1＜0， ∴当时，PQ有最大值，最大值为：-22+4×2=4， 此时P（2，-2），△PHQ的周长为：， ∴△PHQ周长的最大值为，此时点P的坐标为（2，-2）． 例1-3．如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-x+3经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【解析】（1）求出B（3，0），C（0，3），再用待定系数法可得y=-x2+2x+3； （2）过P作PH∥y轴交BC于H，设P（m,-m2+2m+3），则PH=-m2+3m,S△PBC=PH•|xB-xC|=×（-m2+3m）×3=-m2+m=-（m-）2+，由二次函数性质可得答案． 解：（1）在y=-x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=3， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B（3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得： ， 解得， ∴y=-x2+2x+3； （2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图： 设P（m,-m2+2m+3），则H（m,-m+3）， ∴PH=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m, ∴S△PBC=PH•|xB-xC|=×（-m2+3m）×3=-m2+m=-（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S△PBC取最大值， 此时-m2+2m+3=-（）2+2×+3=， ∴P的坐标为（，）； 针对训练1 1．已知二次函数y=x2+bx-c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x=1． （1）求b+c的值． （2）当-4≤x≤3时，求y的最大值． （3）平移抛物线y=x2+bx-c,使其顶点始终在二次函数y=2x2-x-1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 【解析】（1）由对称轴-=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y=x²+bx-c,即可求解析式； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x=1，结合函数图像可知当x=-4时，y有最大值21； （3）设顶点坐标为（h,2h2-h-1），可求平移后的解析式为y=（x-h）2+2h2-h-1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w,则w=3h2-h-1=3（h-）2-，即可求解． 解：（1）∵二次函数y=x²+bx-c的对称轴为直线x=1， ∴-=1， ∴b=-2， ∵二次函数y=x²+bx-c的图象经过点（3，0）， ∴9-6-c=0， ∴c=3， ∴b+c=1； （2）由（1）可得y=x²-2x-3=（x-1）2-4， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵-4≤x≤3， ∴当x=-4时，y有最大值21； （3）平移抛物线y=x2-2x-3，其顶点始终在二次函数y=2x2-x-1上， ∴．设顶点坐标为（h,2h2-h-1），故平移后的解析式为y=（x-h）2+2h2-h-1， ∴y=x2-2hx+h2+2h2-h-1=x2-2hx+3h2-h-1， 设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w, 则w=3h2-h-1=3（h-）2-， ∴当h=时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为-． 2．已知二次函数y=ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式． （2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围． （3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值． 【解析】（1）把（2，3）代入y=ax2+4ax+3a,即可求得a的值； （2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x=-2，根据二次函数的性质得到，解得m≤-6； （3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可． 解：（1）把（2，3）代入y=ax2+4ax+3a,得3=4a+8a+3a, 解得：， ∴函数y的表达式y=x2+x+； （2）∵抛物线得对称轴为直线x=，a＞0， ∴抛物线开口向上，当x≤-2时，二次函数y随x的增大而减小， ∵时，此二次函数y随着x的增大而减小， ∴，即m≤-6； （3）由题意得：y=a（x+2）2-a, ∵二次函数在-3≤x≤1时有最大值3 ①当a＞0 时，开口向上 ∴当x=1时，y有最大值8a, ∴8a=3， ∴； ②当a＜0 时，开口向下， ∴当x=-2时，y有最大值-a, ∴-a=3， ∴a=-3， 综上，或a=-3． 3．已知关于x的二次函数y1=x2+bx+c（实数b,c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的表达式； （2）若b2-c=0，当b-3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数y2=2x2+x+m,若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值． 【解析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x=-，可求出二次函数的表达式； （2）需要分三种情况：①b＜-；②b-3＞-；③b-3≤-≤b分别进行讨论； （3）根据二次函数图象的增减性可得结论． 解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4）， ∴c=4； ∵对称轴为直线：x=-=1， ∴b=-2， ∴此二次函数的表达式为：y1=x2-2x+4． （2）当b2-c=0时，b2=c,此时函数的表达式为：y1=x2+bx+b2， 根据题意可知，需要分三种情况： ①当b＜-，即b＜0时，二次函数的最小值在x=b处取到； ∴b2+b2+b2=21，解得b1=-，b2=（舍去）； ②b-3＞-，即b＞2时，二次函数的最小值在x=b-3处取到； ∴（b-3）2+b（b-3）+b2=21，解得b3=4，b4=-1（舍去）； ③b-3≤-≤b,即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x=-处取到； ∴（-）2+b•（-）+b2=21，解得b=±2（舍去）． 综上所述，b的值为-或4． （3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1=x2-2x+4， 设函数y3=y2-y1=x2+3x+m-4， 对称轴为直线x=-＜0， ∴当0≤x≤1时，y3随x的增大而增大， ∴当x=0时，y3即y2-y1有最小值m-4， ∴m-4≥0， ∴m≥4，即m的最小值为4． 能力提升1 1．已知二次函数y=mx2-2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（-1，6），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当-1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【解析】（1）把（-1，6）点的坐标代入函数解析式中求出m即可； （2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围． 解：（1）把（-1，6）代入函数解析式得， m+2m+3=6， ∴m=1， ∴函数解析式为：y=x2-2x+3； （2）∵抛物线开口方向向上， ∴m＞0， ∵y=mx2-2mx+3=m（x-1）2+3-m, ∴抛物线的顶点为（1，3-m）， ∴当x＜1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， ∴最低点N（1，3-m）， ∵当x=-1时，y=3m+3， 当x=2时，y=3， 且m＞0， ∴3m+3＞3， ∴最高点M（-1，3m+3）， ∴3m+3=6， ∴m=1， 代入M点和N点坐标得：M（-1，6），N（1，2）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤1， ∴a≤-1， ②当m＜0时， 则有当x≤1时y随x增大而增大， 当x≥1时，y随x增大而减小， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥1， 综上，当m＞0时a≤-1；当m＜0时，a≥1． 2．已知边长为6的正方形ABCD，点P从A点出发，以2个单位长度/秒顺时针运动，点Q从A点出发，以3个单位长度/秒逆时针运动，当P、Q两点相遇时运动停止，设运动时间为t. （1）当t=1秒时，求△APQ的面积； （2）△APQ的面积等于时，求t的值； （3）求△APQ面积的最大值． 【解析】（1）∴S△APQ=AP•AQ=×2t×3t. （2）分类讨论点P，Q在各边面积的解析式然后求值． （3）计算（2）中各解析式面积最大值． 解：（1）t=1时，AP=2t=2，AQ=3t=3， ∴S△APQ=AP•AQ==3． （2）当0＜t≤2时，P在AB上，Q在AD上， S△APQ=AP•AQ=×2t×3t=3t2， 3t2≤12，不符合题意． 当2≤t≤3时，Q在CD上，P在AB上， S△APQ=AP•AD=×6×2t=6t, 6t=时，t=． 当3≤t≤4时，P在BC上，Q在CD上， S△APQ=S正方形ABCD-S△ABP-S△PCQ-S△ADQ=AD2-AB•BP-PC•CQ-AD•DQ=-3t2+15t. -3t2+15t=时，解得t=或t=（舍）． 当4＜t≤，S△APQ=PQ•AB=×6（24-5t）=72-15t, 72-15t＜12，不符合题意． 综上所诉，t=或t=． （3）由（2）得，当2≤t≤3时S=6t,t=3时S取最大值为18， 当3≤t≤4时-3t2+15t=-3（t-）2+，当t=3时S取最大值为18． ∴t=3时，△APQ面积的最大值为18． 3．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，图象与x轴交于点（4，0）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若（5，y1）和（m,y2）为抛物线上不同的两点，当y2＞y1时，求出m的取值范围． （3）若把抛物线的图象沿x轴平移n个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-3，求n的值． 【解析】（1）利用对称轴x=-=1，图象与x轴交于点（4，0）求出函数解析式； （2）将（5，y1）和（m,y2）代入抛物线，由y2＞y1得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围； （3）根据函数的性质，图象向左或向右平移，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，对应的函数y的最小值求出n的值． 解：（1）由y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1， 即x=-=-b=1， ∴b=-1， 将（4，0）代入解析式y=x2-x+c, 得：0=×42-4+c, ∴c=-4， ∴y=x2-x-4； （2）将（5，y1）代入得， y1=×552-5-4=-9=， 将（m,y2）代入得：y2=m2-m-4， ∵y2＞y1， ∴m2-m-4＞， 解得：m＜-3或m＞5； （3）由（1）可得y=x2-x-4的对称轴为1， 且抛物线y=x2-x-4在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大， ∴抛物线在x=2时有最小值为-4， ①向左平移n个单位，即当x=2时，存在与其对应的函数值y的最小值-3， ∴-3=（x+n）2-（x+n）-4， 将x=2代入得：n2+2n-2=0， ∴n=--1或n=-1， ∵向左平移， ∴n＞0， ∴n=-1； ②向右平移n个单位，当n＜时，函数在x=2处取得最小值-3， 即-3=（2-n）2-（2-n）-4， 解得：，都不满足n＜， 当n＞时，函数在x=3时，存在y的最小值-3， ∴-3=（3-n）2-（3-n）-4， 解得：n1=+2，n2=-+2，（舍去） ∴n=+2， 综上所述，n=-1或n=+2． 知识点2 根据实际问题确定二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 名师点拨 ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 典例剖析2 例2-1．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（　　） A. y=（6-x）（500+x） B. y=（13.5-x）（500+200x） C. y=（6-x）（500+200x） D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】当销售价为x元/件时，每件利润为（x-7.5）元，销售量为[500+200×（13.5-x）]，根据利润=每件利润×销售量列出函数关系式即可． 解：由题意得w=（x-7.5）×[500+200×（13.5-x）]， 故选：D． 例2-2．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（　　） A. w=（99-x）[200+10（x-50）] B. w=（x-50）[200+10（99-x）] C. w=（x-50）（200+×10） D. w=（x-50）（200+×10） 【答案】D 【解析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润=实际售价-成本价，销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润=每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式． 解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元）， 则每件盈利（x-50）元，每天可销售（200+×10）件， 根据题意得：w=（x-50）（200+×10）， 故选：D． 例2-3．将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　） A. y=-x2+50x B. y=x2-50x C. y=-x2+25x D. y=-2x2+25 【答案】C 【解析】根据题意表示出长方形的另一边长，进而利用长方形面积求法得出答案． 解：设这个长方形的一边长为x（cm），则另一边长为（50-2x）cm,根据题意可得： y=（50-2x）•x=-x2+25x. 故选：C． 针对训练2 1．某工厂1月份的产值为500万元，平均每月产值的增长率为x,则该工厂3月份的产值y与x之间的函数解析式为（　　） A. y=500（1+x） B. y=500（1+x）2 C. y=x2+500x D. y=500x2+x 【答案】B 【解析】根据平均每月产值的增长率为x,即可得出2月产值为50（1+x）万元，3月产值为50（1+x）（1+x）万元，由此即可得出结论． 解：设平均每月产值的增长率为x,3月份的产值为y, 则y=50（1+x）（1+x）=50（1+x）2． 故选：B． 2．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A. y=200-10x B. y=（200-10x）（80-60-x） C. y=（200+10x）（80-60-x） D. y=（200-10x）（80-60+x） 【答案】D 【解析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（80-60+x）元，每星期的销售量为（200-10x），再利用每星期售出商品的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论． 解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元， ∴销售每件的利润为（80-60+x）元，每星期的销售量为（200-10x）， ∴每星期售出商品的利润y=（200-10x）（80-60+x）． 故选：D． 3．等边三角形的周长为x,面积为y,用x表示y的关系式为y=_____． 【答案】x2 【解析】让等边三角形的周长除以3即可得到等边三角形的边长；进而作出等边三角形的高，利用60°的正弦值可得等边三角形的高，利用三角形面积公式可得相关函数关系式． 解：∵等边三角形的周长为x, ∴AC=BC=，∠C=60°， 作AD⊥BC于点D， AD=AC×sin60°=x, ∴y=××x=x2． 故答案为x2． 能力提升2 1．小李家用40m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图． （1）写出这块菜园的面积y（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式； （2）直接写出x的取值范围． 【解析】（1）先用含x的代数式表示出平行于墙的边长，再由矩形的面积公式就可以得出结论； （2）根据矩形菜园的长与宽都是非负数列出不等式组，解不等式组即可． 解：（1）∵垂直于墙的边长为x, ∴平行于墙的边长为40-2x, ∴y=x（40-2x）， 即y与x之间的函数关系式为y=-2x2+40x； （2）由题意，得， 解得0＜x＜20． 2．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式． 【解析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单． 解：正确． 抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例） 3．已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B、D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=，现将△DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒． （1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值； （2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积S与t的函数关系式． 【解析】（1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动距离，即可求得时间t （2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分四种情形进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式 解： （1）当F在边AB上时，如图1，作AM⊥BC， 则AM=AB==9 ∵AM⊥BC，∠FEB=90° ∴EF∥AM ∴△BEF∽△BMA ∴，即，解得BE=2，则移动的距离为：6+2=8，则t==8 当F在AC上时，如图2 同理可得，EC=2，则移动的距离为2×==10，则t==10， 故t的值为：8秒或10秒 （2）当0＜t≤6时，重合部分是△BND，如图3， 设AB与BE交于点N， 则BD=t,NB=BD=t,ND=BD=×t=t, S=NB•ND=×t×t=t2； 当6＜t≤8时，重合部分是五边形MNQCE，如图4， 则S=S△EFD-S△MNF-S△CQD =18-×（24-3t）×（24-3t）-（t-6）=-t2+27t-81； 当8＜t＜10时，重叠部分是四边形EFMC，如图5， 则S=S△EDF-S△CDM=18-（t-6）××（t-6）=-t2+9t-9； 当10≤t＜12时，重合部分是△MCE，如图6，  S=[6-（t-6）]××[6-（t-6）]=t2-36t+216． 综上所述，S=． 知识点3 利用二次函数性质解决实际问题 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 名师点拨 应用二次函数解决实质问题的基本思路和步骤: 1、 基本思路:理解问题→剖析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→查验结果的合理性; 2、 基本步骤: 审题→建模 (成立二次函数模型 ) →解模 (求解 ) →回答 (用生活语言回答） 典例剖析3 例3-1．小明在周末外出的路上经过了如图所示的隧道，他想知道隧道顶端到地面的距离，于是他查阅了相关资料，知道了隧道的截面是由抛物线和矩形构成的．如图，以矩形的顶点A为坐标原点，地面AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y=-+bx+c,如果AB=8m,AD=2m,则隧道顶端点N到地面AB的距离为（　　） A. 8 m B. 7 m C. 6 m D. 5 m 【答案】C 【解析】根据条件易有点D坐标为（0，2），点C的坐标为（8，2），点N的横坐标为4，将点D和C代入抛物线表达式可解的b和c的值，然后令x=4计算点N的纵坐标即为距离． 解：由题意可得：点D坐标为（0，2），点C的坐标为（0，8）， 将点D和C代入抛物线表达式可得，解得， ∴， 令x=4，可得． 故选：C． 例3-2．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y=ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 -3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A. 函数图象开口向下 B. 当x=2时，该函数有最大值 C. 当x=0时，y=-3 D. 若在函数图象上有两点A（x1，-4），，则x1＞x2 【答案】D 【解析】先由表中数据可知，y随x先增大后减小，得到函数图象开口向下，利用y=0时，x=1或3，得到对称轴，再结合开口方向得到增减性，利用对称轴和增减性进行判断． 解：由表中数据可知，y随x先增大后减小， ∴函数图象开口向下， 故A正确，不符合题意， ∵x=1，y=0；x=3，y=0， ∴对称轴为直线x==2， ∵开口向下， ∴当x=2时，该函数有最大值， 故B正确，不符合题意， ∵对称轴为x=2，x=4时，y=-3， ∴x=0时，y=-3， 故C正确，不符合题意， 在函数图象上有两点A（x1，-4），， 当A，B都在对称轴左侧时，x1＜x2， 当A，B都在对称轴右侧时，x1＞x2， 当A在左侧，B在右侧时，x1＜x2， 当A在右侧，B在左侧时，x1＞x2， 故D不正确，符合题意， 故选：D． 例3-3．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①AB=24m； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y=ax2-5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判断②；把x=12代入解析式求出y=-1.8，再用5-1.8即可判断③；把x=6代入解析式即可判断④． 解：①观察图形可知，AB=30m, 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为y=ax2-5， 将（15，0）代入，可得a=， 故抛物线的解析式为y=x2-5； 故②正确； ③∵y=x2-5， ∴当x=12时，y=-1.8， 故池塘最深处到水面CD的距离为5-1.8=3.2（m）， 故③错误； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12 m时， 将x=6代入y=x2-5，得y=-4.2， 可知此时最深处到水面的距离为5-4.2=0.8（m）， 即为原来的， 故④正确． 故选：B． 针对训练3 1．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（　　） A. 米 B. 10米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长． 解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值． 故有， 即x2=80， 解得，． 所以两盏警示灯之间的水平距离为：（米）． 故选：A． 2．为了让甲、乙两名运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，需要研究他们从起跳至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系．我们研究发现甲运动员跳跃时，空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BC⊥x轴于点C．测得相关数据如下：OA=12米，OC=18米，抛物线最高点到x轴距离为4米．若乙运动员跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足y=-x,则他们跳跃时起跳点与落地点的水平距离（　　） ​ A. 甲＞乙 B. 甲＜乙 C. 