精品解析：云南省下关第一中学教育集团2023-2024学年高一下学期段考（二）（6月）数学试题

下关一中教育集团2023~2024学年高一年级下学期段考（二） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出集合后，运用交集性质运算即可得. 【详解】由，解得，即， 又，则. 故选：D. 2. 复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到，再由共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解. 【详解】， ， 复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D. 3. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间． 【详解】解：函数在其定义域上单调递增， （2），（1）， （2）（1）． 根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是， 故选． 【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题． 4. 已知向量，满足，，，那么与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据模的向量运算，将平方后化简，即可由平面向量的数量积定义求得与的夹角. 【详解】向量，满足，，， 则 所以，代入，， 可求得， 由平面向量数量积定义可知，设与的夹角为， 则， 则， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量夹角的求法，平面向量数量积定义及模的运算，属于基础题. 5. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可. 【详解】由直观图可得原图形， 所以，，， 所以，原图形的周长为. 故选：B. 6. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正方体中，直线与所成角，等于直线与所成角，利用余弦定理即可求出. 【详解】正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则有， 直线与所成角，等于直线与所成角， 设正方体棱长为2，则，，， ， 中，，所以 . 所以直线与所成角为. 故选：A. 7. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示．在中，分别为角所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值是 D. 面积的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用商数关系与和差公式化简，结合诱导公式和正弦定理可得，可判断AB；将条件代入所给公式，转化为关于b的函数，利用二次函数性质可得最大值，可判断CD. 【详解】因为， 整理得， 因为，所以， 由正弦定理角化边可得，故A正确，B错误； 由题知， ， 当时，，故C错误，D正确. 故选：AD 8. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形，故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数： 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的（ ） A. 极差为0.3 B. 众数为9.0和9.1 C. 中位数为9.0 D. 第70百分位数为9.05 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极差、众数、中位数、百分位数的求法一一判定选项即可. 【详解】易知去掉最高分和最低分后剩下的8个分数分别为8.9，8.9，9.0，9.0，9.0，9.1，9.1，9.2， 显然极差为，众数为9.0，中位数为， 则第70百分位数为数据中的第6个数即9.1，显然A、C正确，B、D错误． 故选：AC． 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则的否定为：， B. 已知复数满足，则 C. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件 D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据含量词命题的否定的形式可知A正确；根据复数除法和模长运算可知B正确；根据垂直关系和平行关系相关定义依次验证充分性和必要性可知C错误；根据一元二次不等式与一元二次方程根之间的关系可得，并用表示出，解不等式可得D正确. 【详解】对于A，命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 则其否定为：，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，，又，，充分性成立； 若，，则； 若，，，又，则，，必要性不成立， “”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D，的解集为，， ，，， ，即， 解得：或，即不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由可得选项A错误；由可得选项B错误；根据图象平移“左加右减”的原则可得选项C错误；数形结合可得选项D正确. 【详解】由图象可得，，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴. 当时，，选项A错误. 当时，，选项B错误. 将函数的图象向左平移个单位得到函数 的图象，选项C错误. 当时，， ，， 函数在上的图象如下： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确. 故选：ABC. 12. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：反证，假设，根据线面垂直可得，得出矛盾；对于B：根据线面平行的判定定理分析判断；对于C：由题意可证，结合直角三角形的性质可知三棱锥外接球的球心为的中点，进而可求半径和表面积；对于D：分析可知直线BD与平面PAC所成角为，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为平面，平面，则， 又因为D，E分别是PA、PC的中点，则∥， 假设，则， 且，平面，可知平面， 由平面，可得，这与题意不符，故A错误； 对于选项B：因为∥，平面DEB，平面DEB， 所以平面DEB，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，则， 由题意可知：，且，平面， 可知平面，由平面，可得， 由可知：三棱锥外接球的球心为的中点， 则三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：连接， 因为平面，且， 可知直线BD与平面PAC所成角为，其余弦值为，故D错误； 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设， ，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 14. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“，使”是假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出. 【详解】由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：， 在中，. 【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力. 16. 设函数 （ⅰ）______； （ⅱ）若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是______. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】（ⅰ）应用分段函数解析式，将自变量代入求值； （ⅱ）画出分段函数大致图象，数形结合判断实数，，，的范围，结合各分段对应函数的性质求得，，，即可求目标式的范围. 【详解】（ⅰ）由，则； （ⅱ）由解析式可得函数大致图象如下： 存在实数，，，满足，且， 所以，而，有或（舍），又， 故，， . 由，可得， 所以. 故答案为：0， 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数； （2）试估计该校学生满意度打分的平均数和的分位数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位）； （3）若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分中分别抽取的人数． 【答案】（1）0.006； （2）76.2， （3）在打分中抽取的人数为人，在打分中抽取的人数为人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的频率和为1求出的值，再由频数=总数×频率得出打分不低于70分的人数； （2）由平均数、的分位数定义求解即可； （3）求得打分在和的频率，进而可求得用分层抽样求出打分在和中的人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得， 该校学生满意度打分不低于70分的人数为：． 【小问2详解】 平均数为：； 所以， 所以的分位数为． 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为0.04和0.06， 所以打分在和内的频率之比为， 所以在打分中抽取的人数为人； 在打分中抽取的人数为人． 18. 如图，已知四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，平面平面为的中点，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的判定定理可得答案； （2）设点到平面的距离为，由，可得答案． 【小问1详解】 由题意：， ， 又平面平面， 平面平面平面， 平面， 平面， 为等腰直角三角形，， 平面， 平面； 【小问2详解】 为等腰直角三角形，， ， 平面平面， ， 又， 故， 又由（1）得，平面，又为的中点， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得， 所以点到平面的距离为． 19. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） （1）求A； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别就三种情况，运用正弦定理和余弦定理，三角形内角和与和差角公式对已知等式进行合理变形，最后借助于角的范围，即可求得； （2）由正弦定理将边b，c分别用角C的三角函数式表示，代入所求式，化简得，再利用角的范围和正弦函数的图象，即得所求式的范围. 【小问1详解】 若选①，由得，， 由正弦定理，， 则，整理得，， 因，则有，又，故； 若选②，， 因， 代入得，， 展开整理得，，即， 因，则有，由正弦定理，， 又因，故得，因为，所以； 若选③，因为，所以， 即， 由余弦定理，得，，， 在三角形中，则或（舍），故. 【小问2详解】 因为，则， 因为， 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 20. 已知向量，函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）化简可得，利用正弦型函数的单调性即可确定单调区间； （2）将命题等价转化为关于的的方程在上恰有一根，且不是根，再利用二次函数的知识即可求出取值范围. 【小问1详解】 ， 若要单调递增，则，即 而，故或， 所以在范围内的单调递增区间是和． 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度后，得到． 由于在上递增，在上递减，， 故原命题等价于，关于的方程在上恰有一根，且不是根． 设，则由二次函数的性质知命题等价于或， 此即或，即， 所以的取值范围是． 21. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）设，则是中点，连接， 又∵是中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴， 平面，平面， ∴，同理， ，平面， ∴平面，而平面，故， ∴是二面角的平面角， 在直角中，，， ， ∴二面角的正切值为． 22. 若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界． （1）求函数的上确界； （2）已知函数，，证明：2为函数的一个上界； （3）已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围． 参考数据：，． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再根据上确界的定义即可求解. （2）对函数进行换元，并根据定义域求出值域，进而证明2是一个上界. （3）将问题转化为对恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 依题意， 故，故的上确界为2. 【小问2详解】 证明：令，故原函数化为， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且； 故，故2为函数的一个上界. 【小问3详解】 依题意，在上恒成立，即对恒成立； 令，故对恒成立， 所以， 设. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为在上的最小值为； 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题.关键点是根据题意理解有界函数的新定义，并结合函数的换元法求值域，以及分离参数解决恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中教育集团2023~2024学年高一年级下学期段考（二） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，，那么与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 4a B. 8a C. 6a D. 6. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（    ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示．在中，分别为角所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值是 D. 面积的最大值是 8. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数： 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的（ ） A. 极差为0.3 B. 众数为9.0和9.1 C. 中位数为9.0 D. 第70百分位数为9.05 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则的否定为：， B. 已知复数满足，则 C. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件 D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 11. 已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 12. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面DEB C. 三棱锥外接球的表面积是 D. 若，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，若，则__________． 14. 若“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________. 15. 如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m． 16. 设函数 （ⅰ）______； （ⅱ）若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是______. 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数； （2）试估计该校学生满意度打分的平均数和的分位数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位）； （3）若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分中分别抽取的人数． 18. 如图，已知四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，平面平面为的中点，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 19. 在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） （1）求A； （2）求的取值范围. 20. 已知向量，函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 21. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 22. 若定义在D上的函数满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中称为函数的上界，最小的M称为函数的上确界． （1）求函数的上确界； （2）已知函数，，证明：2为函数的一个上界； （3）已知函数，，若3为的上界，求实数的取值范围． 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $