精品解析：四川省眉山市东坡区部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末联合考试数学试题

东坡区23级高一期末联合考试 数学试卷 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．） 1. 已知平面向量，，若，则x=（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】平面向量，，若，则，所以. 故选：B. 2. 已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据题意可得出，结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】设点的坐标为，则，即，解得，即. 故选：C. 3. 在中，已知，，，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】应用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得：， 整理得：，解得：或（舍去）. 故选：C 4. 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可. 【详解】由题意得，. 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则，则， ， 则，由，故. 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知式平方后利用二倍角公式求得，再由平方关系得结论． 【详解】因为，所以，， 又因为，所以， 故选：A． 7. 在中，若，，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用余弦定理可求，再利用三角形内角的关系结合两角和与差的三角函数可求，进而可得三角形的形状. 【详解】解：由 ，根据余弦定理，故，所以，所以，，所以， 所以，因为，所以，即，所以， 因为，所以， 所以，从而.所以三角形为等边三角形， 故选: 8. 已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得. 【详解】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．若正确选项有两项，则 每选对一个给 3 分，若正确选项有三项，则每选对一项给 2 分.选错不给分.） 9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩与平移变换规律即可得出结果． 【详解】先平移后伸缩： 函数的图象向左平移个单位长度，得， 再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得； 先伸缩后平移： 函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度，得，即． 故AD符合题意. 故选：AD． 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由函数图象的顶点坐标求出A，再由周期求出即可判断；选项B，由五点法求出，进而得出的解析式，再求出即可判断；选项C，根据正弦函数的性质即可判断；选项D，在上单调，求出最小值即可. 【详解】由函数的图象可得，由，解得，从而A正确； 再根据五点法可得， 又因为，解得， 从而，所以， 即函数为奇函数，从而B错误； 当时，，所以是最值，所以C正确； 因为时，， 因为，所以单调递增， 所以当时，从而D正确. 故选：ACD 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．） 12. 已知向量满足，且与的夹角为60°，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义、结合数量积的运算律利用向量模的运算求解即可. 【详解】因为，与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用． 14. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递减； ③在有4个零点； ④的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①； 由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断②； 由函数是偶函数，则只需要考虑[0，π]上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断③； 由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断④． 【详解】①函数的定义域为R，又， ∴函数是偶函数，故①正确； ②当时，，在上单调递减，故②正确； ③∵函数是偶函数，∴只需要考虑[0，π]上的零点个数， 此时，在[0，π]上有2个零点，为x＝0和x＝π， ∴在[﹣π，π]有3个零点，为x＝0、x＝π和x＝﹣π，故③错误； ④∵函数是偶函数，∴考虑x≥0的情况即可， 当时，， ∴的最大值为2，故④正确． 故答案为：①②④ 四、解答题（本题共5小题，共计77分．） 15. 已知，，且满足 （1）求实数的值； （2）设，求非零向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算以及模的运算公式列出方程求解即可； （2）设出非零向量的坐标，结合向量垂直得到，进一步结合向量夹角的余弦的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 ，，，， 【小问2详解】 设，，，所以都不等于0， 设与的夹角为，， 则. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】（1）将自变量的值代入函数式，计算即得； 利用三角恒等变换将化简成，将看成整体，求得的范围，结合正弦函数的图象即可判断函数的最值与对应的值. 【小问1详解】 因，则； 【小问2详解】 由 ， 因，则令，则， 而在上单调递增，在上上单调递减， 故当时，即时，；当时，即时，. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解； （2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为为的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得. 18. 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设. （1）当，时，求张角的正切值； （2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用. 【答案】（1）-3 （2）， 【解析】 【分析】（1）设，求出，求出，根据三角函数诱导公式以及两角和的正切公式，即可求得答案； （2）当时，，从而求出的表达式，即可求得总费用的表达式，利用三角换元，结合函数的单调性，即可求解得答案. 【小问1详解】 设为锐角，则; 设，则， 故 ； 【小问2详解】 当时，， 故， 设修建，的总费用为y，则， 设，则，则， 故， 由于在上单调递增，故，时取得等号， 故的最小值为， 此时，即， 故当时，修建，的总费用最少，最少为. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______. （1）求角C； （2）若，的面积，求的周长l的取值范围； （3）若，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①：用正弦定理化简求解即可；选②：用二倍角公式和余弦定理求解；选③：用正弦定理和余弦定理求解即可； （2）先利用面积范围求得，然后利用余弦定理及函数单调性求解范围即可； （3）先根据正弦定理求得，，记，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，则有， 利用两角差的正弦公式展开化简计算即可. 【小问1详解】 若选①：， 由正弦定理得，又， 所以，又，所以，即， 又，所以； 若选②：因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以； 若选③：因为， 即，所以由正弦定理得， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为的面积，所以， 由余弦定理得，即， 所以，因为，所以，又， 所以的周长l的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以，所以， 又，所以，， ， 又，所以， 记，在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，由正弦定理得：，所以， 所以，所以，整理化简得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东坡区23级高一期末联合考试 数学试卷 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．） 1. 已知平面向量，，若，则x=（ ） A. B. C. D. 6 2. 已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，，，则为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 4. 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定 8. 已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．若正确选项有两项，则 每选对一个给 3 分，若正确选项有三项，则每选对一项给 2 分.选错不给分.） 9. 得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（ ） A. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．） 12. 已知向量满足，且与的夹角为60°，则______ 13. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 14. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间单调递减； ③在有4个零点； ④的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是______． 四、解答题（本题共5小题，共计77分．） 15. 已知，，且满足 （1）求实数的值； （2）设，求非零向量与的夹角的余弦值． 16. 已知函数. （1）求的值； （2）求函数在区间的最大值和最小值. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为边的中点，求的长. 18. 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设. （1）当，时，求张角的正切值； （2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______. （1）求角C； （2）若，的面积，求的周长l的取值范围； （3）若，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $