精品解析：上海市宝山区2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷

2023学年第二学期期末 高一年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则______． 2. 函数的最小正周期为______． 3. 若指数函数是上单调增函数，则实数的取值范围是__________； 4. 已知扇形弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为______． 5. 若，则的值为______． 6. 向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是______． 7. 已知中，，，，则在方向上数量投影为______． 8. 若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为______． 9. 已知，，，则______． 10. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______． 11. 若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是______． 12. 中，，当时，的最小值为，则______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13. 已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 14. 设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 16. 已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知幂函数的图像经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数、； （2）若向量满足，且，求坐标． 19. 锐角中角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 20. 已知函数的部分图像如图所示： （1）求函数的表达式； （2）当时，求方程的所有根的和． 21. 已知集合（其中是虚数单位），定义：，. （1）计算的值； （2）记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、； （3）若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末 高一年级数学学科教学质量监测试卷 考生注意： 1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助交集定义计算即可得. 【详解】由，可得、，则. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 3. 若指数函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是__________； 【答案】 【解析】 【分析】由函数是上的单调增函数，根据指数函数的图象与性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，函数是上的单调增函数， 根据指数函数的图象与性质，则满足，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的单调性是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题. 4. 已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助扇形面积公式与弧长公式计算即可得. 【详解】设该扇形半径为，弧长为，圆心角为，面积为， 则，即，即， 又，则. 故答案为：. 5. 若，则的值为______． 【答案】125 【解析】 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 6. 向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由基底定义计算即可得. 详解】由题意可得，不共线，故有，即， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 7. 已知中，，，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 8. 若正数，，满足，且的最小值是4，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合换元法解一元二次方程即可. 【详解】由题意得，， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 令，则，方程， ，所以是方程的根， 所以. 故答案为：1 9. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，，，则， 则，， . 故答案为：. 10. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 11. 若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“阶依赖函数”．已知函数是上的“阶依赖函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】原问题可转化为对于任意，存在使得，即有，解出即可得. 【详解】由题意可得，对于任意，存在使得， 即，则，即. 故答案为：. 12. 中，，当时，的最小值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13. 已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数定义计算即可得. 详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 14. 设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】结合严格增函数与奇函数定义，假设在上为严格增函数去推导能否得到在上的最小值为，及假设在上的最小值为去推导能否得到在上为严格增函数，即可得解. 【详解】若在上为严格增函数， 由奇函数性质可得在上为严格增函数， 则在上的最小值为， 若在上的最小值为， 不能得到在上为严格增函数， 即不能得到在上为严格增函数， 故“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的充分非必要条件. 故选：A. 15. 如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”．已知与互为“共胚复数”，其中，，为虚数单位，则的值为（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数的运算法则结合“共胚复数”的定义计算即可得. 【详解】， 则有，则. 故选：D. 16. 已知函数，，，实数是函数的一个零点，下列选项中，不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知在定义域上是单调减函数，进而分都为负值和讨论可判断出结果. 【详解】解：由在上单调递减，y＝log2x在上单调递增， 所以，在定义域上是单调减函数， 当时，， 又因为，， 所以，当都为负值，则都大于， 当，则都小于，大于. 综合可得，不可能成立． 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知幂函数的图像经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义借助待定系数法计算即可得其解析式，计算即可得其定义域； （2）结合函数单调性与定义域要求计算即可得. 【小问1详解】 设，则有，解得， 故，即，则其定义域为； 【小问2详解】 由，则在上单调递减， 故有，即，即. 18 已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数、； （2）若向量满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则有，解得， 即，； 【小问2详解】 设，则有，解得或， 故或. 19. 锐角中角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； 【小问2详解】 由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 20. 已知函数的部分图像如图所示： （1）求函数的表达式； （2）当时，求方程的所有根的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. 【小问2详解】 解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程所有根的和为. 21. 已知集合（其中是虚数单位），定义：，. （1）计算的值； （2）记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、； （3）若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，． 【答案】（1） （2）最大值为4，符合题意的一组解： （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）设出的实部与虚部，结合绝对值三角不等式放缩即可得解； （3）设，结合函数单调性与零点的存在性定理，分、与进行讨论即可证明函数必存在唯一的零点，并可得的范围，从而可结合模长定义计算得到结果. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4， 符合题意的一组解：； 【小问3详解】 由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出函数，从而可借助函数单调性与零点的存在性定理进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$