甲=乙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】先根据已知求出甲运动员跳跃时的抛物线解析式，再把x=18代入解析式，求出落地点B的坐标（18，-12），再把y=-12代入y=-x求出x,再与18比较即可． 解：由题意，设该二次函数的解析式为y=ax2+bx（a≠0）， ∵OA=12，抛物线最高点到x轴距离为4米， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为y=-x2+x（x≥0）， ∵OC=18米， ∴当x=18时，y=-×182+×18=-12， ∴B（18，-12）； 对于函数y=-x, 当y=-12时，-12=-x, 解得x=6+2或x=6-2（舍去）， ∴乙起跳点与落地点的水平距离（6+2）米， ∵18-（6+2）=12-2=-＞0， ∴甲起跳点与落地点的水平距离大于乙起跳点与落地点的水平距离． 故选：A． 3．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 解：（1）设y关于x的函数表达式为y=kx+b（k≠0）． 将x=50，y=100和x=40，y=200分别代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：y=-10x+600． （2）W=（x-30）（-10x+600）=-10x2+900x-18000． 当x=-=45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 能力提升3 1．如图，一小球M（看做一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=x刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为A，求A点的坐标； （3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【解析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x-4）2+8，把（0，0）代入即可得到答案； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把x=2分别代入和，即可得到答案． 解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8）， ∴设抛物线的表达式为y=a（x-4）2+8， 把（0，0）代入得，0=a（0-4）2+8， 解得：a=-， ∴抛物线的表达式为：； （2）解方程，得x1=0，x2=7， 当x=7时，y=， 所以A（7，）； （3）当x=2时，，=6， ∵4+1=5，6＞5， ∴小球M能飞过这棵树． 2．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【解析】（1）根据题意设y=kx+b,当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg,则，求得k、b即可； （2）定价为x元，每千克利润（x-4）元，销售量为y kg,则（x-4）y=1800即（x-4）（-50x+1200）=1800，解方程即可； （3）设利润为W，根据题意可得W=（x-4）（-50x+1200）=-50x2+1400x-4800化为顶点式即可求出合适的值． 解：（1）根据题意设y=kx+b, 当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg； 当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg, 则， 解得：， 则y与x的函数关系式；y=-50x+1200（4≤x≤7）， （2）∵定价为x元，每千克利润（x-4）元， 由（1）知销售量为y=-50x+1200（4≤x≤7）， 则（x-4）（-50x+1200）=1800， 解得：x1=22（舍去），x2=6， ∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元； （3）设利润为W元， 根据题意可得：W=（x-4）（-50x+1200）， 即W=-50x2+1400x-4800=-50（x-14）2+5000， ∵a=-50＜0，对称轴为x=14， ∴当x＜14时，W随x的增大而增大， 又∵4≤x≤7， ∴x=7时，W最大值=-50（7-14）2+5000=2550（元）， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 3．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.5m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围． 【解析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y=a（x-2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； （3）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案． 解：（1）如图，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y=a（x-2）2+1.6， 又∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2=4a+1.6， ∴a=-0.1， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-0.1（x-2）2+1.6； （2）∵对称轴为直线x=2， ∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）； （3）∵EF=0.5， ∴点F的纵坐标为0.5， ∴0.5=-0.1（x-2）2+1.6，解得， ∵x＞0， ∴， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5， 则， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.2＞0.5， ∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则， ∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$