专题12 奇偶性11种常见考法归类（83题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题12 奇偶性11种常见考法归类（83题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考点二 分段函数奇偶性的判断 考点三 抽象函数的奇偶性 考点四 奇、偶函数的图象及应用 考点五 利用函数的奇偶性求值 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 考点八 利用函数的奇偶性求最值 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 考点十一 奇偶函数对称性的应用 知识点1：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． （2）理解函数的奇偶性应关注三点 ①函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． ②若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. ③若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 知识点2：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点3：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 解题策略 1、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2、函数的奇偶性与单调性 （1）若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． （2）若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 注：若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[－b，－a]∪[a，b]上不一定单调递增，如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝－在[1,3]上单调递增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不单调递增． 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 4、判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 5、巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 4、利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 5、利用函数的奇偶性求解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 6、比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 9、利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 考点一 函数奇偶性的判断 1.（2023·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3．（2024秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 4．（2024秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 5．（2024·河南开封·统考模拟预测）函数满足，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6.（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若函数满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明. 7．（2024秋·湖北黄冈·高一校考期中）已知函数，且． (1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性． (2)证明函数在上是增函数． (3)画出在上的图象，并求在上值域． 8．【多选】（2024秋·陕西西安·高一校考期中）下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（      ） A． B． C． D． 考点二 分段函数奇偶性的判断 9．（2024·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 10．（2024·高一课时练习）判断函的奇偶性. 11．（2024秋·高一课时练习）给出下列四个函数的论断，正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 考点三 抽象函数的奇偶性 12.对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 13．【多选】（2024秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 14.【多选】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 15．【多选】（2024秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 16．【多选】（2024秋·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 17．【多选】（2024秋·广东·高三校联考阶段练习）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集是 18．（2024秋·高一课时练习）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 19.（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 20.（2023秋·高一单元测试）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 21．（2024秋·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； 考点四 奇、偶函数的图象及应用 22．（2023春·云南曲靖·高二校考期中）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   23．（2024秋·高一课时练习）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（　　）    A． B． C． D． 24．（2024秋·高一课时练习）定义在R上的偶函数在上的图象如图所示．    (1)请在坐标系中补全函数的图象； (2)解不等式. 25.（2023·北京·高三统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 26．（2024秋·浙江嘉兴·高一校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求出当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间； (3)结合函数图象，求当时，函数的值域． 考点五 利用函数的奇偶性求值 27.（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是定义域为的奇函数，时，，则（    ） A．0 B． C． D．2 28．（2024秋·浙江台州·高一校联考期中）已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 29.