精品解析：山东省菏泽市2024届高三信息押题卷（二）数学试题

2024届高三信息押题卷（二） 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：B 2. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量平行得到方程，求出答案. 【详解】，故，解得. 故选：D 3. 已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意,根据抛物线的性质,抛物线,则抛物线焦点为，若为 抛物线上一点,有,可得,解得. 【详解】因为抛物线为, 则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为, 由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3, 所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得, 故选：C. 4. 在△中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由，则或和，则，则，可得出答案. 【详解】若，则或，即或， 所以在△中，“”是“”的不充分条件 若，则，则， 所以在△中，“”是“”的必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题. 5. 过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理。结合两点间距离公式列式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 依题意，，则， 于是，整理得， 所以或. 故选：D 6. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达， 则， 于是， 所以该列车为和谐号的概率为. 故选：D 8. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合棱台的体积公式求出棱台的高，棱台上下底面的外接圆半径，再借助正棱台的结构特征求出其外接球半径即可. 【详解】令给定的正三棱台为正三棱台，， 令正的中心分别为，而， 则，解得， 的外接圆半径，的外接圆半径， 显然正三棱台的外接球球心在直线，设外接球半径为，则， 因此，解得， 所以该正三棱台的外接球表面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设复数在复平面内对应的向量为，依题意可得四边形为菱形，且，即可求出、，再根据复数代数形式的运算法则计算可得. 【详解】设复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点， 则复数在复平面内对应的向量为，且， ，， 所以四边形为菱形，且， 又，与轴正半轴所成的角为， 所以与轴正半轴所成的角为，所以与关于轴对称， 所以，则，所以，故B正确； 因为，所以，故A错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为1 B. 函数图象的一条对称轴为 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上恰有5个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】由为偶函数得，再由图象变换结合已知求出，即得，然后借助余弦函数的图象性质逐项判断即得. 【详解】由函数为偶函数，得，而，则， 因此，， 由，得，于是，解得，则， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，函数图象关于不对称，B错误； 对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C正确； 对于D，由，得，解得， 由，解得，因此函数在上恰有6个零点，D错误. 故选：AC 11. 已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当时讨论推理即可．对于B，举反例即可．对于C，D，分两种情况讨论：和时，利用对数的运算性质，推理判断出每个的真假． 【详解】对于A，若，且，只能，有， 则，，所以，故A正确； 对于B，举反例：当时， 则，， 此时，故B不正确； 对于C，易知，且．若，且，则有： （ⅰ）当时，有， 则，， 且，所以； （ⅱ）当时，， 且，则． 综上所述：，故C正确； 对于D，若，则．若，且，分类讨论． （ⅰ）当时，有， 从而，， 则； （ⅱ）当时，则，， 因为， 则，从而． 综合所述：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意，且，根据相应的选项特征分类讨论，进而分析判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量与的10对观测数据为，且，，若关于的经验回归方程为，则变量的平均值______；______． 【答案】 ①. 10 ②. 9 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用回归方程求出，进而求出. 【详解】依题意，，又，则，解得， 由，得. 故答案为：10；9 13. 已知，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】对角进行配凑，利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算即得. 【详解】由，得， 即， 整理得，由，得， 则，，于是，又， 所以. 故答案为：2 14. 已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式探求得数列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得. 【详解】正项数列中，由，得，则， 即数列是以4为周期的周期数列，而，则， 因此， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出数列的周期，再借助周期性求前n项和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，为边的中点． （1）若，，求的长； （2）若，，试判断的形状． 【答案】（1）2； （2）非直角的等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理计算得解. （2）利用正弦定理，结合诱导公式及二倍角的正弦化得，再结合已知即可推理得解. 【小问1详解】 依题意，，在中，由正弦定理得， 即，解得，则， 在中，由余弦定理得， 即，所以. 【小问2详解】 由，得，在中，， 在中，，又，两式作商得： ，即，则， 于是或，而，即， 因此，， 所以为非直角的等腰三角形. 16. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在中，， 则，即， 由平面，得平面， 又平面，则， 又平面，于是平面， 又平面，则，而平面， 因此平面，又平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合平行四边形的性质推理即得. （2）由（1）的信息，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，显然， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记次交换后，盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为． （1）求； （2）求的数学期望． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出每次交换所得结果，探求出与的递推公式，再变形利用构造法求出通项即得. （2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，再求出数学期望. 【小问1详解】 依题意，每次交换共有4种情况，其中有2种情况交换后、B盒子中仍为一黑一白两个小球， 另外2种情况交换后，盒子中有两个黑球或两个白球，再次交换后，B盒子中必为一黑一白两个小球， 则，，即有， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为0，1，2， ，，， 所以. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用点在椭圆上及四边形面积，结合待定系数法求出. （2）联立直线与椭圆的方程，求出结合韦达定理求解即得. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，依题意，，则， 四边形为平行四边形，其面积，得，即， 联立解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 存在. 由消去得， 当时，恒成立， 设，则， ， 则 当，即时，为定值，所以. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 19. 如果三个互不相同的函数，，在区间 上恒有或，则称为与在区间 上的“分割函数”． （1）证明：函数为函数与在上的分割函数； （2）若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数 的取值范围； （3）若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 【答案】（1）证明：设，则，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，则在处取得极大值，即为最大值， 即，则当时，； 设，则，当时，在上单调递咸， 当时，在上单调递增，则在处取得极小值，即为最小值， 即，则当时，， 于是当时，， 所以函数为函数与在上的“分割函数”. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，利用导数证明不等式和恒成立即可. （2）由“分割函数”定义得恒成立，借助导数及二次函数性质求解即得. （3）利用导数求出函数的极值，再利用“分割函数”的定义确定图象的切线及切点横坐标范围，然后求出直线被函数图象所截弦长，利用不等式性质及导数求出最大值即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数为函数与在上的“分割函数”， 则对，恒成立， 而，于是函数在处的切线方程为， 因此函数 的图象在处的切线方程也为，又， 则，解得， 于是对恒成立， 即对恒成立， 因此，解得， 所以实数 的取值范围是. 【小问3详解】 对于函数， 当和时，，当和时，， 则为的极小值点，为极大值点， 函数的图象如图， 由函数为函数与在区间上的“分割函数”， 得存在，使得直线与函数的图象相切， 且切点的横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则消去y得，则， 于是 令，则， 当且仅当时，，所以在上单调递减，， 因此的最大值为，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三信息押题卷（二） 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 在△中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 若函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 8. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为，体积为，则该正三棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足：，，若在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（ ） A. 函数的最小正周期为1 B. 函数图象的一条对称轴为 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上恰有5个零点 11. 已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量与的10对观测数据为，且，，若关于的经验回归方程为，则变量的平均值______；______． 13. 已知，，，则______． 14. 已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，为边的中点． （1）若，，求的长； （2）若，，试判断的形状． 16. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，． （1）证明：； （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记次交换后，盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为． （1）求； （2）求的数学期望． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如果三个互不相同的函数，，在区间 上恒有或，则称为与在区间 上的“分割函数”． （1）证明：函数为函数与在上的分割函数； （2）若函数为函数与在上的“分割函数”，求实数 的取值范围； （3）若，且存在实数，使得函数为函数与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $