精品解析：上海市徐汇区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初二数学试卷 （时间90分钟 满分100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一．选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 直线在y轴上的截距是（ ） A B. C. 1 D. 2 2. 下列关于x的方程中，其中说法正确的是（ ） A. 方程是一元三次方程 B. 方程是一元三次方程 C. 方程是一元二次方程 D. 方程是分式方程 3. 用换元法解关于x的方程，如果设，那么原方程可化为（ ） A B. C. D. 4. 已知关于x的一次函数，那么它的图像一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 若则 C 若，则 D. 若，则 6. 已知四边形中，与交于点O，，那么下列命题中错误的是（ ） A. 如果，，那么四边形是菱形 B. 如果，，那么四边形是菱形 C. 如果，，那么四边形是矩形 D. 如果，，那么四边形是矩形 二．填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 7. 方程的根是__________． 8. 方程的解是________． 9. 已知直线经过点，那么不等式的解集是________． 10. 在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是________． 11. 某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是____． 12. 一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是_____． 13. 在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点C的坐标是________． 14. 在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是________． 15. 如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是________（用含m、n的式子表示）． 16. 如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是________． 三．（本大题共8题，第17—18题每题5分；第19—22题每题7分；第23题8分；第24题12分；满分58分） 17. 解方程：． 18. 解方程组：. 19. 某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？ 20. 如图，在梯形 中，，与交于点O，且． （1）求证：； （2）设，，当时，试用向量、表示向量． 21. 某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 22. 如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形面积是30，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P． （1）求点P的坐标； （2）一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； （3）在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 24. 如图，点M是正方形边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． （1）求的大小； （2）如果，求证：； （3）如果，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初二数学试卷 （时间90分钟 满分100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一．选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 直线在y轴上的截距是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题．解答该题时，需熟练掌握截距的定义：与坐标轴交点的纵坐标或横坐标． 根据在y轴上的截距是“与y轴交点的纵坐标”解答． 【详解】解：当时，， ∴所以直线在轴上的截距是1． 故选：C． 2. 下列关于x的方程中，其中说法正确的是（ ） A. 方程是一元三次方程 B. 方程是一元三次方程 C. 方程是一元二次方程 D. 方程是分式方程 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程、分式方程、一元一次方程、一元三次方程的概念，解题的关键是熟悉各个方程的概念． 根据方程的概念对选项一一判断即可． 【详解】A．方程是一元二次方程，原选项错误，该选项不符合题意； B．方程是一元三次方程，原选项正确，该选项符合题意； C．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； D．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意； 故选：B． 3. 用换元法解关于x方程，如果设，那么原方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了如何用换元法解分式方程，解题时要注意对方程进行化简． 先把代入方程，在进行化简即可求出结果． 【详解】解：如果设， 则关于x的方程可化为：， 可化：， 故选：A． 4. 已知关于x的一次函数，那么它的图像一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质， 的得出一次函数经过第一、三象限，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴关于x的一次函数经过第一、三象限， 故选：B． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了零向量、向量的模，解题的关键是掌握以上知识点． 根据零向量、向量的模，判断即可； 【详解】A．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意； B．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意； C．若，则，故原说法真命题，该选项符合题意； D．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知四边形中，与交于点O，，那么下列命题中错误的是（ ） A. 如果，，那么四边形是菱形 B. 如果，，那么四边形是菱形 C. 如果，，那么四边形是矩形 D. 如果，，那么四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定与性质进行逐项分析，选出错误的一项，即可作答． 【详解】解：如图： ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是菱形 故A选项是正确的； ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴四边形是菱形 故B选项是正确的； ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴四边形是矩形 故C选项是正确的； ∵，， ∴无法证明 ∴无法证明四边形是平行四边形 故D选项是错误的； 故选：D． 二．填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 7. 方程的根是__________． 【答案】x=2 【解析】 【分析】首先整理方程得出x3=8，进而利用立方根的性质求出x的值． 【详解】解：x3-8=0， x3=8， 解得：x=2． 故答案为：x=2． 【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确由立方根定义求出是解题关键． 8. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验． 根据解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：， 将代入中可得； 将代入中可得； 则是原方程的增根， 故原分式方程的解为：． 故答案为：． 9. 已知直线经过点，那么不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点，如图所示， ∴不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围， 即． 故答案为：． 10. 在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查利用列表法或画树状图法求概率．正确列出表格或画出树状图分析出抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种是解题的关键． 先画树状图分析出抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种，然后由概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 由图可得抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种， ∴抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率为， 故答案为：． 11. 某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是____． 【答案】1000（1+x）2=1331 【解析】 【详解】由于某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时设这三年中每年的增长率为x，那么第二年变为1000（1+x），然后依此类推即可列出方程． 解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同， ∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 1000（1+x）2=1331． 12. 一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】多边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的每一个内角都等于160°，得内角和为160°n，由此得出多边形的边数． 【详解】解：设多边形为n边形，由题意，得 （n﹣2）•180°＝160°n， 解得n＝18， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和以及顶点数和内角个数之间的关系，找到等量关系是解决问题的关键. 13. 在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，点，可得． 【详解】解：∵的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，点， ∴是中点， ∴， 故答案为：． 14. 在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，求出是解题的关键． 由矩形的性质和等腰三角形的性质求出，在由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是________（用含m、n的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，梯形中位线性质，勾股定理，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 过点D作交于E，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，然后由勾股定理，求得，从而求得，然后由梯形的中位线定理求解即可． 【详解】解：过点D作交于E，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴梯形的中位线长， 故答案为：． 16. 如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查矩形折叠问题，勾股定理，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键． 先由勾股定理，求得，再根据折叠的性质得，，，设，则，在中由勾股定理，得，解之即可求得x值，从而求解． 【详解】解：如图，设点B恰好落在对角线上的点为， 四边形是矩形， ∴， 由勾股定理，得， 由折叠可得：，，， ∴， 设，则， 在中由勾股定理，得 解得：， ∴， 故答案为：5． 三．（本大题共8题，第17—18题每题5分；第19—22题每题7分；第23题8分；第24题12分；满分58分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 18. 解方程组：. 【答案】，，，. 【解析】 【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可． 【详解】 由①得：（x+2y）2＝9， x+2y＝±3， 由②得：x（x+y）＝0， x＝0，x+y＝0， 即原方程组化为：，，，， 解得：，，，， 所以原方程组的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 19. 某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？ 【答案】甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，正确理解题意找准等量关系列出方程是解答此题的关键． 设甲乙两队单独完成此项工程分别需要天和天．根据“甲乙两个工程队合作施工12天可以完成”工程，可得等量关系：甲队12天的工作量乙队12天的工作量该项工程总量．根据“甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工”，可得等量关系：甲队10天的工作量乙队15天的工作量该项工程总量．据此列方程组求解即可． 【详解】解：设甲乙两队单独完成此项工程分别需要天和天．根据题意，可列出方程组： ， 解得：， 经检验是原方程组的解，且符合题意， 答：甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天． 20. 如图，在梯形 中，，与交于点O，且． （1）求证：； （2）设，，当时，试用向量、表示向量． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查平面向量、全等三角形的判定与性质， （1）由题意可得，根据对应边相等可得答案． （2）由题意得，，，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：， ，， ∵ ∴ ∵ ， ． 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∵， ∴ 21. 某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用． 【答案】（1）与的函数关系式为 （2）购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以写出与的函数关系式； （2）根据购买种树苗的数量不少于种树苗的数量的2倍，可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的购买方案和此时的费用． 【小问1详解】 解：由题意可得， 即与的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵购买种树苗的数量不超过种树苗的数量的2倍， ， 解得，， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， 答：购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元． 22. 如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵，菱形的面积是30， ∴ ∴ ∴． 23. 在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P． （1）求点P的坐标； （2）一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； （3）在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴直线经过定点． 【小问2详解】 解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 24. 如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E． （1）求的大小； （2）如果，求证：； （3）如果，当时，求的长． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，证明，可证明，可求得是等腰直角三角形，据此即可求解； （2）在上截取点，使，连接，证明是等边三角形，再证明，据此即可证明； （3）由已知结合，证明是的角平分线，作于点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：在上截取点，使，连接， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是的角平分线， 作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$