暑假复习专题01 平面向量（9大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题01 平面向量（9大题型） 高频考点题型复习归纳 【题型1 向量的概念】 【题型2 向量的线性运算】 【题型3 平面向量基本定理】 【题型4 求向量的数量积】 【题型5 求向量的夹角】 【题型6求投影向量】 【题型7 基底法求向量的最值和取值范围】 【题型8 坐标法求向量的最值和取值范围】 【题型9 平面向量系数和（等和线）问题】 专项练 【题型1 向量的概念】 【典例1】（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【题型训练1】 1.写出一个与向量共线的单位向量： . 2.已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ） A． B． C． D． 3.下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.（多选）如图，在单位圆中，向量是（ ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 【题型2 向量的线性运算】 【典例2】已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【题型训练2】 1.下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 2.已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3.如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 4.（多选）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【题型3平面向量基本定理】 【典例3】如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【题型训练3】 1.如图所示，已知和交于点E，若，则实数值为（ ） A. B. C. D. 2.如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 3.已知是的边上一点，若，则（ ） A． B． C．0 D． 4.中，，P为线段中点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【题型4 求向量的数量积】 【典例4】已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【题型训练4】 1.（多选）已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ） A. ， B. 可能成立 C. 若，则 D. 若，则或 2．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．（2023春•江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学三校3月联考）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ） A. 在方向上投影向量为 B. C. 若 D. 若，则与平行 4.（2023春•江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学三校3月联考）已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上的任意一点，若则的值为________ 【题型5 求向量的夹角】 【典例5】如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______. 【题型训练5】 1．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ） A. B. C. D. 3.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 4.（2023春•江苏常州前黄高级中学3月月考）如图，在四边形中，，，，△ABC为等边三角形，是的中点.设，. （1）用，表示，； （2）求∠BAE的余弦值. 【题型6求投影向量】 【典例6】已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【题型训练6】 1.已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2.已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（ ） A．6 B．3 C．2 D． 3.已知为单位向量，且，则在上的投影向量为__________. 4.已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【题型7 基底法求向量的最值和取值范围】 【典例7】如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为 ． 【题型训练7】 1.已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A．1 B． C． D． 2.如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）    A． B． C． D． 3.已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4.如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 【题型8 坐标法求向量的最值和取值范围】 【典例8】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______. 【题型训练8】 1.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A．4 B．1 C． D． 2.如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 4.如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型9 平面向量系数和（等和线）问题】 【典例9】（（2023春•江苏南通海安高级中学月考））平面内给定三个向量，且． （1）求实数k关于n的表达式； （2）如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值． 【题型训练9】 1.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 2.设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ） A．， B．， C． D． 3.已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A． B． C．2 D． 4.如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（ ） A． B． C． D． 【专项练】 1.已知向量，满足，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 2.已知，，则（ ） A． B． C． D． 3.（多选）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则不与垂直 D. 不与垂直 4.（多选）（2023春•江苏常州前黄高级中学3月月考）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是（ ） A. B. C. 设BC边中点为D，则有 D. 5.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为________ 6.已知扇环如图所示，是扇环边界上一动点，且满足，则的取值范围为 . 7.已知，求: （1）的值; （2）与的夹角． 8.如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. （1）用向量，表示； （2）设向量，，求的值. 9.如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 10.已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． （1）求的值; （2）求的值; （3）若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量（9大题型） 高频考点题型复习归纳 【题型1 向量的概念】 【题型2 向量的线性运算】 【题型3 平面向量基本定理】 【题型4 求向量的数量积】 【题型5 求向量的夹角】 【题型6求投影向量】 【题型7 基底法求向量的最值和取值范围】 【题型8 坐标法求向量的最值和取值范围】 【题型9 平面向量系数和（等和线）问题】 专项练习 【题型1 向量的概念】 【典例1】（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 【题型训练1】 1.写出一个与向量共线的单位向量： . 【答案】或 【解析】设所求向量为， 由题可知：且， 解得：或， 所以向量坐标为或． 故答案为：或 2.已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，所以， 从而与向量同方向的单位向量为. 故选：A 3.下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误； 对于C：若，则方向相同，C 正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 4.（多选）如图，在单位圆中，向量是（ ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 【答案】BC 【解析】A：由图可知，的起点为O，的起点为A，故A错误； B：由，知都为单位向量，故B正确； C：，故C正确； D：方向不同，，所以不为相等向量，故D错误. 故选：BC 【题型2 向量的线性运算】 【典例2】已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】由已知，， 又与共线，所以，解得． 故选：C． 【题型训练2】 1.下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于A：，故A不合题意； 对于B：，故B满足题意； 对于C：，故C不合题意； 对于D：，故D不合题意. 故选：B 2.已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】因为与共线，则存在，使得，即， 因为向量、不共线，则，整理可得，即， 解得或. 故选：C. 3.如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 为 的中点， 而则 且 ，，则 故选：C． 4.（多选）已知向量，不共线，且，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AC 【解析】因为，，， 所以， ， 又向量，不共线，，，三点共线， 所以，则，即， 所以，解得或. 故选：AC 【题型3平面向量基本定理】 【典例3】如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，F为BC的中点， ， 设 ， 又， ，解得. 故选：A. 【题型训练3】 1.如图所示，已知和交于点E，若，则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，由图可知， ， 则，解得. 故选：B. 2.如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，所以，所以，又， 所以，. 故选：B. 3.已知是的边上一点，若，则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 可知，所以. 故选：B. 4.中，，P为线段中点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 又P为线段中点，所以， 即，，所以. 故选：C 【题型4 求向量的数量积】 【典例4】已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图， ，， 所以 . 故选：A 【题型训练4】 1.（多选）已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ） A. ， B. 可能成立 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ACD 【解析】仍是向量，不是向量，A错； 不妨取，，，则， ，此时，B对； 若，，，则，但，C错； 若，，则，但，，D错. 故选：ACD. 2．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】由题意可知，， 故选：B． 3．（2023春•江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学三校3月联考）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ） A. 在方向上投影向量为 B. C. 若 D. 若，则与平行 【答案】BD 【解析】对于A选项，在方向上的投影向量为，A错误. 对于B选项，，B正确 对于C选项，由于，而，所以C错误. 对于D选项，若，则，所以或，则与平行，D正确. 故选：BD 4.（2023春•江苏如东一中、宿迁一中、徐州中学三校3月联考）已知是平面上不共线三点，设为线段垂直平分线上的任意一点，若则的值为________ 【答案】 【解析】设为的中点， 则， 因为为线段垂直平分线上的任意一点， 所以， 则 . 故答案为：. 【题型5 求向量的夹角】 【典例5】如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______. 【答案】 【解析】由图知： ，， ∴， 又，且，， ∴， ∴，而，即， 又， ∴. 故答案为：. 【题型训练5】 1．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，，，则， 设最小的小正方形网格长度为1，则，， 所以， 所以三角形是等腰直角三角形，， 向量与的夹角为的补角. 故选：D. 2．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，是单位向量， 所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 因为， 所以． 故选：B． 3.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】且. 【解析】由得，，. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，. 又不共线，则. 所以，的取值范围为且. 故答案为：且. 4.（2023春•江苏常州前黄高级中学3月月考）如图，在四边形中，，，，△ABC为等边三角形，是的中点.设，. （1）用，表示，； （2）求∠BAE的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由图可知， 因为E是CD的中点， 所以， （2）因为，为等边三角形， 所以，， 所以， 所以， . 则， 所以∠BAE的余弦值为. 【题型6求投影向量】 【典例6】已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得， . 解得. 从而，b在a方向上的投影为. 故选：A. 【题型训练6】 1.已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与的夹角为， 则在上的投影向量为. 故选：B 2.已知向量，，，则向量在向量上的投影向量的模长为（ ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模的值为， 故选：C. 3.已知为单位向量，且，则在上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】由，平方可得，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 4.已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以在上的投影向量为 故答案为： 【题型7 基底法求向量的最值和取值范围】 【典例7】如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】连接MD，则，， 所以， 由于为等腰直角三角形，为线段上的点， 所以 因此， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【题型训练7】 1.已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，取为基底，则. 因为点、分别为的中点， ，， 故选：A 2.如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且， 所以. 故选：A 3.已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上，不妨设， 则（其中） 所以 ， 因为，所以 4.如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 ，且. 即 设与的夹角为，则. 因为，所以. 故答案为： 【题型8 坐标法求向量的最值和取值范围】 【典例8】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 ，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 正八边形内角和为，则， 所以，, , 因为，则， 所以，解得， 所以； 设，则， ，则， 所以，当点在线段上时，取最小值. 故答案为：，. 【题型训练8】 1.已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，则， 所以. 故选：A. 2.如图，在矩形ABCD中，，E为边AB上的任意一点（包含端点），O为AC的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， 所以，，所以． 因为，所以， 即. 故选：A． 3.如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为. 故选：B 4.如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 设点，而， 则， 因此， 由，得，则， 因此， 所以的取值范围为. 故选：B 【题型9 平面向量系数和（等和线）问题】 【典例9】平面内给定三个向量，且． （1）求实数k关于n的表达式； （2）如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 所以，即. （2）由（1）可知，，，由题意可知 因为，所以 又，，所以. 因三点共线，所以. 当且仅当时，取等号，即时，取最小值. 【题型训练9】 1.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】，因为三点共线，所以，因此，故选：B 2.设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ） A．， B．， C． D． 【答案】A 【解析】由题可得：，所以可化为： 整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向， 所以， 故选：A 3.已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A．    4.如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，，，， ， ， 三点共线，，解得：，， . 故选：A 【专项练】 1.已知向量，满足，若，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，∴ ∵，∴ ∵，∴，即. 故选：C. 2.已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 所以. 故选：B. 3.（多选）设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则不与垂直 D. 不与垂直 【答案】AB 【解析】对于A，由平方可得 ，故A正确， 对于B,若则，所以，故B正确， 对于C, 若，则或或（舍去），故可能与垂直，故C错误， 对于D，，所以 ，故D错误， 故选：AB 4.（多选）（2023春•江苏常州前黄高级中学3月月考）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是（ ） A. B. C. 设BC边中点为D，则有 D. 【答案】CD 【解析】如图， A.由题得,OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD||AH,所以,所以该选项正确； B.所以，所以该选项正确； C.∵D为BC中点，G为的重心， ∴，，， ∴， ∴，故C选项错误； D.向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误. 故选：CD 5.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为________ 【答案】 【解析】由题意， ， 当且仅当，即同向时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 6.已知扇环如图所示，是扇环边界上一动点，且满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，易知， （1）当点在上运动时，向量与共线，显然， 此时，因为点在上， 其横坐标满足：，所以； （2）当点在上运动时，向量与共线，显然， 此时，因为点在上， 其横坐标满足：， 则，所以； （3）当点在上运动时，设， 由，得， 即，可得， 变形可得，其中， 因为是扇环边界上一动点，且满足，所以均为非负实数， ，因为， 所以当时，取得最大值，的最大值为， 由，所以当时，取得最大角， 此时取得最小值，即， 所以，的最小值为1； （4）同理可得当点在上运动时，因为， 故的最大值为，最小值为. 综上所述，. 7.已知，求: （1）的值; （2）与的夹角． 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）由，得， 则，而，于是， 所以. （2）显然， 则，而，于. 所以与的夹角为 8.如图，在△中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，. （1）用向量，表示； （2）设向量，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】（1）∵中线上一点，且， ∴ ； （2）∵，，， ∴，又，，三点共线， ∴，解得，故的值为. 9.如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为在菱形中，. 故， 故，所以. （2）显然， 所以 ①， 因为菱形，且，， 故，. 所以. 故①式 故. 10.已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． （1）求的值; （2）求的值; （3）若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由得， 两边平方可得:， 又，所以， 即，即， 所以； （2）因为，所以， 又， 所以， 则， 在等式两边同乘以， 有， 所以； （3）因为， 同理得，即有， 由得点是的重心， 所以， 又， 即有， 所以， (当且仅当时取等号)， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$