1.1 第2课时 集合的表示（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步课堂系列（人教A版2019必修第一册）

第2课时　 集合的表示 第一章　§1.1　集合的概念 1 学习目标 1.理解并掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.(重点) 2.学生能用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(难点) 创设情境 同学们，上节课我们学习了集合的概念，以及一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等。那么我们该如何描述一个集合?其实，我们可以用自然语言来描述集合。比如，所有正方形构成的集合，所有大于10的实数形成的集合等。那么，问题来了，除了用自然语言来描述集合，集合还有其他表示方法吗？今天我们一起来探究这个问题吧. 内容索引 一、用列举法表示集合 二、用描述法表示集合 三、方程与集合 一 用列举法表示集合 5 问题1　用A表示“本班所有的班干部”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 提示　①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有班干部的名字写出来，或者一一列出他们的座位号. 新知讲解 列举法——把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做 . 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可. (3)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5，…}. 一一列举 列举法 新知讲解 (4)这里集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 例1　用列举法表示下列集合： (1)平方小于200的所有素数之集P； 由于 ，所以平方小于200的所有素数构成的集合P＝{2,3,5,7,11,13}. (2)方程x2-x＝0的所有实数根组成的集合； 设方程x2-x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{1,0}. (3)直线y＝3x-2与y轴的交点所组成的集合. 将x＝0代入y＝3x-2，得y＝-2，即交点是(0,-2)，故交点组成的集合是{(0,-2)}. 反思感悟 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来. 跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于13所有偶数组成的集合A； 大于1且小于13所有偶数有2,4,6,8,10,12，所以A＝{2,4,6,8,10,12}. (2)1~15以内的所有质数组成的集合B； 1~15以内的所有质数有2,3,5,7,11,13，所以B＝{2,3,5,7,11,13}. (3)方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1,4)， 所以D＝{(1,4)}. 二 用描述法表示集合 14 问题2　你能用列举法表示不等式x+5＜3的解集吗？ 提示　不等式x+5＜3的解集是x＜-2，因为满足x＜-2的实数有无数个，所以x＜-2的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x＜-2，把解集表示为{x∈R|x＜-2}. 问题3　仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示奇数集吗？ 提示　{x∈Z|x＝2k+1，k∈Z}. 新知讲解 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为___________，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}. (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的. (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}. {x∈A|P(x)} 新知讲解 (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x＞20}也可表示为D＝{x|x＞20}. (5)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x＞－1，或x>1}. (6)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{　}”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思. 例2　用描述法表示下列集合： (1)不等式4x+5＞1的解集组成的集合A； 不等式4x+5＞1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足4x+5＞1，则A＝{x|4x+5＞1}，即A＝{x|x＞-1}. (2)C＝{1,3,5,7,9}； 设奇数为x，则x＝2n-1，n∈Z.但元素是1,3,5,7,9， 所以x＝2n-1，n≤5，n∈N*. 所以C＝{x|x＝2n-1，n≤5，n∈N*}. (3)平面直角坐标系中第一、三象限内的点组成的集合D. 平面直角坐标系中第一、三象限内的点的横坐标和纵坐标的符号相同，即x＞0，y>0或x＜0，y＜0，故第二象限内的点的集合为 D＝{(x，y)|xy>0}. 反思感悟 用描述法表示集合的3个步骤 (1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示. (2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围. (3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件. 跟踪训练2　试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2－4x+3＝0的所有实数根组成的集合A； (2)由小于7的所有自然数组成的集合B. 描述法表示为B＝{x∈N|x＜7}(答案不唯一)， 列举法表示为B＝{0,1,2,3,4,5,6}. 三 方程的解与集合 22 例3　已知集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值. 当a＝0时，原方程变为x＋1＝0，此时x＝-1，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋x＋1＝0为一元二次方程， 当Δ＝1－4a＝0，即a＝ 时，原方程的解为x＝－2，符合题意. 故当A中只有一个元素时，a的值为0或 . 延伸探究 1.在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围. A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素. 当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝ . 当A中没有元素时，Δ＝1－4a＜0，且a≠0，即a> . 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥ }. 反思感悟 根据已知的集合求参数的关注点 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数. (2)解方程ax2＋bx＋c＝0时注意对二次项系数a的讨论. 跟踪训练3　已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2,2}，若1∈A，求实数a的值. ①若a＋3＝1，则a＝－2，此时(a＋1)2＝(－2＋1)2＝1，不符合集合中元素的互异性，舍去. ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2. 当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意； 当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去. 综上所述，实数a的值为0. 课堂小结 1.知识清单： (1)列举法. (2)描述法. (3)集合与方程、不等式的关系. 2.思维方法：分类讨论. 3.常见易错点：列举法与描述法的乱用；涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程. 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 $$