专题10 幂函数-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题10 幂函数 【应知应会】 1 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）幂函数的定义 1 （二）幂函数的图象 1 （三）幂函数的性质 2 考点剖析 2 过关检测 5 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 11 D组 拓展延伸 16 【应知应会】 一、复习引入 在初中阶段，我们已经学习过正比例函数，反比例函数即以及二次函数，它们的“音容笑貌”还记得吗？这三个函数从形式上具备怎样的共同特征？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：15 min】 （一）幂函数的定义 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数（power functions）. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域. 幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数的值有关. 【注】（1）幂函数的系数为1； （2）幂函数的指数. （二）幂函数的图象 （三）幂函数的性质 所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）. 时：（图A） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）增大（严格增函数）. 时：（图B） （1）图象都通过点（1，1）； （2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）减小（严格减函数）； （3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近. 【思考】时，图像如何画？ 【小结】与两坐标轴都无公共点 幂的基本不等式：当时，若，则，得. 考点剖析 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1. 求函数的定义域. 【答案】 例2. 写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 【答案】，严格减 例3. 已知，求实数的取值范围. 【答案】 变式1. 已知，求实数的取值范围. 【答案】 变式2. 已知，求实数的取值范围. 【答案】 【提示】法一：分类讨论：①正正；②负负；③一正一负； 法二：穿针引线： 变式3. 已知，求实数的取值范围. 【答案】 【提示】 例4. 已知点在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）作出此函数的大致图像，并写出对称中心以及判断它的单调性. 【答案】（1）由，，可得，得； （2）函数的图像如图2所示，其对称中心为 该函数在区间和区间上是严格减函数 例5. 设幂函数. （1）求证：该函数在区间上是严格减函数； （2）设，，利用（1）的结论，比较与的大小. 【答案】（1）利用幂的基本不等式；（2） 【解析】（1）证明：对于任意、，且，于是 由，得，故【幂的基本不等式】，则 所以，故该函数在上是严格减函数 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 【答案】A 【分析】令系数等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案. 【详解】令，解得或， 当时，，图象经过坐标原点，不合要求， 当时，，图象不经过坐标原点，满足要求. 故选：A 2．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知幂函数的图象过点，则实数 . 【答案】 【分析】直接代入坐标即可求解. 【详解】由题意，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数在上是严格减函数，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得求得的值,结合幂函数单调性,即可求解. 【详解】由题意知 当时,,在上不是严格减函数,不符合,舍去; 当时,,在上是严格减函数，符合题意. . 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数为 . 【答案】， 【分析】设幂函数，将点代入，即可求解. 【详解】由题意，设幂函数， 则，解得， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上严格单调递减，所以，解得，故而. 而且当时，是偶函数，符合题意，从而实数m的值为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得. 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为且在上单调递减， 则由， 得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义先求出，在根据幂函数性质检验的值是否满足题意； （2）根据幂函数性质求解即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，得或， 因为幂函数在上为严格减函数，所以不符合题意， 所以. （2）由（1）可得 设函数， 因为函数在上严格单调递减， 所以或或，得或. 所以实数的取值范围是. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高一上·上海·期末）下列命题中正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过，两点 C．幂函数图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数 【答案】C 【分析】由幂函数的图象与性质判断即可. 【详解】对A，当时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确； 对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确； 对C，幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确； 对D，当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确； 故选：C. 10．（22-23高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过点，则 ． 【答案】3 【分析】由幂函数知，再代入点求出即可. 【详解】因为幂函数，所以，又幂函数图象过点， ，解得，所以. 故答案为：3. 11．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的性质判断的大小即可得解. 【详解】对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 对于，由其图象可知，例如； 所以. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解. 【详解】由题意可得：，解得或， 若，则在上是严格减函数，不合题意； 若，则在上是严格增函数，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，即可判断函数的单调递减区间. 【详解】设幂函数为，由题意可知，，则， 即，由幂函数性质可知，函数在单调递减， 因为函数为偶函数，所以在单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 14．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 【答案】2 【分析】由幂函数的概念求出或，再利用幂函数的图象性质进行验证即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，其图像不过原点，应舍去， 当， 其图像过原点． 故答案为：2. 15．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性即可得解. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的性质来解答即可. 【详解】， 若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 17．（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图像经过点，则 . 【答案】 【分析】将点代入函数解析式待定，指对互化即可解出. 【详解】由幂函数的图像经过点， 得，则. 故答案为：. 18．（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）根据题意，结合幂函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，结合函数的单调性，即可求解. （2）（1）解：由幂函数在定义域为单调递减函数， 因为，所以. （2）解：由幂函数的定义域为， 且在为单调递减函数，又由， 所以函数为奇函数，所以在为递减函数， 又因为，所以. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质判断． 【详解】显然当或时，，则，不满足题意， 若，则也不满足题意， 只有适合，实际上，此时， ，， 故选：A． 20．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 21．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 . 【答案】①③⑥ 【分析】①结合的乘方的性质进行考虑；②考虑的情况；③考虑的性质；④考虑的情况；⑤取特殊值考虑，⑥结合的单调性进行考虑 【详解】对①，因为表示个相乘，则，那么，①正确； 对②，当时，满足，但，②错误； 对③，若，则且，所以，③正确； 对④，取，则，，④错误； 对⑤，取，满足，但，⑤错误； 对⑥，函数在上单调递增，若，则，⑥正确.     故答案为：①③⑥ 22．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 23．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示： 故答案为：. 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 25．（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 【答案】或或. 