（2023·高一课时练习）已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，且，则 ． 31．（2023春·河南开封·高二校联考期末）已知函数，且，则的值为 . 32．（2024秋·湖南永州·高二统考阶段练习）已知，为奇函数，若，则（    ）. A． B．6 C．9 D．4 33.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________. 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 34．（2024秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式． 35．（2024秋·浙江台州·高一校联考期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 . 36．（2024秋·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 37.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 38.（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数的值． 39．（2024秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知为上的偶函数，当时，．    (1)求出时的解析式，并作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间，并写出的解集． 40．（2024秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知函数是奇函数，当时，，则时， ，若，则m的值为 ． 41．（2024秋·高一课时练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式； （2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式． 42．（2024秋·广东汕头·高二校考期中）若是偶函数，且当时，，则的解集是（　　） A． B． C． D． 43．（2024秋·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 44.（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 45.（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求当时，函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 46.（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 47.（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 48．（2024秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求的值； (2)求函数在其定义域上的最值. 49．（2023春·新疆·高二校考期末）若函数是偶函数，则m= 50.（2023秋·高一单元测试）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 51.（2023·高一课时练习）已知函数是偶函数，其中为常数. (1)求的值； (2)若时，均有，求的取值范围. 52．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 53.（2023·高一课时练习）若函数为奇函数，则__． 54．（2024秋·浙江台州·高一校联考期中）已知是奇函数，且其定义域为，则的值为 . 55．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-2 56．（2024秋·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性并用定义加以证明； 57．（2024秋·江苏南京·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数，，的值； (2)求不等式的解集. 58．（2024秋·高一课时练习）（1）若为偶函数，则实数 ． （2）已知函数为奇函数，则 ． 考点八 利用函数的奇偶性求最值 59．（2024秋·全国·高一专题练习）已知为奇函数，且当时，.则当时，的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 60.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 61．（2024·全国·高一课堂例题）已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（    ） A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为 C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为 62.（2023·高一课时练习）若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 63．（2024秋·高一校考单元测试）设函数在上的最小值为，则在上的最大值为（    ）. A． B． C． D． 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 64．（2024秋·高一课时练习）若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（　　） A． B． C． D． 65．（2024秋·浙江绍兴·高一校考期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 66．（2023春·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 67．【多选】（2024秋·高一课时练习）已知函数在上是奇函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 68．（2024秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 69.（2023秋·广东深圳·高一统考期末）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________. 70.（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 71.（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 72.（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______. 73.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 74．【多选】（2023春·云南玉溪·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则属于不等式的解集的的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 75．（2024秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知是定义在上的函数． (1)判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 76.（2023春·四川自贡·高一校考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 77．（2024·全国·高一课堂例题）已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为 ． 78．（2023春·贵州贵阳·高二校联考期末）已知函数，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 79．（2024秋·河北衡水·高三河北武强中学校考开学考试）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 80．（2024秋·北京海淀·高三北京一零一中石油分校校考开学考试）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 . 考点十一 奇偶函数对称性的应用 81.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 82.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为______. 83.（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 84.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ） A． B．0 C．1 D． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题12 奇偶性11种常见考法归类（83题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考点二 分段函数奇偶性的判断 考点三 抽象函数的奇偶性 考点四 奇、偶函数的图象及应用 考点五 利用函数的奇偶性求值 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 考点八 利用函数的奇偶性求最值 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 考点十一 奇偶函数对称性的应用 知识点1：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． （2）理解函数的奇偶性应关注三点 ①函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． ②若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. ③若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 知识点2：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点3：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 解题策略 1、用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2、函数的奇偶性与单调性 （1）若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． （2）若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． 注：若奇函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么它在区间[－b，－a]∪[a，b]上不一定单调递增，如f(x)＝x在[0,2]上单调递增，则在[－2,0]∪[0,2]＝[－2,2]上也单调递增；而函数f(x)＝－在[1,3]上单调递增，但在[－3，－1]∪[1,3]上不单调递增． 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 4、判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数． (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 注：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 5、巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题． 4、利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 5、利用函数的奇偶性求解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 6、比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 9、利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 考点一 函数奇偶性的判断 1.（2023·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是. 故选：C 2.（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】D 【详解】函数的定义域为，不关于数0对称， 所以函数是非奇非偶函数. 故选：D 3．（2024秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 (4)既是奇函数，又是偶函数． 【分析】先考查函数的定义域，进一步利用奇偶性的定义逐题判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 不关于原点对称，故函数既不是奇函数，又不是偶函数． （2）函数的定义域为R. 又 所以函数为奇函数. （3）函数的定义域为R. 又， 所以函数为偶函数. （4）因为函数的定义域为， 则，且， 则且， 所以函数既是奇函数，又是偶函数. 4．（2024秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)既不是奇函数也不是偶函数． 【分析】根据奇偶函数的定义，即可判断. 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 又， 是奇函数． （2）的定义域为，关于原点对称， 又， 是偶函数． （3）由，得， 即函数的定义域是，不关于原点对称， 既不是奇函数也不是偶函数． （4）的定义域为，， ， 既不是奇函数也不是偶函数． 5．（2024·河南开封·统考模拟预测）函数满足，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可. 【详解】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合； B：，定义域为关于原点对称，且，符合； C：，定义域为，不关于原点对称，不符合； D：，定义域为，不关于原点对称，不符合； 故选：B 6.（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若函数满足 (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 【详解】（1）由于， 所以. （2）， 为偶函数，证明如下： 的定义域为， 且， 所以是偶函数. 7．（2024秋·湖北黄冈·高一校考期中）已知函数，且． (1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性． (2)证明函数在上是增函数． (3)画出在上的图象，并求在上值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析． (2)证明见解析 (3)图象见解析，值域 【分析】（1）先将代入，求出的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在上的单调性，再求最值． 【详解】（1）在其定义域上为奇函数， ，定义域为， 由， 解得，， ， 在定义域上为奇函数． （2）任取，且， ， ，，则 又，， ，即， 在上为增函数． （3）在上的图象如图. 在单调递减，在单调递增， ,又，则 故函数值域为.    8．【多选】（2024秋·陕西西安·高一校考期中）下列函数是奇函数且在区间上是单调递增函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合常见函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由函数的定义域为，且，则为奇函数； 根据反比例函数的定义，则函数在上单调递增，故A正确； 对于B，由函数的定义域为，且，则为奇函数； 根据一次函数的单调性，故B正确； 对于C，由函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，由函数的定义域为，且，则函数为偶函数，故D正确. 故选：AB. 考点二 分段函数奇偶性的判断 9．（2024·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【分析】求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性. 【详解】若，则，则； 若，则，则. 又，满足. 所以，又函数的定义域为，关于原点对称， 因此，函数为奇函数. 故选：A. 10．（2024·高一课时练习）判断函的奇偶性. 【答案】奇函数 【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称. ②当时，, ∴. ③当时,， ∴. 综上可知，函数是奇函数. 11．（2024秋·高一课时练习）给出下列四个函数的论断，正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】A. 利用函数奇偶性定义判断；B. 由的定义域不关于原点对称判断；C.利用函数的奇偶性定义判断；D. 由奇偶性的定义判断； 【详解】A. 的定义域为R，又，所以是偶函数，故错误； B. 函数的定义域关于坐标原点不对称，所以它既不是奇函数也不是偶函数，故错误； C. 的定义域为 ，又，所以是奇函数，故正确； D.当时， 当时， 又所以即为偶函数，故D错误； 考点三 抽象函数的奇偶性 12.对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 【答案】B 【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是偶函数，故A错误； 对于B，因为和都是偶函数，所以，， 令，则， 所以是偶函数，故B正确； 对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故D错误.故选：B 13．【多选】（2024秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义逐个分析判断即可 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为，因为， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为，所以，， 所以为非奇非偶函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数， 故选：AD 14.【多选】（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 15．【多选】（2024秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABD 【分析】根据已知的抽象函数性质，赋值（式）法求解即可. 【详解】令，则，即. A正确. 令，则. 令，则，则. 故. B正确. 是非奇非偶函数. C不正确. 是偶函数. D正确. 故选：ABD. 16．【多选】（2024秋·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】求得，判断A，再令求得，从而令，可得，判断B，已知等式变形为，令，则，由赋值法得是奇函数，判断C，再计算出，判断D． 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，令，可得，则，故B正确； 由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C正确； 因为，所以不是偶函数，故D错误． 故选：ABC． 17．【多选】（2024秋·广东·高三校联考阶段练习）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集是 【答案】AD 【分析】利用可求出判断A，根据定义域判断奇偶性判断B，由单调性定义判断C，由函数性质及单调性脱去“f”解不等式判断D. 【详解】令，得，即，则A正确； 由题意可知的定义域是，则是非奇非偶函数，故B错误； 当时，因为，所以，因为， 所以，则在上单调递增，故C错误； 令，得，因为，所以. 因为，所以，所以，所以等价于， 因为在上单调递增，所以，解得，则D正确. 故选：AD 18．（2024秋·高一课时练习）函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（　　） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据给定的函数关系，利用赋值法推理计算得（），再利用奇偶性定义判断作答. 【详解】对任意的实数x，y，，有成立， 令，则有，又， 因此，显然，得，， 又，于是， 当且时，，整理得，于是， 因此，，有且， 所以函数（）既是奇函数又是偶函数． 故选：C 19.（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 20.（2023秋·高一单元测试）已知函数对一切实数都有成立， 且. (1)分别求和的值； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1)，； (2)是奇函数，证明见解析. 【详解】（1）因为函数对一切实数都有成立，， 所以当时，即， 令可得，所以，即 （2）令可得，所以， 所以，即，， 所以函数是奇函数. 21．（2024秋·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，． (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：在上是减函数； (3)解不等式：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解， （2）根据函数单调性的定义即可求解， （3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】（1）令，则，解得：； 令，则， 为定义在上的奇函数. （2）设，则，； ，，，； 又， ，又当，，， ，即，在上是减函数. （3）由得：； 定义域为且在上是减函数， ，解得：，不等式的解集为. 考点四 奇、偶函数的图象及应用 22．（2023春·云南曲靖·高二校考期中）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先根据奇偶性排除A选项，再根据函数值正负排除C选项，最后根据无穷大的极限排除即可判断. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以为奇函数，其图像关于原点对称，A选项错误； 因为，所以当时，，C选项错误； 又当时，， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增，故B选项错误； 而D选项满足上述性质，故D正确. 故选：D. 23．（2024秋·高一课时练习）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的图象特征，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 由在上的图象，知它在上的图象， 如图所示，使函数值的的取值集合为.    故选：D 24．（2024秋·高一课时练习）定义在R上的偶函数在上的图象如图所示．    (1)请在坐标系中补全函数的图象； (2)解不等式. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据图象关于轴对称可直接画出函数图象； （2）分两种情况考虑，化简不等式，再根据图象可写出不等式的解集. 【详解】（1）的图象如图所示：    （2）不等式可化为或者， 结合图象可知或者， 故不等式的解集为 25.（2023·北京·高三统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 【答案】(1)1 (2)作图见解析， 【详解】（1）由图可知，， 因为是偶函数，所以； （2） 的图像如上图，不等式的解集为； 综上， ，的解集为. 26．（2024秋·浙江嘉兴·高一校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求出当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间； (3)结合函数图象，求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2)图象见解析，单调增区间为； (3). 【分析】（1）由奇函数的定义求出解析式作答. （2）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答. （3）利用（1）（2）的信息，借助单调性求出最值作答. 【详解】（1）依题意，设，有，则， 因为为上的奇函数，因此， 所以当时，的解析式． （2）由已知及（1）得函数的图象如下：     观察图象，得函数的单调增区间为：. （3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值，， 当时，有最大值， 所以当时，函数的值域为. 考点五 利用函数的奇偶性求值 27.（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知是定义域为的奇函数，时，，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【详解】 ，由于是定义域为R的奇函数，所以， 故选：C 28．（2024秋·浙江台州·高一校联考期中）已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 【答案】B 【分析】构造，得到为奇函数，求出，进而得到，求出. 【详解】设，定义域为， 则， 故为奇函数， 又，则， 所以. 故选：B 29.（2023·高一课时练习）已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【详解】函数的定义域为R， 令函数，显然， 即函数是R上的奇函数，因此，即，而， 所以. 故选：C 30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，且，则 ． 【答案】2024 【分析】根据已知条件构造函数，然后利用函数的奇偶性可求得结果. 【详解】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为， 因为 所以函数是偶函数，所以， 所以， 从而，又， 因此. 故答案为：2024 31．（2023春·河南开封·高二校联考期末）已知函数，且，则的值为 . 【答案】 【分析】令，有，为奇函数，则有，可求的值. 【详解】， 令，函数定义域为R， ，为奇函数，， 则，. 故答案为： 32．（2024秋·湖南永州·高二统考阶段练习）已知，为奇函数，若，则（    ）. A． B．6 C．9 D．4 【答案】C 【分析】根据可求出，再根据即可求解． 【详解】，，， 为奇函数， 故选：C． 33.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________. 【答案】/ 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，， 由，则. 故答案为：. 考点六 利用函数的奇偶性求解析式 34．（2024秋·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义结合已知的解析式可求出当时的解析式，从而可求出函数解析式 【详解】因为当时，，所以 因为是R上的偶函数， 所以，， 所以. 35．（2024秋·浙江台州·高一校联考期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 . 【答案】（或） 【详解】根据题意可知，当时，，则， 又函数是定义在上的偶函数，所以， 因此当时，，所以的解析式为. 故答案为： 36．（2024秋·高一课时练习）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 当时可将其代入时的解析式求出，再通过奇偶性将其转化为即可. 【详解】设，则. 可得，又函数f(x)是奇函数． ∴， ∴. 故选：B. 37.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，，，∴， 故选：C. 38.（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数在的解析式； （2）当时，若，求实数的值． 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）令，则， 由，此时； （2）由，， 所以， 解得或或（舍）. 39．（2024秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知为上的偶函数，当时，．    (1)求出时的解析式，并作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间，并写出的解集． 【答案】(1)，，函数的图象见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先设，再根据函数是偶函数求函数的解析式； （2）根据函数的图象，求函数的单调区间，以及转化不等式，结合函数的图象，求解不等式. 【详解】（1）设，， ， 所以时，，    （2）由图象可知，函数的单调递增区间是和， 函数的单调递减区间是和； 不等式，等价于 或，由图象解得：或或， 所以不等式的解集为. 40．（2024秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知函数是奇函数，当时，，则时， ，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由函数奇偶性得到时，再代入，结合求出m的值. 【详解】时，，故， 又是奇函数，故， 所以，故， 故时，； ，解得. 故答案为：， 41．（2024秋·高一课时练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式； （2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可； （2）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可. 【详解】（1）设，则， ∴， 又∵函数是定义域为R的奇函数， ∴， ∴当时，. 又时，， 所以； （2）∵是偶函数，是奇函数，， ∴． 则 即，解之得. 42．（2024秋·广东汕头·高二校考期中）若是偶函数，且当时，，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数求的解析式，进而写出分段函数形式，即可求解集. 【详解】若，则，， 所以，故， 若，则或，可得. 故选：D 43．（2024秋·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合奇函数的性质分析的符号，进而解不等式. 【详解】当时，令， 可知：当时，；当时，； 又因为是奇函数，可知：当时，；当时，； 对于不等式，则或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 44.（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）试判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数， ∴由，得． 又∵ ， ∴ ，解之得； 所以函数的解析式为：； （2）设， 则 ∵，， ∴，即， 所以在上单调递增． 45.