精品解析：江苏省扬州市新华中学2023-2024学年高一下学期适应性练习数学试题

扬州市新华中学高一下学期适应性练习 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数，即可得答案； 【详解】，所以复数的虚部为， 故选：B. 2. 用二分法求图象连续不断的函数在区间(1,2)内的零点近似值,求解过程中得到,,,则函数的零点所在的区间为 A. (1,125) B. (1.25,15) C. (1.5,2) D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据零点存在性定理及二分法求零点的计算方法即可判断. 【详解】解：依题意,, ， 根据函数零点的判定定理，函数零点落在区间区间内， 故选： 【点睛】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，函数零点与方程的根的关系，属于基础题． 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意可知，且， 则， 故该圆锥的体积为， 故选：A 4. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合空间线面位置关系判断即得． 【详解】由直线平面，得存在过的平面与相交，令交线为，则， 若直线平面，，则，于是，因此； 若直线平面，，则，由，得与不一定垂直，则平面与不一定平行， 所以“”是“”的的充分不必要条件． 故选：A 5. 在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，做出其截面图，然后结合线面角的定义即可得到结果. 【详解】 由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面所成角即为， 由条件可得，，,，则，,则，所以为等腰直角三角形， 所以，即. 故选：B. 6. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解. 【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，， 则中位数 ，众数为， 由题意知，解得， 所以这组数据的平均数为， 则这组数据的方差是， 因为，所以这组数据的第百分位数是； 故选：C. 7. 已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用坐标求解. 【详解】 如图，以BC中点坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，由，得 而为AD的中点，则， 所以 故选：B 8. 已知，其中，若函数在区间内有零点，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数，令，， 根据不等式求解，即可得到可能的取值. 【详解】由题：，其中， 令，， 若函数在区间内有零点， 则有解， 解得： 当 当 当 结合四个选项可以分析，实数的取值可能是. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数零点求参数的取值范围，需要熟练掌握三角函数的图像性质，求出函数零点再讨论其所在区间列不等式求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分． 9. 已知复数，满足，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的向量为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合复数运算解方程可求，判断A，根据共轭复数定义及复数乘法求判断B，根据复数的几何意义判断C，根据复数的模的几何意义判断D. 【详解】因为， 所以，A 正确； 所以，所以，B错误； 所以复平面内对应的向量为，C正确； 设复数在复平面上的对应点为， 因为，所以点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆， 又复数在复平面上对应点的坐标为， 的几何意义为点的距离， 所以的最小值为，D正确， 故选：ACD. 10. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反例排除即可； 对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断； 对于CD，利用古典概型求出事件概率，结合独立事件的概率公式判断即可. 【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误； 对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确； 对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故， 由选项B知， 而事件包含的基本事件有共2件，故， 所以，故与独立，故C正确； 对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知， 而事件包含的基本事件有共3件，故， 所以，故与不独立，故D错误. 故选：BC. 11. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：通过证明可得直线与直线共面；对于B：过点的平面截该正方体所得的截面为梯形，即算其面积即可；对于C：建立空间直角坐标系，三棱锥的外接球球心在过线段的中点并与面垂直的线上，设出球心坐标，列方程求解；对于D：利用向量法求解点到面的距离. 【详解】对于A：分别是的中点，得， 所以共面，所以直线与直线共面，A错误； 对于B：由选项A得过点的平面截该正方体所得的截面为梯形， ，， 所以， 所以， 则点到的距离为， 所以截面面积为，B正确； 对于C：如图建立空间直角坐标系，由为直角三角形可得，三棱锥的外接球球心在过线段的中点并与面垂直的线上， 设三棱锥的外接球球心为，又， 则，所以，解得， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，C正确； 对于D：， ， 设面的法向量为， 设，取，得， 所以点到平面的距离为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是________． 【答案】09 【解析】 【分析】按照题意依次读出前4个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09， 所以选出来的第4个个体的编号为09. 故答案为：09 13. 如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解. 【详解】由平面，平面，得，， 又，，则， 取的中点，连结，由为的中点，得， 因此直线BE与AD所成角为或其补角， 在中，，，， 由余弦定理得， 所以直线BE与AD所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且，则___________；的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据弦长公式可求得，利用平面向量的线性运算及数量积的定义可求解的值；建立直角坐标系，设，，三点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解的最大值. 【详解】解：因为，圆的半径为1，所以， 又，所以； 以圆心为原点，建立直角坐标系，设， 则， 则，因为，所以的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40，50）､[50，60）､…､[80，90）､[90，100]. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （2）从评分在[40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率； 【答案】（1）a=0.006，概率为0.68 （2） 【解析】 【分析】（1）由所有小矩形面积之和为1可求得.根据面积可求得概率. （2）列举出所有情况求概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质可知： （0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得：a=0.006； 不低于70分频率为：， 故该中学的学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68； 【小问2详解】 [40，50）组共有人， [50，60）组共有人， 把[40，50）的2人记为1､2，把[50，60）组的3人记为3､4､5， 则总可能有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种情况， 设2人评分都在[50，60）为事件A，则满足事件A的有：（3，4），（3，5），（4，5）共3种， 故. 16. 已知三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且. （1）求角A的值； （2）在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为，由正弦定理将边化成角，利用和差公式即可化为，结合辅助角公式即可求解； （2）利用余弦定理化为关于的一元二次方程，结合方程根的分布列不等式求解即可． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又 即， 因为sinC≠0，得， 所以. 所以或（舍去）， 故． 【小问2详解】 由（1）和余弦定理得，又，所以， 即，要使有两解，则方程有两个正实数根， 即， 即. 17. 已知向量，. （1）若，求； （2）若， ①求； ②已知，求. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由可得，化简变形可求出； （2）①给两边平方化简变形可求得，②由可求出，令，则，求出，然后可求得. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以； 【小问2详解】 ①因为，，所以， 因为， 所以，即， 即； ②因为， 所以由得， 因为，所以， 所以， 令，则，，， 所以， ， 所以 . 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点. （1）求证：； （2）求证：； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，则由线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可证得结论； （2）由题意可得是中点，则，再利用面面垂直的性质可得平面，则，而，则可得结论； （3）过作于，连接，则可证得就是二面角的平面角，然后在中求解即可. 【小问1详解】 因为底面菱形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 因为是中点，所以是中点， 因为是正三角形，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以； 【小问3详解】 过作于，连接， 由（2）知平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角， 在正三角形中，，， 在中，，，所以， 在中，， 在中，， 所以二面角的正切值为. 19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点． （1）若，，，求的值； （2）若，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理可先求出，然后结合三角形的面积公式得到，找到其与数量积的关系即可求解； （2）设出和，通过正弦定理得到和的关系，再通过余弦定理结合基本不等式求的范围. 【小问1详解】 在△ABC中，，，，所以C是最大角． 由． 因为，所以， 所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点． 设△ABC的面积为S， 则 又由，得， 所以． 所以， 即， 所以 【小问2详解】 在△ABC中，因为，， 所以△ABC的费马点O是三角形内部对三边张角均为的点． 设，则，， 所以． 设，，， 在△AOB与△AOC中，由正弦定理可得， ， 所以． 在△BOC中，由余弦定理可得， ， 所以，即． 当且仅当时，mn取得最大值， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据向量积与三角形面积公式的关系求出向量积的和，再根据余弦定理，运用基本不等式求最值，要注意检验取等条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州市新华中学高一下学期适应性练习 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 用二分法求图象连续不断函数在区间(1,2)内的零点近似值,求解过程中得到,,,则函数的零点所在的区间为 A. (1,125) B. (1.25,15) C. (1.5,2) D. 不能确定 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（ ） A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6 7. 已知是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，其中，若函数在区间内有零点，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分． 9. 已知复数，满足，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应向量为 D. 的最小值为 10. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与独立 D. 与独立 11. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是________． 13. 如图，在三棱锥中，，，平面ABC，E为CD的中点，则直线BE与AD所成角的余弦值为________． 14. 已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且，则___________；最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40，50）､[50，60）､…､[80，90）､[90，100]. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （2）从评分在[40，60）的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率； 16. 已知三内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且. （1）求角A的值； （2）在解三角形问题中，若，且有两解，求边a的取值范围. 17. 已知向量，. （1）若，求； （2）若， ①求； ②已知，求. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点. （1）求证：； （2）求证：； （3）求二面角的正切值. 19. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为费马点． （1）若，，，求的值； （2）若，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$