【分析】由幂函数与x轴、y轴均无交点得，再根据求出的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可. 【详解】由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当或时，，定义域为， 即函数，其图象关于轴对称，满足题意； 当或时，，即， 设，由， 故其图象不关于轴对称，不满足题意； 当时，，即，定义域为， 设，则， 故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意. 综上所述，或或. 26．（23-24高一上·上海青浦·期中）若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 27．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解； （2）由（1）得到作图求解； （3）根据（2）中图象求解. 【详解】（1）解：因为函数 是幂函数， 所以 解得 或 ①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称， ②当 时，函数的图象关于y轴对称， 则 所以幂函数f（x）的解析式是； （2）由（1）知，其的定义域是 在定义域上的图象，如图所示.      （3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是： 不等式的解集是. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 28．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【分析】根据题意，由和互为反函数，其图象关于对称，把函数的值转化为边长为的正方形内整点的个数，结合有两个，即可求解. 【详解】根据题意，可得表示轴，及函数所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称， 由函数对称性，可得轴，，与函数围成的区域 所以轴，及围成的区域所包含的整数点一样多， 如图所示，把和分别看成横轴和纵轴， 则函数表示边长为的正方形内整点的个数的之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 29．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果. 【详解】由题设，又a为奇数且，则， 当时，，，则不满足题设； 当时，成立； 当时，不等式等价于， 若时， ，即与题设矛盾； 若时，，满足； 综上，不等式解集为或. 故答案为：或 30．（22-23高一上·四川·期中）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式: (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“A佳”函数，区间为； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值； （2）求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可； （3），则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围． 【详解】（1）因为幂函数在上是单调增函数， 所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为， 若存在，使得在上的值域为， 故函数为“A佳”函数. 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 有，解得或，或，而， 故“A佳”函数的区间为； （3），，则在上单调递减， 因为是“A佳”函数，所以， 令，，则，， 所以，有，即， 因为，所以，所以，得， 所以，代入， 得， 因为，所以，得， 令，， 所以，又该函数在上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 幂函数 【应知应会】 1 一、复习引入 1 二、知识梳理 1 （一）幂函数的定义 1 （二）幂函数的图象 2 （三）幂函数的性质 2 考点剖析 2 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 5 D组 拓展延伸 6 【应知应会】 一、复习引入 在初中阶段，我们已经学习过正比例函数，反比例函数即以及二次函数，它们的“音容笑貌”还记得吗？这三个函数从形式上具备怎样的共同特征？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★   参考时间：15 min】 （一）幂函数的定义 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数（power functions）. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域. 幂函数的定义域可以是不相同的，它与指数的值有关. 【注】（1）幂函数的系数为1； （2）幂函数的指数. （二）幂函数的图象 （三）幂函数的性质 所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）. 时：（图A） （1）图象都通过（0，0），（1，1）； （2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）增大（严格增函数）. 时：（图B） （1）图象都通过点（1，1）； （2）在第一象限内，函数值y随x的（严格）增大而（严格）减小（严格减函数）； （3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近. 【思考】时，图像如何画？ 【小结】与两坐标轴都无公共点 幂的基本不等式：当时，若，则，得. 考点剖析 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 例1. 求函数的定义域. 例2. 写出函数的定义域，作出其大致图像，并根据图像判断其单调性. 例3. 已知，求实数的取值范围. 变式1. 已知，求实数的取值范围. 变式2. 已知，求实数的取值范围. 变式3. 已知，求实数的取值范围. 例4. 已知点在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）作出此函数的大致图像，并写出对称中心以及判断它的单调性. 例5. 设幂函数. （1）求证：该函数在区间上是严格减函数； （2）设，，利用（1）的结论，比较与的大小. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图象不经过坐标原点，则（    ） A． B．3 C．1或 D．或3 2．（21-22高一上·上海徐汇·期中）已知幂函数的图象过点，则实数 . 3．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数在上是严格减函数，则 . 4．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则此幂函数为 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 7．（23-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知幂函数在上为严格减函数. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高一上·上海·期末）下列命题中正确的是（ ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过，两点 C．幂函数图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的严格增函数 10．（22-23高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过点，则 ． 11．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数在其定义域上的局部图像，则实数从小到大的排列顺序为 .（请用“”连接） 12．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 14．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 15．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 . 16．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ． 17．（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图像经过点，则 . 18．（2023高一上·上海·专题练习）比较下列各组数的大小. (1)与； (2)与. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海·期中）若对任意，都有成立，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 20．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 21．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 . 22．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 23．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 25．（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 26．（23-24高一上·上海青浦·期中）若幂函数的定义域为，求实数的值. 27．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】28．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 29．（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为 ． 30．（22-23高一上·四川·期中）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式: (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由. (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$