第14讲 整式的加减运算【九大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

第14讲 整式的加减运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解同类项的概念，并掌握合并同类项的方法； 2．能用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系； 3．通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从中体会“数式通性”和 类比思想； 4.掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识。 知识点一 同类项 1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 知识点二 去（添）括号法则 去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号； （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项； （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号. 知识点三 整式的加减 1.整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2.整式加减的一般步骤 （1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 考点一：同类型的判断 例1．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各组单项式中，是同类项的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）下列说法正确的是（    ） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与是同类项 D．与是同类项 【变式1-3】（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）下列各组属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点二：已知同类型求指数中字母或代数式的值 例2.（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）若单项式与是同类项．则的值是 ． 【变式2-1】（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）如果单项式与是同类项，则 ． 【变式2-2】（2023春·青海海东·七年级统考阶段练习）如果与是同类项，则的值为 ． 【变式2-3】（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知单项式与是同类项，则代数式的值是 ． 考点三：合并同类型 例3. （2023秋·全国·七年级专题练习）合并同类项： ． 【变式3-1】（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）化简： 【变式3-2】（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）计算的结果等于 ． 【变式3-3】（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）计算： ． 考点四：去括号 例4. （2023秋·七年级课前预习）化简：的结果是 ． 【变式4-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简： ． 【变式4-2】（2023·全国·七年级假期作业）化简： ． 【变式4-3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）化简求值 (1)化简∶； (2)先化简，再求代数式的值∶，其中． 考点五：添括号 例5. （2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）下列多项式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）等式，括号内应填上的项为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各式中添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D． 考点六：整式的加减运算 例6. （2023秋·四川眉山·七年级统考期末）化简：． 【变式6-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式6-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式6-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简： (1)； (2)． 考点七：整式的加减中化简求值 例7. （2023春·甘肃定西·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中． 【变式7-1】（2023春·宁夏银川·七年级校考开学考试）先化简，再求值：；其中，． 【变式7-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式7-3】（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）先化简，后求值：，其中． 考点八：整式的加减的应用 例8. （2023秋·河南漯河·七年级校考期末）某公园里一块草坪的形状如图中的阴影部分(长度单位：m)．    (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 【变式8-1】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为．如果它的高不变，底面正方形边长增加了，那么它的体积增加了 ． 【变式8-2】（2023秋·广东韶关·七年级统考期末）今年暑假小明家买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，这套住宅的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示（图中长度单位：米）． (1)求出用含、的代数式表示这套房的总面积是多少平方米? (2)当，时，若铺1平方米地砖平均费用120元，求这套住宅铺地砖总费用． 【变式8-3】（2023秋·广西南宁·七年级校考期末）如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为．    (1)________，__________；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示长方形的周长； (3)当时，求长方形的周长． 考点九：整式的加减中的无关型问题 例9. （2023春·山东济南·六年级统考开学考试）若代数式不含项，则 ． 【变式9-1】（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的多项式不含二次项，则的值为 ． 【变式9-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）当m= 时，关于x的多项式 与多项式的和中不含项． 【变式9-3】（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 一、单选题 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）下列各组代数式或数中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2023·山东烟台·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 5．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 二、填空题 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）计算： ． 7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 8．（23-24六年级上·山东威海·期末）多项式化简后不含项，则k的值为 ． 9．（2024·江苏泰州·一模）已知，那么代数式的值是 ． 10．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）把2张大小形状完全相同的平行四边形纸片（如图1）按两种不同的方式（如图2、图3）不重叠地放在平行四边形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若，，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差值为 ． 三、解答题 11．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）去括号合并同类项 (1) (2) 12．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简求值： (1)，其中，． (2)，其中 13．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 14．（2024·河北邢台·三模）已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示） （）若代数式的值为，求代数式的值为 ； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （）已知，的值为最大的负整数，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 整式的加减运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解同类项的概念，并掌握合并同类项的方法； 2．能用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系； 3．通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从中体会“数式通性”和 类比思想； 4.掌握从特殊到一般、从个体到整体 地观察。分析问题的方法，尝试从不同角度探究问题，培养应用意识和创新意识。 知识点一 同类项 1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 知识点二 去（添）括号法则 去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号； （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项； （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号. 知识点三 整式的加减 1.整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2.整式加减的一般步骤 （1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 考点一：同类型的判断 例1．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各组单项式中，是同类项的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义即可求解，所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项． 【详解】解：A、与，字母相同，但对应字母的次数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； B、与是同类项，故该选项符合题意； C、与，所含字母不尽相同，不是同类项，故该选项不符合题意； D、与，字母相同，但对应字母的次数不同，不是同类项，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】A、相同字母的指数不同，故A不符合题意 B、相同字母的指数不同，故B不符合题意；； C、字母相同且相同字母的指数也相同，故C符合题意； D、相同字母的指数不同，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．掌握上述知识点是解题的关键． 【变式1-2】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期中）下列说法正确的是（    ） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与是同类项 D．与是同类项 【答案】D 【分析】根据同类项的定义进行分析判断． 【详解】解：A、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； B、与是所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意； C、与所含相同字母x的指数不同，不是同类项，不符合题意； D、与含有相同的字母，且相同字母的指数相同，是同类项，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同． 【变式1-3】（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）下列各组属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，叫同类项）判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，故本选项错误； B、与不是同类项，故本选项错误； C、与是同类项，故本选项正确； D、与不是同类项，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了对同类项的定义的应用，注意：同类项是指：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项． 考点二：已知同类型求指数中字母或代数式的值 例2.（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）若单项式与是同类项．则的值是 ． 【答案】2 【分析】先根据同类项的定义求得m和n，然后计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了同类项的定义：含有相同字母，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项． 【变式2-1】（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）如果单项式与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项． 【详解】解：由题意得： 解得： 故 故答案为：1． 【点睛】本题考查根据同类项的定义求字母指数中的参数的值．掌握同类项的定义是解题关键． 【变式2-2】（2023春·青海海东·七年级统考阶段练习）如果与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，求出a和b的值，再将a和b的值代入即可求解．． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是掌握同类项是定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项． 【变式2-3】（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）已知单项式与是同类项，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】根据同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求得，再整体代入计算即可． 【详解】解：根据同类项的定义得：，， 即， ∴． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了同类项的定义，代数式的求值，掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 考点三：合并同类型 例3. （2023秋·全国·七年级专题练习）合并同类项： ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查合并同类项．熟练掌握合并同类项的法则，字母和字母的指数不变，系数相加减即可． 【变式3-1】（2023秋·江西南昌·七年级统考期末）化简： 【答案】 【分析】合并同类项即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的运算法则是解题的关键． 【变式3-2】（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的方法即可求解 【详解】原式 【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则． 【变式3-3】（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）计算： ． 【答案】 【分析】运用合并同类项法则解题即． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减，掌握合并同类项的法则是解题的关键． 考点四：去括号 例4. （2023秋·七年级课前预习）化简：的结果是 ． 【答案】 【分析】根据去括号的法则：括号前面为号，里面各项不变号；括号前面为号，里面各项要变号即可解答． 【详解】解：∵， 故答案为． 【点睛】本题考查了去括号的法则，熟记去括号法则是解题的关键． 【变式4-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简： ． 【答案】 【分析】按照运算法则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算．按照运算法则先去括号，再合并同类项即可．熟练掌握法则是解题的关键． 【变式4-2】（2023·全国·七年级假期作业）化简： ． 【答案】/ 【分析】先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项是解题的关键． 【变式4-3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）化简求值 (1)化简∶； (2)先化简，再求代数式的值∶，其中． 【答案】(1) (2)，﹣1 【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果 （2）原式去括号合并得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值； 【详解】（1）原式； （2）原式， 当 时，原式 ； 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键 考点五：添括号 例5. （2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）下列多项式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】提取负号添括号时，每一项都需要变号． 【详解】解：A：，A选项正确； B：，B选项错误； C：，C选项错误； D：，D选项错误． 故选D 【点睛】本题考查添括号．括号前面是负号，则括号里面每一项都需要变号．这是解决本题的关键． 【变式5-1】（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）等式，括号内应填上的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据填括号的法则解答即可． 【详解】根据填括号的法则可知， 原式 故选：B． 【点睛】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式5-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各式中添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据添括号法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查添括号．熟练掌握添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号，是解题的关键． 【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）下列变形中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号和添括号法则，进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，故正确； B、，故错误； C、，故正确； D、，故正确． 故选：B． 【点睛】本题考查去括号和添括号，熟练掌握去括号法则和添括号法则，是解题的关键． 考点六：整式的加减运算 例6. （2023秋·四川眉山·七年级统考期末）化简：． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减中的去括号、合并同类项，熟练掌握整式的加减中的去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键． 【变式6-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据合并同类项法则，计算即可； （2）首先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减法，解本题的关键在熟练掌握合并同类项的运算法则． 【变式6-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 【变式6-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）根据整式加减运算法则，先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 考点七：整式的加减中化简求值 例7. （2023春·甘肃定西·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】直接利用整式的加减运算法则合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键． 【变式7-1】（2023春·宁夏银川·七年级校考开学考试）先化简，再求值：；其中，． 【答案】，18 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解： ， 将，代入，得： 原式． 【点睛】本题考查整式加减的化简求值，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 【变式7-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】先去括号，再合并同类项，最后将a和b的值代入，按代数式指明的计算顺序计算即可． 【详解】解：原式． 当，时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式的加减—化简求值，解决问题的关键是熟练掌握运算顺序，去括号法则，合并同类项法则． 【变式7-3】（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【分析】先按照整式混合运算顺序和运算法则，以及去括号法则，将整式化简，再将x和y的值代入进行即可． 【详解】解：      ； 当时， 原式， ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则，注意去括号时，括号前为负时要变号． 考点八：整式的加减的应用 例8. （2023秋·河南漯河·七年级校考期末）某公园里一块草坪的形状如图中的阴影部分(长度单位：m)．    (1)用整式表示草坪的面积； (2)若，求草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)440平方米 【分析】（1）根据题意和图形中的数据可以用代数式表示出草坪的面积； （2）将代入（1）中的代数式，即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 草坪的面积是：(平方米)， 答：草坪的面积是平方米； （2）当时，(平方米)， ∴草坪的面积是440平方米． 【点睛】本题考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、求出相应的代数式的值，利用数形结合的思想解答． 【变式8-1】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为．如果它的高不变，底面正方形边长增加了，那么它的体积增加了 ． 【答案】 【分析】根据长方体的体积的计算方法先求出边长未增加时的体积，再计算边长增加后的体积，运用整式的加减运算即可求解． 【详解】解：底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为， ∴该长方体的体积为：， 高不变，底面正方形边长增加了，则底面正方形的边长为， ∴该长方体的体积为：， ∴体积增加了， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用字母表示数、数量关系，整式的加减混合运算，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 【变式8-2】（2023秋·广东韶关·七年级统考期末）今年暑假小明家买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，这套住宅的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示（图中长度单位：米）． (1)求出用含、的代数式表示这套房的总面积是多少平方米? (2)当，时，若铺1平方米地砖平均费用120元，求这套住宅铺地砖总费用． 【答案】(1)平方米 (2)4680元 【分析】（1）根据图形和题意可以求出这套房子的总面积； （2）根据面积，从而可以求出这套住宅铺地砖的总费用． 【详解】（1）解：这套房的总面积是平方米； （2）当，时，铺1平方米地砖平均费用120元， 这套住宅铺地砖总费用（元）． 【点睛】此题考查了整式加减的应用，列代数式，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是明确题意，求出住宅的总面积和总费用，利用数形结合的思想解答． 【变式8-3】（2023秋·广西南宁·七年级校考期末）如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为．    (1)________，__________；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示长方形的周长； (3)当时，求长方形的周长． 【答案】(1)， (2) (3)54 【分析】（1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长即可； （3）把代入（2）所求结果中进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：，； 故答案为：，； （2）解：长方形的宽为：； 长为：， ∴长方形的周长为：； （3）当时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键． 考点九：整式的加减中的无关型问题 例9. （2023春·山东济南·六年级统考开学考试）若代数式不含项，则 ． 【答案】 【分析】原式去括号合并得到最简结果，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ， 由结果中不含项，得到，即， 故答案为：． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式9-1】（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的多项式不含二次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对多项式去括号，合并同类项，然后再根据不含二次项可求解、的值，进而代入求解即可． 【详解】解： ∵多项式不含二次项， ∴，解得：， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键． 【变式9-2】（2023秋·全国·七年级专题练习）当m= 时，关于x的多项式 与多项式的和中不含项． 【答案】 【分析】先将两个多项式求和，根据和中不含项,即项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵关于x的多项式 与多项式的和中不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查合并同类项，不含某一项，即合并后此项系数为0． 【变式9-3】（2023秋·四川眉山·七年级统考期末）已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出式子，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项进行化简，再根据“代数式的值与字母的取值无关”可求出的值，从而得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 代数式的值与字母的取值无关， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减—去括号、合并同类项，整式的加减中的无关型问题，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键． 一、单选题 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）下列各组代数式或数中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查同类项定义：所有字母及字母指数都相同的项叫同类项．根据同类项得定义逐个判断即可得到答案； 【详解】解：A．与字母相同但字母指数不同不是同类项，故A符合题意； B．与是同类项，故B不符合题意； C．与是同类项，故C不符合题意； D．与是同类项，故D不符合题意． 故选：A． 2．（2023·山东烟台·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减运算法则，涉及同类项定义、合并同类项运算，根据合并同类项的运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握合并同类项运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）若与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，利用同类项的定义求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 4．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 5．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图②中两块阴影部分的周长和为24，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，准确理解题意是解题的关键，设小长方形的长为x，宽为y，由题意得，再表示出两块阴影部分的周长和，即可求解． 【详解】设小长方形的长为x，宽为y，由题意得， 则两块阴影部分的周长和为， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，直接合并同类项即可．本题考查合并同类项的知识，要求掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出运算式是解题的关键．设这个多项式为A，由题意得：，再求解即可． 【详解】解：设这个多项式为A，由题意得：， ∴， 故答案为：． 8．（23-24六年级上·山东威海·期末）多项式化简后不含项，则k的值为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知的系数为0即可得出答案． 【详解】解： 多项式化简后不含项， ， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·江苏泰州·一模）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 10．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）把2张大小形状完全相同的平行四边形纸片（如图1）按两种不同的方式（如图2、图3）不重叠地放在平行四边形内，未被覆盖的部分用阴影表示，若，，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，设小平行四边形的长边为，短边为，由题意得，，分别得出，，计算差值即可求解．解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案． 【详解】设小平行四边形的长边为，短边为，由题意得:，， 如图2， ， 如图3， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）去括号合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算中的去括号以及合并同类项． （1）根据合并同类项得法则直接合并同类项即可， 合并同类项得法则：把同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变， （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，再根据合并同类项法则合并同类项，可得答案； 【详解】（1）解： （2） 12．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简求值： (1)，其中，． (2)，其中 【答案】(1)； (2)；1 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项和掌握去括号法则是解题关键， （1）直接去括号合并同类项，再把已知数据代入得出答案； （2）原式先去括号，然后合并同类项进行化简，然后再求值． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式 ． （2）解：原式 ． ∵，且，， ，， 解得：，， ∴原式 13．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 【答案】(1)窗户的面积为平方米． (2)窗户的外框总长为米． (3)制作这样一个窗户需要元钱． 【分析】本题考查了列代数式，整式的化简，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系． （1）根据窗户面积=正方形面积+半圆面积，即可解答； （2）根据窗户外框总长=正方形三边的长+半圆弧长，即可解答； （3）根据总费用=玻璃费用+窗框费用，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （平方米）， 答：窗户的面积为平方米． （2）解：根据题意可得： （米）， 答：窗户的外框总长为米． （3）解：根据题意可得： ， 当时，原式， 答：制作这样一个窗户需要元钱． 14．（2024·河北邢台·三模）已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键 （1）由题意知，； （2）由题意知，，由的值与的值无关，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知， ． ∵的值与的值无关， ∴， 解得． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为 ；（用含、的式子表示） （）若代数式的值为，求代数式的值为 ； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）求出的结果，再把代入化简后的结果计算即可求解； （）由题意得到，再把代数式转化为，利用“整体思想”代入计算即可求解； （）由的值为最大的负整数得，再把代数式转化为，把、代入计算即可求解； 本题考查了整式的加减运算，代数式求值，掌握“整体思想”的运用是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$