【解答题专练】2024年中考数学压轴题【考前5天提升练习】

【解答题专练】中考数学压轴题【考前5天提升练习】 【题型分类】 1、 方程与不等式应用题 2、 一次函数压轴题 3、 二次函数压轴题 4、 反比例函数压轴题 5、 三角形相关证明题 6、 四边形相关证明题 7、 圆相关证明题 8、 几何变换相关的几何探究题目 【专项练习】 1．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． (1)当时，P等于______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？ 2．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元； (2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？ (3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值． 3．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元） 甲 10 乙 x (2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？ (3)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？ 4．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，其对称轴交x轴于点F，点是抛物线上一动点． (1)求点A，B和F的坐标． (2)已知存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，设直线l上所有点的纵坐标均为k． ①请求出k的值． ②当时，作直线交抛物线于点Q，在直线l上是否存在一点M，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市书吧规定每次去书吧阅读的费用为元．现决定面向社会并提供优惠活动，活动方案如下． 方案一：办理会员卡（会员卡花费元），每次阅读的费用按六折优惠． 方案二：未办理会员卡，每次阅读的费用按九折优惠． (1)分别写出这两种方案中阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式． (2)这两种方案中阅读的费用与阅读的次数的关系图象如图所示，请求出点的坐标，并说明点所表示的实际意义． (3)小东同学计划在暑假期间去书吧阅读次，通过计算说明他选择哪种方案花费更少． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 7．已知反比例函数的图象经过点，且与一次函数的图象在同一坐标系中． (1)如图1，当反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点时，求n的值； (2)如图2，当直线经过点A时，它与反比例函数的另一个交点记为B，在y轴上找一点M，使的周长最小，求出M的坐标及周长的最小值； (3)如图3，点P是反比例函数图象上A点左侧一点，连接，把线段绕点A逆时针旋转，点P的对应点Q恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标． 8．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．(1)如图①，在矩形中，，，点在边上．连接，过点作．求的最小值； 如图②，矩形是某公园示意图，其中米，米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即，且，同时要在扩建后的五边形公园中的边上开一个门，使得点到点、点的距离相等且．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分的面积及点到点的距离；若不能，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，过点作的垂线，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求线段的长． 12． 如图， 在 中，，，，D在边上运动，连接．过点A作 ，交边于点E， 交线段于点 F． (1)边的长为______； (2)当 与 相似时，求的长； (3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，求这个最小值及此时 的面积； (4)连接，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长． 13．【感知】如图①， 内接于半径为R的， 点A 是上动点， 且点A、D位于两侧，则弦的最大值为______；（用含R的代数式表示） 【探究】如图②， 内接于， 点A是上动点， 且点A、D位于两侧．若的半径为6，，求点A 到距离的最大值．下面是小明的部分求解过程： 解： 连结， 过点A作 于点H． 过点O作于点并反向延长，交 于点 ，连结． 证明过程缺失 ∴点A到距离的最大值为9． 请你补全解答过程． 【拓展】如图③，现计划建一个四边形空地，按规划要求：，，，，调整点D的位置，使四边形的面积最大，则这个最大面积为______． 14．如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． (3)若，，求的半径． 15．在中，，，且． (1)如图1，若F、G分别是、的中点，求证：． (2)如图2，若，，连接，求的值． (3)如图3，若，，F、G分别是和上的动点，且始终满足，将绕A点顺时针旋转一周，则的最小值为______． 16．在矩形中，，点E在边上，将射线绕点A逆时针旋转，交延长线于点G，以线段为邻边作矩形． (1)如图1，连接，求的度数和的值； (2)如图2，当点F在射线上时，求线段的长； (3)当时，在平面内有一动点P，满足，连接，求的最小值． 17．综合与探究 如图，正方形中，，为边上异于、的一动点，为边上一点，，为线段上的动点，于，于． (1)求证：； (2)若为中点，设为． ①求的长（用含的代数式表示）； ②求四边形面积的最大值； (3)当点固定时，试证明四边形面积随着的增大而增大． 18．综合与实践 【素材呈现】在数学活动课上，老师给出如下信息：如图1，在四边形中，，E 是边上一点，于点F，． 【独立思考】（1）试判断四边形的形状，并说明理由． 【实践探究】（2）希望小组受此问题的启发提出新的问题：如图2，在正方形中，E 是边上一点， 于点F，交的延长线于点H，交的延长线于点G，请判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）智慧小组讨论交流后又发现新的探究点：如图3，在正方形中，E 是边上一点，交的延长线于点 H，在上截取线段，连接．