河南信阳高级中学国际部高考班2025-2026学年高二下学期5月测试（二）数学试题

**基本信息** 高二下期数学月考试卷，以集合、复数等基础知识点为起点，通过统计案例（独立性检验）、导数综合应用等解答题，构建基础巩固到创新应用的能力梯度，体现数学思维（推理、运算）与数学语言（数据意识、模型观念）的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、椭圆离心率等|基础概念辨析，如椭圆长轴与短轴关系应用| |多选题|3/18|等差数列、回归分析|结合公式应用，如回归直线斜率与相关系数转化| |填空题|3/15|三角函数、函数奇偶性|注重性质应用，如奇函数对称区间解析式求解| |解答题|5/77|统计案例、立体几何、数列、椭圆、导数|综合性强，如第15题独立性检验（数据意识），第19题导数极值与恒成立（创新意识），贴合高考命题趋势|

河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的长半轴长等于其短轴长，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 5．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（   ） A．1500 B．1800 C．2000 D．2600 7．若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 8．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A． B．，，成等比数列 C． D．当且仅当时，取得最大值 10．已知样本点的回归直线l的方程为，相关系数为r，样本均值分别为，．现令，．设新样本点的回归直线为，则（    ） 附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． A．过点 B．的斜率为 C．u与v的相关系数为 D．的截距为 11．已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的直线与交于，两点，且，延长，与分别交于点，，则（   ） A． B． C．直线的斜率为 D．四边形的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，且，则______． 13．已知奇函数满足：当时，，则________． 14．在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 M类家庭 80 20 N类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关． (1)用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 17．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，记为数列的前项和，证明：. 18．（17分）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值． 19．（17分）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D A A C D D BC ACD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．/ 13．4052 14． 15．(1) (2)收支情况与家庭种类无关 【详解】（1）记事件A：收支情况良好，事件B：家庭种类为M， ， （2）零假设为：收支情况与家庭种类无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即收支情况与家庭种类无关． 16．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式，利用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，作差得： ， 即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以. （2）， ， 所以， 所以， 命题得证. 18．(1)； (2). 【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可； （2）设点坐标及设直线方程，利用结合韦达定理计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 又离心率为， 即椭圆方程为：； （2） 设直线，， 则， 因为以线段为直径的圆恒过点，所以， 联立直线与椭圆， 所以，则， 由， ， 整理得或， 易知时不符题意，所以. 19．(1)极小值，无极大值； (2) (3) 【分析】（1）求导，确定单调性即可求解； （2）先求得曲线在点处的切线方程，在通过判别式即可求解； （3）通过和两段，结合参变分离求最值法即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 易知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数有极小值，无极大值； （2），则， 又，所以在点处的切线方程为：， 即， 由，消去得， 由题意，解得， 经验证符合题意， 故，切线方程为：； （3）当时，恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然不等式成立，则， 当时，参变分离可得：恒成立， 设， 则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，则， 综上，实数的取值范围为. $