（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求当时，函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 所以 即当时，函数的解析式为， （2）由，得， 因为为奇函数，所以， 当时，， 所以在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为 46.（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵函数为奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则； 所以在上的解析式为. （2）当时，则， 对，且，则，故， ∴，即， 故在上为增函数， 且，则， 所以当时，的值域为. 考点七 利用函数的奇偶性求参数值 47.（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】方法一：因为， 所以， 由，得， 解得； 方法二：， 因为是偶函数， 所以图像关于直线对称， 所以，解得， 故选：D． 48．（2024秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求的值； (2)求函数在其定义域上的最值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据函数为偶函数及定义域求解可得，根据偶函数的定义可得的值； （2）由（1）得函数的解析式及定义域结合函数图象可得函数的最值. 【详解】（1）是偶函数，的定义域关于原点对称， 又的定义域为， ，解得. 又， ，可得； （2）由（1）得，定义域为， 其图象是开口方向朝上，对称轴为直线的抛物线的一部分， 当时，， 当时，. 49．（2023春·新疆·高二校考期末）若函数是偶函数，则m= 【答案】1 【分析】根据偶函数的概念求解即可. 【详解】函数的定义域为 所以，若函数是偶函数 则，则，解得。 故答案为：. 50.（2023秋·高一单元测试）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得. 又由于为偶函数，即：，化简得：=0. 则. 故选：C. 51.（2023·高一课时练习）已知函数是偶函数，其中为常数. (1)求的值； (2)若时，均有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）函数是偶函数，则，， 即，而不恒为0，则， 所以c的值是0. （2）由（1）知，，，由，得， 显然，由， 得，解得， 所以m的取值范围是. 52．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数求参数值，注意验证所得参数值是否满足函数为奇函数即可. 【详解】由题设，则， 而满足题设. 所以. 故选：C 53.（2023·高一课时练习）若函数为奇函数，则__． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 且函数为奇函数 ， 所以，，解得. 故答案为：. 54．（2024秋·浙江台州·高一校联考期中）已知是奇函数，且其定义域为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质进行求解即可, 【详解】因为该函数是奇函数， 所以， 此时，显然为奇函数， 故答案为： 55．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-2 【答案】B 【分析】由奇函数的性质可求出的值，即可求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得：， 所以，则， 则. 故选：B. 56．（2024秋·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断函数的单调性并用定义加以证明； 【答案】(1)，. (2)是的单调递增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，列出方程求得，再由，求得； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：因为为定义在上的奇函数，则， 即，可得，所以， 又因为，可得，即 所以，. （2）解：函数是的单调递增函数. 证明如下： 由函数，设且， 则， 因为且，所以， 所以，即， 所以是的单调递增函数. 57．（2024秋·江苏南京·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数，，的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）分段讨论求解一元二次不等式，最后再求并集即可. 【详解】（1）因为时，， 若，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 而时，，所以，，； （2）由（1）知， 当时，等价于，即，解得或， 又，所以； 当时，等价于，即，解得， 又，所以； 综上，不等式的解集为. 58．（2024秋·高一课时练习）（1）若为偶函数，则实数 ． （2）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】（1）由为偶函数，结合，列出方程，即可求解； （2）由函数为奇函数，得出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：因为为偶函数，可得，即， 整理得，所以，解得. （2）解：由函数为奇函数，可得， 即，解得， 当时，函数，经检验为奇函数， 所以. 考点八 利用函数的奇偶性求最值 59．（2024秋·全国·高一专题练习）已知为奇函数，且当时，.则当时，的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性可知，在上的最大值为2，利用奇函数的对称性即可求得结果. 【详解】当时， 在内，由二次函数性质可知当时，有最大值2， 因为为奇函数，所以其图象关于原点对称， 所以在内存在最小值. 故选：C 60.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】当时，函数， 当时，；当时，， 所以函数在上的值域为 因为是上的奇函数，所以的值域为， 所以的最小值是. 故选：A. 61．（2024·全国·高一课堂例题）已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（    ） A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为 C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】任取且，即， ∴， 又函数在区间上单调递增， ∴． ∵函数为奇函数， ∴，∴， 因此，函数在区间上单调递增，最大值为，最小值为． 故选：A 62.（2023·高一课时练习）若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（    ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数， 则函数在区间也为增函数， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 故选：A. 63．（2024秋·高一校考单元测试）设函数在上的最小值为，则在上的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，其中为奇函数，根据奇函数图象的对称性可求出结果. 【详解】设，其中， 因为的定义域关于原点对称，且， 故为奇函数， 由条件知，在上有最小值，则在上有最大值， 所以在上有最大值. 故选：B. 考点九 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 64．（2024秋·高一课时练习）若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小. 【详解】∵，且在区间上是增函数，∴． 故选：B 65．