精品解析：四川省成都市2024届高三下学期零诊摸底测试理科数学试题卷

成都市2021级高中毕业班摸底测试 数学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至3页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，所以， 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解. 【详解】由题意得，“，”的否定为，, 故选：B 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出、的值，即可得出所求双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的的值为（ ） A. B. C. 2 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件结构，即可分类讨论求解. 【详解】若，则，此时不满足，不符合要求，故舍去， 若，此时不满足，符合要求，故， 故选：D 5. 若实数，满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先作可行域，再作直线，平移直线确定最优解，然后可得. 【详解】根据题意作可行域如图， 作直线，由图可知，平移直线到位置，即过点时，取得最大值. 解方程组得， 代入，. 故选：D. 6. 全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分.现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ） A. 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B. 甲、乙两组评分的中位数不相同 C. 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D. 甲组评分的众数小于乙组评分的众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数. 【详解】甲的数据为，乙组数据为. A选项，甲的平均数为：，乙的平均数为：， 甲的平均数小，A选项正确； B选项，甲的中位数为：，乙的中位数为：，甲乙中位数一样，B选项错误； C选项，甲的极差为，乙的极差为，甲的极差更小，C选项错误； D选项，甲的众数为，乙的众数为，甲的众数更大，D选项错误. 故选：A 7. 如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（ ） A. C，G，，F四点共面 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线EF和HG所成角的正切值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D. 【详解】取中点，连接, 由于是的中点，在正方体中可知, 又，所以四边形为平行四边形，故, 因此，故C，G，，F四点共面，故A正确，, 取中点，连接, 由于均为中点，所以 平面，平面，所以平面, 同理平面,平面, 所以平面平面，平面，故直线平面，B正确， 假若平面平面，则平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可得平面，显然这与与相交矛盾，故C错误， 由于，所以, 故为直线EF和HG所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以, 故, 直线EF和HG所成角的正切值为，D正确. 故选：C. 8. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数化简得，然后分和两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可. 【详解】， ①当时，，则， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以在上的最小值为， 因为， ， 所以在和上各有一个零点， ②当时，，则， 所以在上递增， 因为，， 所以在上有一个零点， 综上，共有3个零点， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 9. 七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质,进行边长运算即可得出结论. 【详解】如图， 为等腰直角三角形， 连接, 由题可知， 分别为的中点， 设，则,, , , 则, 阴影部分②的面积为, 阴影部分⑦的面积为 则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为， 故选：B. 10. 已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆心的距离范围即可求解. 【详解】圆的方程可化为， 其圆心坐标为，半径为， 当时，直线，圆心到直线的距离， 此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，故充分性成立； 当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1时， 圆心到直线的距离，所以，解得，故必要性成立， 所以“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的充要条件. 故选：C. 11. 记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，所以构造函数，求导后可判断出在上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 因为，所以 所以， 所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 对于A，因为，所以， 所以，， 所以，所以A错误， 对于C，因为，所以， 所以，， 所以， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以C错误 对于BD，因为，所以， 所以，， 所以， 因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误， 所以D错误， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是对已知条件变形，然后构造函数，求导后判断出函数的单调性，再利用函数的单调性分析，考查数学计算能力，属于较难题. 12. 如图①，已知边长为的等边，点分别为边的中点.现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，结合等腰三角形三线合一性质、余弦定理和勾股定理可分别证得，，从而得到平面；根据可知为梯形外接圆圆心，设外接圆圆心为，由球的性质可确定球心位置，根据长度关系可得半径，代入球的表面积公式即可. 【详解】取中点，连接， 分别为中点，，， 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 为中点，，，即，； ，，， ，， ，平面，平面， ，，为等边三角形，， 同理可得：，， 为梯形的外接圆圆心， 设的外接圆圆心为，则， 分别过作的平行线，交于点，则点即为四棱锥的外接球球心，即为外接球半径， ，， 四棱锥的外接球表面积. 故选：C. 【点睛】关键点睛；本题考查立体几何中的多面体外接球相关问题的求解，解题关键是能够根据球的性质，结合线面垂直关系确定外接球球心的位置，从而根据长度关系求得外接球半径. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知复数（其中为虚数单位）)，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案． 【详解】，因此，. 故答案为：. 14. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项.小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击.假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是__________（填写具体项目名称）. 【答案】武术 【解析】 【分析】根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解. 【详解】由题意，如图下表所示： 若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术. 故答案为：武术. 武术 赛艇 射击 小张 会 不会 小王 会 不会 会 小李 会 不会 15. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若点在以为直径的圆上，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意点在以为直径的圆上，所以，则，即可求出，从而得解. 【详解】抛物线的焦点，显然直线的斜率存在且不为，设直线为，，， 由，消去整理得，， 所以，， 因为点在以为直径的圆上，所以， 则 ， 即，即，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 16. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】分别求得函数和在点和点处的切线方程，由条件可得的关系，化简可得结论. 【详解】因为， 所以， 则在点处的切线方程为：，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，则 ，解得， 又，所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记函数的导函数为，已知，. （1）求实数的值； （2）求在的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，根据，列出方程，即可求解； （2）由（1）得，求得的单调区间和最值，即可求得函数的值域. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为，可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在，单调递增；在单调递减， 又由，，，， 所以，， 所以函数在的值域为. 18. 某种产品的价格（单位：万元/吨）与需求量（单位：吨）之间的对应数据如下表所示： 12 11 10 9 8 5 6 8 10 11 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由． 参考公式：，． 【答案】（1） （2）当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨，理由： 当时，代入可得，． 故当该产品定价为6万元时，需求量不超过15吨． 【解析】 【分析】（1）依次求出，代入公式计算即得，代入可得，即得关于的线性回归方程； （2）将代入回归方程求得需求量吨，再与15吨比较即得. 【小问1详解】 由题意得， ． ，， ，． 关于的线性回归方程为． 【小问2详解】 略 19. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）若，分别为棱，上的动点，且.当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接. ， 直三棱柱中四边形为正方形. . 又，，，平面， 平面. 平面， . 又，，，平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定即可证明； （2）设，则，则，根据基本不等式得，此时，分别为棱，的中点.再建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意设，则. . （当且仅当时取等号）， ，此时，分别为棱，的中点. 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 可得，. 设平面的一个法向量为. 由得，令，得. 又平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为. ， 结合图形，易知二面角为锐角. 二面角的余弦值为. 20. 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到其左、右焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）设过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，若椭圆上存在点满足，求四边形面积的最小值及此时的值. 【答案】（1） （2）当时，四边形面积最小值为3 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率公式与定义求得，从而得解； （2）联立直线与椭圆方程得到，，从而求得关于的表达式，再利用得到，从而得解. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且椭圆上的点到其左、右焦点距离之和为4， 且，解得，， ，， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率为0时显然不成立， 设直线的方程为，，， 由消去，得， 显然，则，， ，， 为的中点，， ，， 又点在椭圆上，则，解得， ， ， 四边形的面积， ， （当且仅当时取等号）， 当时，四边形面积最小值为3， 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解， 21. 已知函数，其中. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）1 【解析】 【分析】（1）代入，求导分析导函数的正负区间即可； （2）参变分离可得，再构造函数求导可得，再构造，求导结合零点存在性定理可得，进而可得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，函数定义域为， . 由，解得；由，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由题意当时，，整理得. 令函数. 则. 令，则. 当时，恒成立. 在单调递增. 又，， ，使得，即. 时，；时，. 在单调递减，在单调递增， 则. 令函数.则. 在单调递增. . 又，而， . 又， . 整数的最大值为1. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了利用导数分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数，结合零点存在性定理，进而确定函数在区间上最值的范围问题.需要根据题意参变分离，构造函数求导，设极值点，再确定零点所在区间，进而代入原函数可得极值范围.属于难题. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设曲线与曲线相交于，两点. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）已知点，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【小问1详解】 由曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为. ，， 化简得曲线的直角坐标方程为. 【小问2详解】 由题意得曲线的参数方程为（为参数）. 将其代入，得. . 设，两点对应的参数分别为，. 则，. 则，为一正一负， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市2021级高中毕业班摸底测试 数学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至3页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的的值为（ ） A. B. C. 2 D. 16 5. 若实数，满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. 6 C. 7 D. 9 6. 全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”.为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分.现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ） A. 甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数 B. 甲、乙两组评分的中位数不相同 C. 甲组评分的极差大于乙组评分的极差 D. 甲组评分的众数小于乙组评分的众数 7. 如图，在正方体中，已知E，F，G，H，分别是，，，的中点，则下列结论中错误的是（ ） A. C，G，，F四点共面 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 直线EF和HG所成角的正切值为 8. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图①，已知边长为的等边，点分别为边的中点.现以为折痕将折起为四棱锥，使得，如图②，则四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13. 已知复数（其中为虚数单位）)，则______． 14. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项.小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击.假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是__________（填写具体项目名称）. 15. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若点在以为直径的圆上，则直线的方程为__________. 16. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 记函数的导函数为，已知，. （1）求实数的值； （2）求在的值域. 18. 某种产品的价格（单位：万元/吨）与需求量（单位：吨）之间的对应数据如下表所示： 12 11 10 9 8 5 6 8 10 11 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由． 参考公式：，． 19. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）若，分别为棱，上的动点，且.当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 20. 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到其左、右焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）设过左焦点的直线与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，若椭圆上存在点满足，求四边形面积的最小值及此时的值. 21. 已知函数，其中. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若恒成立，求整数的最大值. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设曲线与曲线相交于，两点. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）已知点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $