圆锥曲线的方程（十五）讲义——2025届高三数学一轮复习

高中数学 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五 知识点一 抛物线的焦半径公式,根据抛物线上的点求标准方程,抛物线中的参数范围问题,抛物线中的定值问题 典例1、如图，抛物线的焦点为F，点A为抛物线上的一动点，直线AF交抛物线 于另一点B，当直线的斜率为1时，线段的中点的横坐标为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）若过B与轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的纵坐标的取值范围． 随堂练习：如图，已知过点，圆心C在抛物线上运动，若MN为在x轴上截得的弦，设，， 当C运动时，是否变化？证明你的结论． 求的最大值，并求出取最大值时值及此时方程． 典例2、设点，动圆经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程； （2）过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标． 随堂练习：已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为． （1）求抛物线的方程及点的坐标； （2）设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围． 知识点二 双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题 典例3、在平面直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程；（2）已知直线与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足，问是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 随堂练习：已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为M，N，点满足 （1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值. 典例4、已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为. （1）求的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 典例5、已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双 曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2. （1）求双曲线C的标准方程；（2）已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且 的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程. 随堂练习:已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1 与曲线E交于A,B两点, (1)求k的取值范围; (2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S． 2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时十五答案 典例1、答案： （1）；（2），，． 解：（1）设直线AF的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 则，. ∴,, 设M(x0，y0),则x1+x2=2x0,∴x0=pk, ∵当k=1时x0=2,∴p=2, 则抛物线的方程为 （2）设，，，． 由题知不垂直于轴，可设直线 由消去得， 故，所以． 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而的直线，直线， 由解得的纵坐标是，其中， 或． 综上，点的纵坐标的取值范围是，，． 随堂练习：答案： （1）不变（2）最大值为，圆C方程为： 解：设，方程为 与联立 得 在抛物线上 ，代入 得为定值 不变 由可设、， ， 当且仅当时取等号，即 圆方程为 当时，为∠ANx--∠AMx，又 同理，时，仍可得 典例2、答案：（1） （2） 解：（1）由题意，点P到点F的距离等于到直线的距离， 所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， , 故曲线E的方程是. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线的方程为， 与E联立得： 设，则 则，， 即中点C坐标为， 由题意△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， 故，过C与垂直的直线，其方程为， 令，得，故点N坐标为， 又， 故， 令，则，由，解得， 即，解得 又直线的方程为， 令，得到点M横坐标为. 随堂练习：答案： （1）抛物线方程为，点的坐标为 （2） 解：（1）由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为. （2）直线的方程为，设点、， 联立整理得，，可得或， 由韦达定理可得，， 又，即，所以，， 因为，，则， 又， 令，所以，， 由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 当时，， 同理可知，当时，， 又因为或，所以，的取值范围是. 典例3、答案：（1） （2）是定值， 解:（1）设，由题意得，化简得 （2）存在. 设，， 联立直线与双曲线方程，有 由韦达定理，有 ， 法一：注意到上式当时，上式恒成立，即过定点和 经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故为定值，该定值为 法二：联立直线与双曲线方程，有……（1） （1）式两边平方，有，即……（2） 注意到，是此方程的两个增根，故含有因式，记为代入（2），有 即 即 即 解得，代回（1）有或 经检验直线不过这两点，故上述两点为P，Q，为定值，该定值为 随堂练习：答案： （1）； （2）证明见解析. 解：（1）由题意知，又， 所以， 由，可得， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为； （2）因为， 若直线l的斜率不存在，则l与双曲线C仅有一个公共点， 不合题意，故l的斜率存在， 设l：， 联立得：， 设， 则. 因为，故，① 又， 所以，② 联立①②，解得， 于是 所以为定值. 典例4、答案： （1）； （2）存在，，理由见解析. 解：（1）设，， 因为为等边三角形时，其面积为， 所以，解得，即， 由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线， 由题意可知，所以， 所以的方程； （2）设，则在动直线上的投影， 当时，， 由可得，所以切线的斜率为， 设，，线段的中点， 由，可得， 所以， 整理可得：，即，所以， 可得，又因为， 所以当时，，此时三点共线，满足为的中点， 综上，存在，使得点为的中点恒成立，. 典例5、答案： （1） （2）或 解：（1）由在双曲线C上，得， 由TP垂直x轴于点P，得， 则由到双曲线C的渐近线的距离为2， 得，得， 联立和， 解得，， 即双曲线C的标准方程为. （2）由题意，， 当直线无斜率时，直线方程为，则、， 则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上， 则，而，，， 不符合题意（舍）； 当直线存在斜率时，设直线方程为， 联立，得， 即 设直线l与双曲线C的右支相交于、， 则， 解得，即或； 则，， 从而， 则线段AB的中点， 且. 由题意设， 易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此， 得，即， 连接QP，QA，QM，因此. 由勾股定理可得，， 又，则， 化简得，得（舍去）， 因此直线l的方程为， 即或. 随堂练习：答案：（1）；（2），面积为. 解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，得， 故曲线的方程为； 设，由题意建立方程组， 消去，得， 又直线与双曲线左支交于两点，有，解得， （2）， 依题意得，整理后得， ∴或，但∴， 故直线的方程为， 设，由已知，得， ∴， 又， ∴点， 将点的坐标代入曲线的方程，得得， 但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴，点的坐标为，到的距离为， ∴的面积. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $$