2024年九年级中考数学证明题【考前专练】　【四边形证明题】

【四边形证明题】中考数学证明题【考前专练】 【题型分类】 1、 多边形的内角和 2、 平行四边形的判定与性质综合 3、 矩形的判定与性质的综合 4、 菱形的判定与性质的综合 5、 正方形的判定与性质综合 6、 四边形的最值问题 【专项练习】 1．【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 2．已知，中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 3．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 4．某兴趣小组探究两个相邻图形中对角线中点连线组成的线段与图形对应边长之间的关系． (1)如图1，点P为线段上一点，分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形，点P，C，E在一条直线上，M，N分别是对角线的中点．连接，则为的中位线．设两正方形的边长 ，请用含a，b的式子表示的长度为 ； (2)如图2，把图1 中的正方形改为矩形， ，且 ，能否用含a，b，c，d的式子表示的长度，如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由； (3)如图3，把图1中的正方形改为菱形，，且两个新组成的菱形中较小的内角为α，请用含a，b，α的式子直接表示出的长度． 5．如图，中，，，，D是边的中点，点P从点C出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到终点B，当点P不与点A重合时，连接，过点D作的平行线，截取，使点A，Q在的同侧，连接．将沿翻折得到，点D的对应点为点，设点P的运动时间为以． (1)用含t的代数式表示的长． (2)连接，求证：与互相平分． (3)当点在内部（不包括边界）时．求t的取值范围． (4)与点在的平分线上时，直接写出t的值． 6．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且，连接，交于点，求证：． ①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取的中点，连接，再通过“全等三角形的性质”解决问题； ②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点作，交的延长线于点，再通过“全等三角形的性质”解决问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在中，点是的中点，点，是的三等分点，，与分别交于点，，求的值． 【学以致用】 （3）如图5，在中，，在射线上取点，使，连接，在上取点，射线，相交于点，当时，求的值． 7．小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆和边长为的正方形，，分别为半圆上的点，如图所示，此时半圆与水平面恰好切于点，，延长与半圆分别交于点，．将半圆向右无滑动滚动，使点落在半圆上，此时半圆与水平面恰好切于点，如图所示． (1)在图中，求弦的长； (2)在图中，求所对的圆心角度数；（结果保留） (3)在图中，过点作半圆的切线与直线交于点，求的值． 8．如图，在中，于点D，点E为的中点，与交于点G，点F在上，且．    (1)若，求证：； (2)若，求的值； (3)若，请直接写出的值． 9．已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”． 【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明； 【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点M在线段上，且，点N是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点N是的中点，点M是边上的动点，连接，以为边作矩形，点P在边上，点Q始终落在矩形内（不含边界）．连接，点O是的中点，连接，求长的取值范围（用含a，b的式子表示）． 10．已知：矩形的对角线与相交于点，点关于直线的对称点是，连结． (1)如图，试判断四边形的形状，说明理由； (2)如图，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有长度等于的线段． 11．在中，，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接，，且．    (1)如图1，求证：； (2)已知点和边上的点满足，连接，，． ①如图2，求证：四边形是菱形； ②如图3，连接，若，，求的值． 12．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，延长到点使，分别连接，，交于点．求证：； (3)如图3，若，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连接，．当的值最小时，请直接写出的度数． 13．【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 14．已知E为矩形内部一点（不与边界重合），且满足，，垂足为F． (1)如图1，若．求证：；        图1 (2)如图2，G为的中点，连接并延长交于点H，．求证：；        图2 (3)如图3，若，过点E作交BF于点M，，．求的长．       图3 15．在等腰中，，，点，分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．    问题探究 (1)先将问题特殊化，如图，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系： (2)再探讨一般情形，如图，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 (3)如图，若为的中点，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值． 16．问题发现． (1)如图，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为______． (2)如图，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值． (3)如图，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度．若不存在，请说明理由． 17．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在y轴，x轴上，当在x轴上运动时，A随之在y轴上运动，矩形的形状保持不变，其中，． (1)取的中点，连接，，求的值． (2)如图2，若以为边长在第一象限内作等边三角形，运动过程中，点到原点的最大距离是多少？ 18．如图，矩形中，，点在对角线上，点在边上运动，连接，作，交直线于点．且，． (1)如图1，当点与点重合时，求的值； (2)点在边上运动过程中，当成为以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)记点关于直线的轴对称点为点．若点落在的内部（不含边界），求的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 2 1 学科网（北京）股份有限公司 1．【解答】（1）解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： （2）解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； （3）解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 2．【解答】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ； （3）解：如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 3．【解答】（1）解：如图①所示， 和都是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ，点B、D、E在同一条直线上， ， ， 故①的答案为：； ②的答案为：相等； （2）解：如图②所示， 和都是等腰直角三角形，， ， ， ， 在与中， ， ， ，点B、D、E在同一条直线上， ， ， ， 都是等腰直角三角形，， ， ， ， 的度数为，线段之间的数量关系为：； （3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得， 和都是等腰三角形，， ， ， ， ． 4．【解答】（1）解：如图，延长交于点， 分别以为边在线段的同侧作正方形和正方形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， 在直角三角形中，， 是的中点， ， 故答案为：； （2）解：连接，延长交于点， 同上述理由可得； （3）解：如图，连接， 四边形和四边形为菱形，且为对角线的交点， ，， ， 即， 两个新组成的菱形中较小的内角为α， ， ，， ． 5．【解答】（1）解：∵，，， ∴， 当点P在上时，即时， ； 当点P在上时，即时， ； 综上得：； （2）证明：连接，如图所示： 根据题意得， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分； （3）如图所示：当翻折后点恰好在边上时，连接， ∴， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图得，当点P继续向点A运动时，点在内部， ∴； 当点P在上运动时，如图所示：当翻折后点恰好在边上时，连接， ∴， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图得，当点P继续从点A开始运动时，点在内部的时间段为， ∴； 综上得：或时，点在内部； （4）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 当点P在边上运动时，点在的平分线上时，如图所示：连接交于点O， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵为角平分线， ∴过点O，， ∵翻折， ∴， 过点P作， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴； 当点P在边上运动时，点在的平分线上时，如图所示：连接交于点O， ∵为等边三角形， ∴， ∵为角平分线， ∴过点O，， ∵翻折， ∴， 过点P作， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上可得：或． 6．【解答】（1）选择小鹏同学的解题思路． 证明：如图1，取的中点，连接． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 选择小亮同学的解题思路． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图3，连接． ∵点，是的三等分点， ∴． 由（1）可知， ∴是的中位线， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作的延长线于点． ∵，， ∴，． 设， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 7．【解答】（1）解：如图，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：如图，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， ∴， 解得， ∴所对的圆心角度数为； （3）解：如图，连接，由切线长定理可得， 设，则，由（）得，则， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 8．【解答】（1）证明：，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ； （2）解：作于H，    由（1）中结论可得，， 都是等腰直角三角形， ，点E为的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ； （3）解：如图，作于，于，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ， ， 点E为的中点， ， ， ， ∴． ∵， ∴， ． 9．【解答】（1），． 在矩形和矩形中， ，， ， ， 同理可得：， ， 在和中，， ， 同理可证：； （2）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，四边形为矩形，则矩形为矩形的“衍生矩形”， 由（1）可知：， ， ， ， ， 由（1）可知：， 又， ， ， 设，则， ， 解得或5， 或5； （3）如图，过Q作平行线，分别与，交于点G，H，连接， 四边形为矩形，过点O， 由（1）知：， ， 为中点，， 四边形为矩形， ， 延长交于点F，则，，， 当最小时，最小；当最大时，最大， 即：当最大时，最小；当最小时，最大， 当Q在上时，，， ， 点Q落在矩形内（不含边界）， ， 在矩形中，， 当最小时，最小，最大， 时，， 此时， ， ， 综上，． 10．【解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点关于直线的对称点是， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点是， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴图中所有长度等于的线段为． 11．【解答】（1）证明：由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：如图，连接，    ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：如图，过点作于点，则，    在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．【解答】（1）解：，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积； （2）证明：如图，延长到，使，连接，， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ； （3）解：的度数为．理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，， ，， ， ， 将线段绕点顺时针方向旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在过点且垂直于的直线上运动， 点关于的对称点， ，， ， ， 当，，在一条直线上时，，此时的值最小． 如图，，，在一条直线上， ，， ， ， ，， ， ，关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 13．【解答】（1）①经过旋转后得到， 旋转中心是点；旋转角度最少是90度； 故答案为：，90； ②他的发现正确，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）①由（1）得 的周长， 故答案为：； ②如图，过作于，交延长线于， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 是的中点， , ，由（1）中②的结论可得， 设，则， ， 在中，， ， 即， 故答案为：10； （3）如图，连接，过点H作， 菱形中，， ， 点沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，， ， ， ， ， ， 14．【解答】（1）证明：∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点F作，交于点K， ∵G为的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，． （3）解：过点E作，交于点P，交于点Q， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴，， 由（2）可知， ∴， ∴， 则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得∶（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：． 15．【解答】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：如图，    过作交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质得： ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图， 连接，过作于点，延长交于点，    则， 由（）可知，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴平行四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．【解答】（1）如图①，过点C作于P，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CP最小， 在Rt中，，根据勾股定理得，， ∵ ∴， 故答案为； （2）如图，作出点关于的对称点，连接交于点， 过点作于，交于，连接，此时最小； 四边形是矩形， ，，根据勾股定理得，， ， ， ， 由对称得，， 在中，， ， 在中，； 即：的最小值为； （3）存在． 如图， 四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理得，， ，， 点在上的任何位置时，点始终在的下方， 设点到的距离为， ， 要四边形的面积最小，即：最小， 点是以点为圆心，为半径的圆上在矩形内部的一部分点， 时，最小， 由折叠知， 延长交于，则， 在中，， 在中，，， ， ， ， 过点作于， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ． 17．【解答】（1）解：根据题意可知：， 的中点， ， ， ， ． （2） 解：如图，取的中点E，连接，，， 在中，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 当、、共线时，， 点P到原点的最大距离是． 18．【解答】（1）解：如图，过点E作于点M，延长交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，如图，过点E作于点M，延长交于点N，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； 当时，如图，过点E作于点M，延长交于点N， 同理，， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：当点P在边时，如图，过点F作于点L，则，， ∵点关于直线的轴对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当P在边上时，如图，过点E作于点N，过点P作， 由（2）得：，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的轴对称点为点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ∴的取值范围为． $$