（2024秋·浙江绍兴·高一校考期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于为偶函数，所以，然后由在上是增函数比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 因为在上是增函数，且， 所以，所以， 故选：D 66．（2023春·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调减函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图像关于直线对称，∴， 又函数在上为单调减函数，∴， 即，∴， 故选：C. 67．【多选】（2024秋·高一课时练习）已知函数在上是奇函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据函数是奇函数，得，结合函数在上是单调函数，可判断在上是单调递增，即可判断BCD. 【详解】函数在上是奇函数，所以，， 因为，所以，故A错误， 又因在上是单调函数，故在上是单调递增， 因在上是奇函数，所以在上是单调递增， 所以，，故BCD正确， 故选：BCD 考点十 利用函数的单调性与奇偶性解不等式 68．（2024秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性和单调性直接去“”，得不等式，解不等式即得答案. 【详解】因为是偶函数，且在区间上单调递增， 所以由得，解得， 故选：B. 69.（2023秋·广东深圳·高一统考期末）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的解集________. 【答案】 【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以， 所以， 即， 故答案为： 70.（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数，所以由， 当时，由， 因为在上单调递增， 所以，或， 而，所以； 当时，由， 因为在上单调递增， 所以或， 而，所以， 故选：A 71.（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，函数的大致图像如下图： 因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 则当或时，；当时，， 不等式化为或， 所以或或， 解得或或，即或， 即原不等式的解集为； 故选：C. 72.（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为为上的偶函数，函数， 所以，即函数为偶函数， 由，可得， 即，又函数为偶函数且在上单调递增， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 73.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增，且，， 可画出其大致图像，如图所示， 因为， 所以当时，，解得， 当时，，解得， 当时，显然不合题意， 所以不等式的解集为， 故选：A． 74．【多选】（2023春·云南玉溪·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则属于不等式的解集的的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】BCD 【分析】由奇偶性可得，然后利用单调性求解可得. 【详解】∵对于任意两个实数，不等式恒成立， ∴函数在上单调递增． ∵函数是定义在上的奇函数， ∴，∴不等式化为，解得， ∴不等式的解集为，结合选项可知B，C，D正确. 故选：BCD． 75．（2024秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知是定义在上的函数． (1)判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，单调递增，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义，即可判断； （2）首先化简不等式，再根据函数的单调性，求解不等式. 【详解】（1），， 所以函数是奇函数， 设， 则 ， 因为，所以，，，， 所以， 则函数为单调递增函数； （2）不等式， 化简为， 因为函数是定义在的增函数， 所以，解得：， 所以的取值范围为. 76.（2023春·四川自贡·高一校考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，且对任意实数，有，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意实数，有,所以函数在上单调递减， 又因为函数为定义在上的奇函数，且，则，所以得. 故选：D 77．（2024·全国·高一课堂例题）已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数与减函数的性质，结合定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则， 因为是奇函数，所以． 又函数是定义在上的减函数， 所以，解得， 故所求不等式的解集为． 故答案为：. 78．（2023春·贵州贵阳·高二校联考期末）已知函数，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性定义可确定为偶函数；利用单调性定义可判断出在上单调递增，并结合偶函数性质可得到在上单调递减，利用单调性可将所求不等式化为，平方后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】由题意得：； 当时，，， 当时，，， 为定义在上的偶函数， 设，则， 在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减， 由得，即，解得， 即的取值范围为. 故选：A. 79．（2024秋·河北衡水·高三河北武强中学校考开学考试）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合，根据奇偶性以及单调性解不等式. 【详解】奇函数在上为增函数， 所以，即， 又，则，大致图象如下，      所以当时，. 故选：C. 80．（2024秋·北京海淀·高三北京一零一中石油分校校考开学考试）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解. 【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数， 若，则，平方可得， 解得， 故答案为： 考点十一 奇偶函数对称性的应用 81.（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为函数是定义在R上的偶函数， 所以关于对称，则， 又， 所以，即， 函数的周期为4， 取，则， 所以，则D选项正确，B、C选项错误； 由已知条件不能确定的值，A选项错误； 故选：D. 82.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为______. 【答案】 【详解】∵，则， 故函数为偶函数， 对于上的，不妨设，则， 由可得，即， 故函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 对，则，即， 则，即，解得，可得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 83.（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【详解】由是偶函数，，则，又， ， 所以是周期函数，周期为4， 对于，令，得，则， 所以. 故选：B 84.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且对任意都有，若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 又由可得，， 所以有，则，所以， 所以是周期函数，周期. 又，所以， 又，，所以. 故选：D. $$