精品解析：贵州省遵义市四城区2023-2024学年高二下学期第三次考试数学试题

高二年级考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册到第四册占30%，选择性必修第一册到第三册数列占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（ ） A. B. C. 24 D. 10 3. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 4. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 将函数图象向左平移个单位长度.再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则曲线（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 7. 下表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列， 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 表中对角线上一列数2，5，10，17，26，37，…构成数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C D. 10. 在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 常数项为 B. C. 项的系数为40 D. 项的系数为 11. 若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列为“凸数列” B. 若，则数列为“凸数列” C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知函数，则__________． 13. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为__________. 14. 重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章、若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有__________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设各项均为正数的数列的前项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：C为锐角. （2）若的面积为3，，且，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为锐角，是正三角形，平面底面，，且四棱锥的体积为2． （1）证明：． （2）若是PC的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个除颜色外，大小、形状均相同小球，其中5个红球，5个白球，顾客从中抽取5个球，记抽取到的红球个数为x，白球个数为y.规定：为一等奖，奖励一份价值100元的礼品；为二等奖，奖励一份价值50元的礼品；为参与奖，奖励一份价值10元的礼品.现有两种抽奖方式： 方式一：从抽奖箱中一次性抽取5个小球. 方式二：从抽奖箱中有放回地抽取5次，每次抽取1个小球. （1）记采用方式一抽奖一次所得奖励价值为X，求随机变量X的分布列与数学期望； （2）若该商场一天内预计有3000名顾客参与抽奖，顾客选择方式一和方式二抽奖的概率分别和，试估计该商场一天内需要准备多少金额的奖品.（结果取整数） 19. 已知，直线为平面内的一个动点，过点作的垂线，垂足为，且，动点的轨迹记为曲线. （1）求的方程； （2）若直线交于两点，交圆于两点，且，当的面积最大时，求的倾斜角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册到第四册占30%，选择性必修第一册到第三册数列占70%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法运算求出，再求出对应点的坐标. 【详解】因为，所以在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B 2. 6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（ ） A. B. C. 24 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理可求不同选择的种数. 【详解】根据分步乘法计数原理，可知每人选择均有4种，不同选择的种数为． 故选：A. 3. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】观测值减去预测值称为残差；进而利用残差的定义即可求解. 【详解】样本点的观测值为，预测值为， 则残差为，解得. 故选：C. 4. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，再求即得. 【详解】由可得，则，故， 则即中元素的个数为8. 故选：C. 5. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线化为标准方程，根据离心率的定义可得. 【详解】双曲线的标准方程为． 因为，，所以，所以离心率为． 故选：B 6. 将函数的图象向左平移个单位长度.再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则曲线（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移和伸缩变换得到的解析式，在结合图像，逐一的对选项进行判断即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变, ,所以， 因为，， 所以曲线不关于直线对称，关于直线对称，故A错误，B正确， 又因为，， 所以曲线不关于点对称，不关于点对称，故C、D都错误. 故选：B. 7. 下表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列， 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 表中对角线上的一列数2，5，10，17，26，37，…构成数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，即可求出结果. 【详解】表示第行，第列的数，由题知第行是首项为，公差为的等差数列， 所以，即数列2，5，10，17，26，37，…，数列的通项公式为， 所以， 故选：B. 8. 如图，这是缠线用线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，根据数量积的运算律求出，同理可求出，，，即可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 同理可得，，， 所以丝线缠一圈的长度为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇函数偶函数的定义结合复合函数求解. 【详解】， ， ， A，B，C均正确. ，D错误. 故选：ABC. 10. 在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 常数项为 B. C. 项的系数为40 D. 项的系数为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，利用二项式定理逐项判断得解. 