若，请直接写出线段的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)400； (2)当时，取最大值，最大值为8750元； (3)小红错误，理由见详解． 【解答】（1）解：由题意可得， ， 即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是， 当时，， 故答案为：400． （2）解：由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ， 即，解得． 当时，取得最大值，此时， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元； （3）解：小强：， 设日销售额为元， ， 当时，值最大，此时， 当时，值最大，此时， 小强正确． 小红：当日销售利润不低于8000元时， 即， ，解得：， ， 当日销售利润不低于8000元时，． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，． 2．(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元． (2)8种 (3)a的值为150． 【解答】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元． 依题意，得． 解得． 答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元． （2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部． 依题意，得， 解得． 又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16． 有8种进货方案． （3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则 ． （2）中每种方案获利相同， 利润计算式中不能有含的项， ． ． 答：a的值为150． 3．(1)见解析 (2)当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元 (3)至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元 【解答】（1）解；设每天安排人生产乙产品， ∴每天安排人生产甲产品， ∵每人每天生产2件甲产品， ∴每天生产甲产品件， 填表如下： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品生产成本（元） 甲 10 乙 x （2）解：设每天的生产总成本为W元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，W随x增大而增大，当时，W随x增大而减小， ∵甲产品每天至少生产20件， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，W最小，最小为400， ∴， ∴当安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品时才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元； （3）解：设对外招工a人， 由题意得， ， ∵， ∵甲产品每天至少生产20件， ∴， ∴， 同理可得当时，W最小， ， ∵每天的生产总成本不高于350元， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴至少招5名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元． 4．(1)，， (2)①；②存在， 【解答】（1）解：对于抛物线，其对称轴为直线， ∴； 当时，由解得，， ∴，； （2）解：①∵点是抛物线上一动点，存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，又直线l上所有点的纵坐标均为k， ∴且，即， ∴， ∵抛物线的最小值为， ∴， ∴； ②存在． 当时，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，整理得， 解得，（舍去）， ∴， 设，则，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴，则， 整理得，解得， ∴． 5．(1)方案一：；方案二： (2)，，点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元 (3)选择方案一花费更少 【解答】（1）方案一：办理会员卡的花费是元，之后每次阅读的费用打六折， ∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：． 方案二：每次阅读的费用打六折： ∴阅读的费用与阅读的次数之间的函数关系式为：． （2）∵，当时，得， ∴点． 由，解得， ∴点． 点所表示的实际意义是当去书吧阅读的次数是时，两种方案总花费一样，均为元． （3）选择方案一花费更少． 理由：当时，（元）， （元）． ∵， ∴小东同学选择方案一花费更少． 6．(1) (2)或 (3)或 【解答】（1）解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，分两种情况求解， ①如图1，当点C在A点下方时，           图1 ∵，， ∴点C为中点， ∴点C纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴C； ②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于， ∵，， ∴，即，解得， 当时，， 解得，， ∴C ， 综上所述，点C坐标为或． （3）解：当时，，即， 如图3， ①当为平行四边形的边时，是平行四边形， 则，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形， ∵，， Q点纵坐标为0， ∴对角线中点的纵坐标相同，即， 解得，， 当 时，， 解得， ∴． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 7．(1) (2)周长的最小值为，点M的坐标为 (3) 【解答】（1）解：根据题意，则， 即， 反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个公共点， ，即， ； （2）解：反比例函数的图象经过点， ， ， ， 将代入，则， ， 一次函数的解析式为：， 联立反比例函数与一次函数的解析式得，则， 即， ， 当时，， 根据题意得：， 作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴与点M，连接， 则， ， ， 此时的周长最小，为的长， ， ； 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为， 令，则， 点M的坐标为； （3）解：过点作x轴的垂线，与过点的轴的平行线，分别交于点， 设点， ， ， ， 由旋转知：， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数上， ，即， 解得或（舍去）， ∴． 8．(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 9．(1)；(2)能，， 【解答】（1）设，则， 在中，， 当最小时，最小， 在矩形中，且 ∴ ∴，又 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴当时，的最小值为 此时 ∴的最小值为； （2）如图所示， 过点作于，于， 依题意，， 由（1）得 在中， ∴， ∴ 设，则， 即 依题意得且 ∴ ∴ ∴， ∴ 即 解得：（舍去） ∴ ∴存在，当时， 10．(1) (2)或 (3)存在，或或． 【解答】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如图，过点作轴，垂足为，交于点， 当时， 解得， ∴， 当时，得， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意分三种情况： ①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 此时四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 同①可得四边形是正方形，， ∴； ③如图，∵是等腰直角三角形， ∴点与点重合， ∴作点关于直线的对称点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 综上，存在，或或． 11．(1)见解析 (2) 【解答】（1）证明：连接，则，   ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：是的直径，的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的长是． 12．(1)4 (2)或 (3)， (4)或 【解答】（1）解：在 中，，，， ∴， 故答案为：4； （2）解：∵， ∴当与 相似时，有、两种情况， 当时， ∴， ∴， ∴E、B重合，F、D重合， 如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 综上，的长为或； （3）解：∵， ∴点F在以为直径的圆上运动， 取中点O，连接，，，则， 当B、F、O三点共线时，最小，最小为， ∵，O为中点， ∴， ∴， ∴最小值为， 过F作于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； （4）解：当四边形为轴对称图形时， ①如图，以为对称轴时， 则， ∴ ②如图，以为对称轴时， 则， ∴D到、的距离相等， 设D到、的距离为h，C到的距离为m， ∴， ∴， ∴ 综上，的长为或． 13．【解答】【感知】解：由题意知，当是直径时，弦最大，最大值为， 故答案为：； 【探究】解： 如图②，连结， 过点A作于点H．过点O作于点并反向延长，交于点，连结，则点A到的最大距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由垂径定理可得，，， ∴， ∴， ∴点A到距离的最大值为9． 【拓展】解：由勾股定理得，， 如图③，作的垂直平分线，连接，使得，            图③ ∵， ∴四点共圆， 如图，作，连接，延长交于，连接， 由题意知，当重合时，的面积最大，为， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴最大的四边形的面积为， 故答案为：． 14．(1)见解析 (2) (3) 【解答】（1）证明：，垂足为， ， 过点作的切线与的延长线相交于点， ， ， ，， ． （2）连接，， ，， ， ， ，， 在中，， ， ， ，垂足为，， ， ， 是的直径，， ， 在中，， 在中，， 的长为． （3）是的直径，， ， ， ， ， 设，则，由，得：， ，解得：， ， ， ，，， ， ， 的半径为． 15．(1)见解析； (2)； (3)． 【解答】（1）， ，， 又，  ， ， ； （2）连接，， 同（1）可得， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）连接，， 同（2）可得：， ， ，， ， ，， ， 当时，最小，最小值为， 当D点在上时，最小为， ． 故答案为：． 16．(1)， (2) (3) 【解答】（1）解：∵矩形中，， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）如图2，过点F作于点M， ， ， ， ， ， ， ， 设则 ， ， 由（1）可知：， ， 解得 ， ； （3）矩形中，，， ， ， ， ， ， 如图3，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 ，与重合，得到    ，连接 ， 是等边三角形，， ， 将绕点E顺时针旋转，与重合，得到， ， ， 当点P，C，三点共线时，的值最小，为． 17．(1)见解析 (2)①；②最大值为12； (3)见解析 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，为中点，， ， ，， 延长交于点， 在正方形中，，， 四边形是矩形， ，， 与平行， 则，， ， 即， ； ②， ，开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值为12； （3）证明：设，由（1）得： ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ，开口向下，对称轴， 又， ， 当时，随的增大而增大， ， 四边形面积随着的增大而增大． 18．（1）四边形是正方形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【解答】（1）四边形是正方形． 理由：， ， ． ， ． 又， ， ． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是正方形． （2）． 理由：， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 矩形为正方形， ． ， ． （3）如图，连接． 四边形是正方形， ． ， 为等腰直角三角形， ， ． 又， ， ． ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$