精品解析：北京市第十九中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

北京市第十九中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解. 【详解】解：设数列首项为，公差为， 由题得，所以. 所以数列的通项为. 故选：A 2. 对于数列，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式，先求出的周期，再求出即可. 【详解】由题意， ， ，所以数列是周期为6的周期数列， ，； 故选：A. 3. 下列关于求导叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，则，A选项错误； 对于B选项，，则，B选项正确； 对于C选项，，则，C选项错误； 对于D选项，，则，，D选项错误. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上，是增函数 B. 当时，取到极小值 C. 在区间上，是减函数 D. 在区间上，是增函数 【答案】D 【解析】 【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可; 对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断. 【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确． 故选：D. 5. 从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的概念运算即可. 【详解】从集合中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标， 则可确定的点的个数为个. 故选：C. 6. 已知是函数的极小值点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，令，得到或，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得或， 要使得是函数的极小值点，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 下列函数中，在区间内不单调的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，求导得到函数的单调性，AB错误；C选项，由正切函数的单调性推出在上不单调，C正确；D选项，由解析式直接判断出在上单调递增，D错误. 【详解】A选项，在上恒成立，故在上单调递增，A错误； B选项，在上恒成立，故在上单调递减，B错误； C选项，当时，， 由于在上单调递增，在上不单调， 故在上不单调，C正确； D选项，由于和在上单调递增，故在上单调递增，D错误. 故选：C 8. 已知是函数的一个极值点，其中a为实数，则在区间上的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求得，根据题意求得，进而得出函数的单调区间和极大值，结合，即可求得函数的最大值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，所以，解得， 则，其中， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极大值，极大值为， 又因为， 所以函数在上的最大值为. 故选：C. 9. 已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程得到，然后利用裂项求和的方法求即可. 【详解】根据题意可得，则，解得，所以，， . 故选：A 10. 已知函数，给出下列结论： ①是的单调递减区间； ②当时，直线与的图象有两个不同交点； ③函数的图象与的图象没有公共点. 其中正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，然后逐项分析即得. 【详解】因为，所以，， 令，则，可得， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间为增函数，在上为减函数，故①正确； 所以当时，函数取得最大值，且当时，， 当时，直线与的图象有一个交点，故②错误； 因为，而， 所以函数的图象与的图象没有公共点，故③正确. 所以只有①③正确. 故选：B. 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论： ①甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中，在[，]的平均分出量最大； ②在[，]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大； ③在[，]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大； ④在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢． 其中所有正确结论的序号是______________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】利用平均变化率和瞬时变化率的含义，结合图表，即可进行选项的判断. 【详解】有图可知甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中平均分出量基本相等，故①错.在[，]这段时间内，甲小区的增长量小于乙小区增长量，所以甲的平均分出量比乙小区的平均分出量小，故②错.在[，]这段时间内，乙小区增长量高于甲小区，所以乙的平均分出量比甲小区的平均分出量大，故③对.在时刻，乙的图像比甲陡，瞬时增长率大，所以④对. 故答案为:③④. 12. 已知在数列{}前n项和，则数列{}的通项公式_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 经检验满足， 所以， 故答案为： 13. 等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________ 【答案】或 【解析】 【分析】由等差数列中，公差，可得，从而，由此求出当前项和最大时，的值. 【详解】等差数列中，公差，， 所以，解得， 所以， 当前项和最大时，或， 故答案为：或. 14. 设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①分别分析在两段内的单调性即可求出最大值； ②讨论所在的区间，分别研究函数在每一段的单调性，根据无最大值列出不等式求出结果. 【详解】①若，， 当时，，单调递减，， 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 则此时， 所以的最大值为2； ②当时， 当时，，单调递减，所以， 当时，在单调递增，所以， 因为无最大值，所以，解得； 当时， 当时，，单调递减，， 当时，在单调递增，在单调递减， 所以， 因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去； 当时， 当时，，单调递减，， 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以， 因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去； 所以实数的取值范围是 故答案为：① ;② 15. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则满足条件的数列有4个； ③存在的数列； ④所有满足条件的数列中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据有限数列的性质，，及满足，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即可判断②. 【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，， 又因为， 所以 所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确； 当时，得，所以，则，故①正确； 当时，得，因为，所以，则， 所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为， 故数列可能为；；；，共4个，故②正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手， 从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，是的一个极值点． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）当时，求方程的解的个数． 【答案】解：（Ⅰ），. （Ⅱ）详见解析 【解析】 【详解】详解：（Ⅰ）. ∵是的一个极值点， ∴是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. ∴函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）求方程的根，即求：的解的个数， 令，， 故g（x）在递增，在（1,2）递减，， 故，方程有一个解 当时，方程有两个解 时，方程有三个解 点睛：解本题关键首先要知道极值点的定义和求法，然后对于函数零点问题可以结合函数图像进行分析会比较容易，求出函数单调区间和极值，根据草图即可得出根的分布情况. 17. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解. 【小问1详解】 设公差为，则，解得， 则，所以， 所以； 【小问2详解】 ， 因为是公比为2的等比数列， 所以， 所以，. 所以 . 18. 已知函数，. （I）当a=2时，求曲线y =在点(0，f(0))处的切线方程； （II）求函数在区间[0 , e -1]上最小值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】(1)先根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程； (2)先求导数，再根据定义区间分类讨论导函数符号变化规律：当时，导数非负，函数为增函数；当时，导数非正，函数为减函数；当时，导数先负后正，函数先增后减，最后根据单调性确定最小值 【详解】（I）f (x)定义域为. 因为，a = 2， 所以，. 所以 函数f (x)在点处的切线方程是 . （II）由题意可得 . （1）当时，， 所以在上为减函数， 所以在区间上，. (2) 当时, 令，则， ① 当，即时， 对于，， 所以f (x)在上为增函数， 所以. ② 当，即时， 对于，， 所以f (x)在上为减函数， 所以. ③ 当即时， 当x变化时，，的变化情况如下表： 0 - 0 + 极小值 所以 . 综上， 当时，； 当时，； 当时，. 19. 若实数数列满足，则称数列为“Q数列”． （1）若数列是Q数列，且，，求，的值； （2）若数列是Q数列： ①试判断：的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由； ②若数列中不含值为零的项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值． 【答案】（1） （2）①数列不可能全是正数，也不可能全是负数，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）代入求值即可；（2）①用反证法证明；②结合①中结论得到中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，又得到的周期为9，且，这9项中，为负数，这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，对前5项的正负分情况得到负数的个数，求出最后结果. 【小问1详解】 因为是Q数列，且，所以，，所以，解得：，所以，； 【小问2详解】 ①数列不可能全是正数，也不可能全是负数，理由如下： 假设“Q数列”的项全是正数，即，所以，，这与假设矛盾，故“Q数列”的项不可能全是正数； 假设“Q数列”的项全是负数，则，而，与假设矛盾，故数列不可能全是正数，也不可能全是负数， ②由①可知，中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，因此存在最小的正整数k满足，，设，，则，，，，，，，，，……，故，所以的周期为9，所以，这9项中，为负数，这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数， 因为，所以当时，m=3×224=672； 当时，这（k-1）项至多一个为负，而且负数项只能是，记这项中负数项个数为t， 当时，若，则，故为负数，此时t=671，m=671+1=672； 若，则，故是负数，此时t=672，m=672； 当时，必须为负数，， 综上：m的取值集合为. 【点睛】定义新数列，要结合题目信息，运用所学的不等式，周期等知识进行求解，分类讨论是处理定义新数列最常用的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第十九中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 对于数列，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列关于求导叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间上，是增函数 B. 当时，取到极小值 C. 在区间上，是减函数 D. 在区间上，是增函数 5. 从集合中选取两个不同元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 6. 已知是函数的极小值点，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，在区间内不单调的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的一个极值点，其中a为实数，则在区间上的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，给出下列结论： ①是的单调递减区间； ②当时，直线与的图象有两个不同交点； ③函数的图象与的图象没有公共点. 其中正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 2020年5月1日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论： ①甲小区在[0，]，[，]，[，]三段时间中，在[，]的平均分出量最大； ②在[，]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大； ③在[，]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大； ④在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢． 其中所有正确结论的序号是______________. 12. 已知在数列{}前n项和，则数列{}通项公式_____________. 13. 等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________ 14. 设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________. 15. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则满足条件的数列有4个； ③存在数列； ④所有满足条件的数列中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，是的一个极值点． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）当时，求方程的解的个数． 17. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和. 18. 已知函数，. （I）当a=2时，求曲线y =在点(0，f(0))处的切线方程； （II）求函数在区间[0 , e -1]上的最小值. 19. 若实数数列满足，则称数列为“Q数列”． （1）若数列是Q数列，且，，求，的值； （2）若数列是Q数列： ①试判断：项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由； ②若数列中不含值为零项，记前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$