【详解】由展开式中各奇数项的二项式系数之和为32，得，解得，B正确； 的展开式的常数项为，A错误； 展开式项的项的系数为，C错误，D正确. 故选：BD 11. 若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列为“凸数列” B. 若，则数列为“凸数列” C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由“凸数列”的定义，即可判断AB，再由单调数列的定义以及“凸数列”的定义分别判断CD，即可得到结果. 【详解】因为，， 且，则，所以数列不是“凸数列”，故A错误； 因为，， 且，所以， 则数列为“凸数列”，故B正确； 因为，， ， 则， ， 所以， 又数列是单调递减数列，则，即， 所以，即， 即数列为“凸数列”，故C正确； 因为数列为“凸数列”，则， 即，即， 所以，而的符号不确定， 故不一定为单调递减数列，故D错误； 故选：BC 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数式，代入求出函数值即得. 详解】函数，所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求出结果. 【详解】依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为， 所以到轴的距离为. 故答案为：2 14. 重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章、若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有__________种． 【答案】14400 【解析】 【分析】利用捆绑法，将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人看成一个整体，与其它4大文化符号进行全排，同时考虑整体内部5个文化符号的排列顺序，再利用分步乘法原理计算即可. 【详解】由题意，先在首位排重庆火锅，有1种排法，再将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人看成一个整体，与朝天门、解放碑、铜梁龙舞、红岩村进行全排列，有种排法， 其中长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人之间有种排法， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：14400 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设各项均为正数数列的前项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用结合题意求解； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 当时，，， 解得或， 当时，则， 得， 所以， ， 所以，即， 所以， 若，则由，得，不合题意，舍去， 所以， 所以， 所以数列是以3为公差的等差数列， 当时，， 当时，，所以舍去， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）证明：C为锐角. （2）若的面积为3，，且，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）7 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理，即可证明C为锐角； （2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，解方程即可求出的值. 【小问1详解】 证明：由正弦定理，，得， 由余弦定理，得， 又，所以为锐角. 【小问2详解】 因为，且为锐角，所以， 因为的面积，所以. 由（1）知，所以， 由余弦定理得， 即， 解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为锐角，是正三角形，平面底面，，且四棱锥的体积为2． （1）证明：． （2）若是PC的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，则可得，再由面面垂直的判定可得底面，然后结合四棱锥的体积可求出，则为等边三角形，得，再由线面垂直的判定定理得平面，则可得； （2）由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 因为底面是菱形，，所以 因为是正三角形，所以，， 因为平面底面，平面底面，平面， 所以底面， 因为四棱锥的体积为2， 所以， 所以，得， 因为为锐角，所以， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 因为底面，底面， 所以， 因为，， 所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是PC的中点，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个除颜色外，大小、形状均相同的小球，其中5个红球，5个白球，顾客从中抽取5个球，记抽取到的红球个数为x，白球个数为y.规定：为一等奖，奖励一份价值100元的礼品；为二等奖，奖励一份价值50元的礼品；为参与奖，奖励一份价值10元的礼品.现有两种抽奖方式： 方式一：从抽奖箱中一次性抽取5个小球. 方式二：从抽奖箱中有放回地抽取5次，每次抽取1个小球. （1）记采用方式一抽奖一次所得奖励价值为X，求随机变量X的分布列与数学期望； （2）若该商场一天内预计有3000名顾客参与抽奖，顾客选择方式一和方式二抽奖的概率分别和，试估计该商场一天内需要准备多少金额的奖品.（结果取整数） 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知的可能取值为10，50，100，然后根据题意求出相应的概率，从而可求出随机变量X的分布列与数学期望； （2）记采用方式二抽奖一次所得奖励价值为，然后根据题意求出，则商场一天内需要准备的奖品金额为. 【小问1详解】 由题意可知的可能取值为10，50，100，则 ， ， ， 所以随机变量X的分布列为 10 50 100 所以； 【小问2详解】 记采用方式二抽奖一次所得奖励价值为，则的可能取值为10，50，100， 则由题意可知 ， ， ， 所以， 所以该商场一天内需要准备的奖品金额为 . 【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立事件概率公式的应用，解题的关键是根据题意求出每一个随机变量对应的概率，考查计算能力，属于中档题. 19. 已知，直线为平面内的一个动点，过点作的垂线，垂足为，且，动点的轨迹记为曲线. （1）求的方程； （2）若直线交于两点，交圆于两点，且，当的面积最大时，求的倾斜角. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，设点，利用轨迹法，即可求轨迹方程； （2）首先根据面积公式，根据面积的最大值得到，同时求得点到的距离，并结合直线与椭圆方程联立，根据弦长公式，求直线的斜率，即可求直线的倾斜角. 【小问1详解】 由题意得，即. 设点，则，得. 故的方程为. 【小问2详解】 设点到的距离为， ， 当时，取得最大值，此时. 当斜率不存在时，，得，即，不符合题意. 当的斜率存在时，设， 由，得. 联立得， 则 由，得. 由，得或-2（负根舍去）， 即，所以的倾斜角为或. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是面积公式使用，从而由最值求得几何关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $