精品解析：2024年湖北省黄石市下陆区黄石市实验中学中考三模数学试题

2024年黄石市实验中学教联体五月形成评价（数学） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个项符合题目要求） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列代数式中，整式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，据此进行判断即可． 【详解】解：是多项式，它是整式，则A符合题意； 是二次根式，它不是整式，则B不符合题意； 是分式，它不是整式，则C不符合题意； 是分式，它不是整式，则D不符合题意； 故选：A． 3. 商品设计中，图标的设计非常重要，中国人一向追求对称之美，请你在下列图标中找到，是轴对称的图形（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，选项D中的图形都是沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，故D符合题意． 选项A、B、C中的图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：D． 4. 如图是一个由个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案，掌握从正面看到的图形是主视图是解题的关键． 【详解】解：从正面看看到的是， 故选：． 5. 如图，两条直线，将一个含角的直角三角板放入其中，顶点、分别在和上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据“两直线平行，内错角相等”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. ） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点成中心对称的点，“横坐标与纵坐标都互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标是． 故选：C． 7. 已知一元二次方程的两个根为，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．直接利用根与系数的关系对A、B选项进行判断；利用完全平方公式得到， ，再利用整体代入的方法计算，从而可对C、D选项进行判断． 【详解】解：∵根据根与系数的关系得， ∴A、B选项不符合题意； ∵， ∴C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 8. 如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长交于点E，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径， 故选A． 9. 如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：角平分线的作法；由作法得是的角平分线，，然后根据角平分线的性质求解． 【详解】解：由题可知，是的角平分线， 点P到和的距离相等， ，， ， 点D到的距离为的长，即点D到的距离为3， ∴点D到的距离为3． 故选：C． 10. 已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，得出，可以判断①②，再根据抛物线判断③④． 【详解】解：∵抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴, 即， ∵当时，， ∴, ∴，故③错误； ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，则y随x的增大而减小， 故④错误． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 因式分解： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，利用提公因式法得结论． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 函数中自变量x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且， 故答案为：且． 13. 某班为了提升数学成绩，进行数学小组帮扶，在后续考试中，发现有组成绩提升非常明显，该组有4位男同学和3位女同学，现从中随机抽取位同学分享学习成果，则抽到男同学的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式即可得到结论． 【详解】解：该组有4位男同学和3位女同学，共7人， 从中随机抽取1位同学分享学习成果，则抽到男同学的概率是． 故答案为：． 14. 如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧长，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．由图可知：图案的面积半圆的面积的面积扇形的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积． 【详解】解：在中，，， ， ，，； 所以阴影面积， 故答案为：2． 15. 已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，， ，则的长______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、相交于F，先根据求得，，从而求得，再证明，，得到，即可求得，，然后证明，得到，即可求得，，即可由求解． 【详解】解：延长、相交于F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，解题的关键是掌握相关运算． 先进行乘方、零指数幂，负整数指数幂的运算，绝对值、再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在四边形中，，，对角线于点O， （1）求证： （2）求证：四边形是菱形； 【答案】（1）证明： 在和中 （2） 证明： 四边形为平行四边形 ∴四边形为菱形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质 （1）根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某数学小组想测量山坡下一棵树的高度，同学们发现树的影子恰好落在地面和斜坡上，如图，此时测得树的影子分别落在了地面上的影子长为，落在斜坡上的影子长为，他们在处测得树的顶端的仰角为，求树高． （参考数据：，，，，结果保留一位小数） 【答案】树高约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于点， 由题意得：，， 在中，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 树高约为． 19. 某校组织七，八学生参加黄石矿山公园研学活动，并在矿山公园进行了一场实地国防教育活动．在活动结束后号召同学们参与国防知识竞赛活动，卷面设置满分为100分，85分以上为良好．现随机抽取本校七年级和八年级各40人进行问卷调查，统计整理并绘制了如下尚不完整的统计图： ①将抽查的两个年级成绩进行整理，用x表示成绩，并将成绩分为4组：A．，B．，C．，D． ②八年级B组学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 八年级 85 a 86 根据以上信息解答下列问题： （1）补全条形统计图，表格中________；八年级C等级所占圆心角度数为________； （2）若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数； （3）请从平均数，中位数，众数中任选一个统计量评价七八年级国防知识掌握情况． 【答案】（1）86， （2）780人 （3） 选择平均数:平均数是反应抽查数据的平均情况，八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好。 选择中位数:中位数表示成绩居于中间的数，七年级中位数是80，八年级中位数是86，所以八年级掌握情况比七年级好。 选择众数:众数表示一组数据中出现次数最多的数据，八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好。 三个方面任意选择一个角度作答， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、方差、利用样本估计总体，掌握各统计量的含义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求出a的值，根据总人数求出八年级B组的人数即可补全频数分布直方图； （2）利用样本估计总体求解即可． （3）根据平均数，中位数，众数的意义进行解答即可； 【小问1详解】 解：七年级B组人数为：人， 补全条形统计图，如图： ， 将八年级B组学生成绩按从小到大的顺序排列，82，84，84，86，86，86，86，89；第4位，第5位分别是86，86， 因此中位数， 八年级C等级占， 八年级C等级所占圆心角度数为， 故答案为：86，； 【小问2详解】 人 答：估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数为780人。 【小问3详解】 略 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出满足的x的取值范围； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）通过观察图象即可求得． 【小问1详解】 解：反比例函数过， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入， 得， ∴， 将，代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象，满足的x的取值范围或． 21. 如图，为的外接圆，经过点B作直线，连接使，直径的延长线交直线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若点C是弧的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，得出，根据等腰三角形性质得出，根据，得出，求出，证明，即可证明结论； （2）设交于点F，连接，根据垂径定理的推论得出，，根据设，则，，根据勾股定理得出，根据勾股定理得出，求出，得出，，，，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点F，连接，如图所示： ∵点C是的中点， ∴，， ∵， ∴ 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，垂径定理的推论，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22. 某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． （1）求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； （2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 【答案】（1） （2）第32天时利润最大，为4000元 （3）日销售利润不低于3510元的天数为22天 【解析】 【分析】（1）门店销售方式每天的售价第20天的售价超过20天的天数； （2）时，电商销售的利润电商销售每件玩具的利润销售量，进而根据函数的增减性和自变量的取值范围可得对应天数及此范围内的最大利润；当时，门店销售的利润门店销售每件玩具的利润销售量，整理成顶点式，可得此范围内的对应的天数及最大利润，比较后可得最大利润及对应天数； （3）当时，令，求得的取值范围可得相应的天数；当时，令，求得的取值范围可得相应的天数，综合两种情况可得日销售利润不低于3510元的总天数． 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用．分电商销售和门店销售两种情况探讨函数的最大值及日销售利润不低于3510元的天数是解决本题的难点． 【小问1详解】 解：依题意，∵前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元 ∴ ． 【小问2详解】 解：①当时， ． ， 随的增大而增大， 当时，最大．的最大值为：元； ②当时， ． ， 当时，有最大值4000元， ， 第32天时利润最大，为4000元． 【小问3详解】 解：由（2）知，当时， ， 解得：， 共有2天； 当时， ， ， ，共20天， 综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天． 23. （1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接． 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 24. 已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点． （1）若点的坐标为，求抛物线的解析式； （2）如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值； （3）如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为． 含b的式子表示a； ②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值． 【答案】（1） （2）为等腰直角三角形， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将点的坐标为代入，即可求得； （2）将进行配方，可得到顶点M为，过点M作，则，再设坐标，根据距离公式即可求得； （3）①由设点P为，分别过点P、点Q作垂直于直线，垂足分别为，可得，得到，，最后化简可得.②由①可知、必满足方程：，设直线为：，联立 可化简，由为此方程的两个不等根，得到. 【小问1详解】 解：由题： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 解∵ ∴顶点M为，过点M作，则 设坐标为、， 当时， ∵点关于过点所在直线对称， ∴点为的中点， ∴， 即点在以为圆心为直径的圆上， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ 【小问3详解】 解①∵，由（1）得：， ∴对称轴为：直线，设点P为 分别过点P、点Q作垂直于直线，垂足分别为 ∵绕点顺时针旋转到， ∴=， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴① ∴， ∴， ∴或， ∴② 将②代入①得： ②由①可知、必满足方程： ∵直线恰好过定点F ∴可设直线为： ∴ 联立 可化简为： ∴ ∴ ∴ ∵ 为此方程的两个不等根 ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年黄石市实验中学教联体五月形成评价（数学） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个项符合题目要求） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列代数式中，整式为（ ） A. B. C. D. 3. 商品设计中，图标的设计非常重要，中国人一向追求对称之美，请你在下列图标中找到，是轴对称的图形（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两条直线，将一个含角的直角三角板放入其中，顶点、分别在和上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. ） B. C. D. 7. 已知一元二次方程的两个根为，，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 9. 如图所示，在中，，以顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 因式分解： __________． 12. 函数中自变量x的取值范围是__________． 13. 某班为了提升数学成绩，进行数学小组帮扶，在后续考试中，发现有组成绩提升非常明显，该组有4位男同学和3位女同学，现从中随机抽取位同学分享学习成果，则抽到男同学的概率是______． 14. 如图所示，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧长，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为________． 15. 已知菱形中，点E、G分别为边、上一点，连接、．若，， ，则的长______ 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形中，，，对角线于点O， （1）求证： （2）求证：四边形是菱形； 18. 某数学小组想测量山坡下一棵树的高度，同学们发现树的影子恰好落在地面和斜坡上，如图，此时测得树的影子分别落在了地面上的影子长为，落在斜坡上的影子长为，他们在处测得树的顶端的仰角为，求树高． （参考数据：，，，，结果保留一位小数） 19. 某校组织七，八学生参加黄石矿山公园研学活动，并在矿山公园进行了一场实地国防教育活动．在活动结束后号召同学们参与国防知识竞赛活动，卷面设置满分为100分，85分以上为良好．现随机抽取本校七年级和八年级各40人进行问卷调查，统计整理并绘制了如下尚不完整的统计图： ①将抽查的两个年级成绩进行整理，用x表示成绩，并将成绩分为4组：A．，B．，C．，D． ②八年级B组学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 八年级 85 a 86 根据以上信息解答下列问题： （1）补全条形统计图，表格中________；八年级C等级所占圆心角度数为________； （2）若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数； （3）请从平均数，中位数，众数中任选一个统计量评价七八年级国防知识掌握情况． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出满足的x的取值范围； 21. 如图，为的外接圆，经过点B作直线，连接使，直径的延长线交直线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若点C是弧的中点，，求的长． 22. 某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． （1）求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； （2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 23. （1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值． 24. 已知抛物线与x轴交于两点，与轴交于点． （1）若点的坐标为，求抛物线的解析式； （2）如图1，设抛物线的顶点为M，判断的形状，并求出的值； （3）如图2，在（1）条件下，点P为抛物线上一点，将绕点顺时针旋转到，记点Q为． 含b的式子表示a； ②若抛物线上有两点、，按（3）的变换方式得到点、且，连恰好过定点F，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $