暑假预习专题 第13讲 幂函数（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第13讲 幂函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂 幂函数 幂值的大小比较 1. 理解幂函数的定义及图像。 2. 掌握幂函数的性质。 3. 掌握利用幂函数的性质解不等式。 学习重点：掌握幂函数定义、图像特征（过定点(1，1)），会根据指数正负，并能绘制草图 和比较函数值。 学习难点：理解幂函数的性质，能掌握利用其性质解决幂函数的应用题。 1.幂函数的概念：一般地，函数y＝叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.幂函数的图象：在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝， y＝x－1的图象如图所示： 3.幂函数的性质： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数 4. 幂值的大小比较的方法： （1）直接法:当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较； （2）转化法:当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小； （3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数 分别比较，从而达到比较大小的目的. 5.幂函数性质的应用：利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 幂函数的图像及性质 知识点1.幂函数的概念 定义 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数． 使得有意义的的取值范围，称为此冪函数的定义域．幂函数的定义域可以是不相同的， 它与指数 的值有关． 幂函数 的定义域由指数 决定，指数 不同，幂函数的定义域是不同的． 特别地，当指数 取有理数 时（ 为正整数， 为整数）， 幂函数 的定义域是使得根式 有意义的 的全体． 知识点2.幂函数的图像 作函数的大致图像的步骤：列表一描点一连线；在平面直角坐标系中把满足 的一切点 描绘出来，就构成幂函数 的图像．需要注意幂函数的图像依赖于指数的值，可以有不同的形状。 五个常用幂函数的图像如下: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 知识点3.幂函数的性质 所有的幂函数在 上都是有定义的，并且图像都过点 ． 1.当 时，耍函数 有下列性质： （1）图像都过点 和 ； （2）在第一象限内，函数值随 的增大而增大，此时称幂函数 在 上是严格增函数； （3）在第一象限内，当 时，图像上凸；当 时，图像下凸． 2.当 时，幂函数 有下列性质： （1）图像都过点 ；（2）在第一象限内，函数值随的增大而减小，此时称幂函数 在区间 上是严格减函数，图像都下凸； （3）在第一象限内，当的值从右趋于原点时，图像在轴上方无限逼近 轴， 当趋于 时，图像在 轴上方无限逼近轴. 3.当 时，幂函数 有下列性质： 是直线 去掉一点 ，它的图像不是直线． （1）当 时，幂函数 的图像是经过原点的一条直线． （2）指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线 对称． （3）所有的幂函数的图像都会过第一象限． 五个常用幂函数的性质 函数 定义域 单调性 增函数 在 上是增函数， 在 ， 0］上是减函数 增函数 增函数 在 上是减函数，在 ，0 ）上 是减函数 定点 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【技巧归纳】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【技巧归纳】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得. 【例3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上， 求幂函数的表达式为 . 【技巧归纳】根据幂函数的表达式即可求解. 【例4】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若幂函数的图像经过点，则 【技巧归纳】将已知点坐标代入函数解析式，结合指数式的运算，可得答案. 【例5】（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 【技巧归纳】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得. 【例6】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图象过原点，则 ． 【技巧归纳】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【例7】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】根据幂函数的定义即可得解. 【例8】已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 【技巧归纳】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式， 解出的值. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海金山·期中）函数是幂函数，则 . 【练习2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若函数是幂函数，则= ． 【练习3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）幂指数为整数的幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的取值集合为 . 【练习4】函数的定义域为 ． 【练习5】若有意义，则实数的取值范围是 【练习6】下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【练习7】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【练习8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点02 幂函数的应用 1.幂函数性质的应用：利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 2.幂函数解析式为（α为常数），先求其定义域（如α负整数时，α分数且分母偶时）； 再分类分析指数： ①α>0（正指数）；②α<0（负指数）；③α为分数或整数时结合奇偶性，为判断单调性铺垫. 3.α>0时：定义域R且α奇时，在R上递增；α偶时，在递增； α<0时：在递减；若α奇，在也递减（注意区间不合并）； 用区间表示单调区间，标注增减性，确保贴合定义域与指数特征. 4. 明确不等式对应的幂函数（α已知），先求其定义域（如α=-1时）； 再根据α判断单调性：α>0时，在递增，若α奇则在R上递增； α<0时，在递减，若α奇则在也递减. 5. 根据单调性转化不等式：递增时，（需同属单调区间且满足定义域）；递减时 等价于，解转化后的不等式，结合定义域剔除无效解，最终用集合/区间表示解集，验证边界值. 【经典例题】 【例9】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【易错提醒】根据幂函数的性质一一验证即可. .【例10】（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为 ． 【易错提醒】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果. 【例11】若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 【易错提醒】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值. 【例12】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限. 【易错提醒】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【例13】（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数 可能是 ． 【易错提醒】利用幂函数的图象特征分类判断即可得解. 【例14】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点， 则 ． 【易错提醒】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可． 【例15】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解关于的不等式：． 【易错提醒】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解. 【例16】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 【易错提醒】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解. 【对点练习】 【练习9】若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ． （填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【易错提醒】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【练习10】如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的 一个表达式： ． 【练习11】已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是 严格减函数；则取值的集合是 ． 【练习12】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系， 的大小 （填、或符号） 【练习13】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【练习14】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数在上 y随x增大而减小，且图象关于y轴对称，则 ． 【练习15】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【练习16】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称， 且在区间上是严格增函数．(1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 1.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 2.若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 3.若要使有意义，则取值范围是 . 4.（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减， 则 . 5.（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数在上是严格减函数， 则 . 6.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，， 都有，则实数的取值范围为 . 7.（24-25高一上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 8.（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是幂函数， 且在上单调递减，则实数 ． 10．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 11．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取 这四个值，则与曲线相应的依次为 . 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称， 且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ． 13.（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 14.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 15.（24-25高一上·上海·期中）在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·上海杨浦·期中）命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同， 则命题m是命题n的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 17.（22-23高一上·上海青浦·期末）已知幂函数，写出函数定义域，对称性，单调区间，值域， 并做出大致图像． 18.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的表达式为是幂函数， 且当时，函数是严格增函数，求的解析式． 19.已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 20.（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像；(2)命题m：两个幂函数有三个公共点， 命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由； (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 21.（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，，幂函数在区间上 是严格增函数．(1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，求实数的范围；(3)若， 关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值． 22．已知幂函数．(1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为， 若存在，求出实数m的值． 23．设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为， 则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式； (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由； (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第13讲 幂函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 幂 幂函数 幂值的大小比较 1. 理解幂函数的定义及图像。 2. 掌握幂函数的性质。 3. 掌握利用幂函数的性质解不等式。 学习重点：掌握幂函数定义、图像特征（过定点(1，1)），会根据指数正负，并能绘制草图 和比较函数值。 学习难点：理解幂函数的性质，能掌握利用其性质解决幂函数的应用题。 1.幂函数的概念：一般地，函数y＝叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2.幂函数的图象：在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝， y＝x－1的图象如图所示： 3.幂函数的性质： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数 4. 幂值的大小比较的方法： （1）直接法:当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较； （2）转化法:当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小； （3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数 分别比较，从而达到比较大小的目的. 5.幂函数性质的应用：利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 幂函数的图像及性质 知识点1.幂函数的概念 定义 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数． 使得有意义的的取值范围，称为此冪函数的定义域．幂函数的定义域可以是不相同的， 它与指数 的值有关． 幂函数 的定义域由指数 决定，指数 不同，幂函数的定义域是不同的． 特别地，当指数 取有理数 时（ 为正整数， 为整数）， 幂函数 的定义域是使得根式 有意义的 的全体． 知识点2.幂函数的图像 作函数的大致图像的步骤：列表一描点一连线；在平面直角坐标系中把满足 的一切点 描绘出来，就构成幂函数 的图像．需要注意幂函数的图像依赖于指数的值，可以有不同的形状。 五个常用幂函数的图像如下: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 知识点3.幂函数的性质 所有的幂函数在 上都是有定义的，并且图像都过点 ． 1.当 时，耍函数 有下列性质： （1）图像都过点 和 ； （2）在第一象限内，函数值随 的增大而增大，此时称幂函数 在 上是严格增函数； （3）在第一象限内，当 时，图像上凸；当 时，图像下凸． 2.当 时，幂函数 有下列性质： （1）图像都过点 ；（2）在第一象限内，函数值随的增大而减小，此时称幂函数 在区间 上是严格减函数，图像都下凸； （3）在第一象限内，当的值从右趋于原点时，图像在轴上方无限逼近 轴， 当趋于 时，图像在 轴上方无限逼近轴. 3.当 时，幂函数 有下列性质： 是直线 去掉一点 ，它的图像不是直线． （1）当 时，幂函数 的图像是经过原点的一条直线． （2）指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线 对称． （3）所有的幂函数的图像都会过第一象限． 五个常用幂函数的性质 函数 定义域 单调性 增函数 在 上是增函数， 在 ， 0］上是减函数 增函数 增函数 在 上是减函数，在 ，0 ）上 是减函数 定点 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得，所以，； 故选：B. 【技巧归纳】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【例2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数的图像经过点，则 . 【答案】 【详解】依题意，设，由，得，解得，即， 所以；故答案为： 【技巧归纳】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得. 【例3】（24-25高一上·上海金山·期末）已知点在某一个幂函数的图像上， 求幂函数的表达式为 . 【答案】 【详解】点在幂函数的图像上，，解得， 的表达式为；故答案为：. 【技巧归纳】根据幂函数的表达式即可求解. 【例4】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若幂函数的图像经过点，则 【答案】/ 【详解】将代入，可得，解得；故答案为：. 【技巧归纳】将已知点坐标代入函数解析式，结合指数式的运算，可得答案. 【例5】（24-25高一上·上海松江·期末）已知幂函数 在 上是严格减函数，则实数 【答案】1 【详解】由幂函数 在 上是严格减函数， 得，解得，所以实数；故答案为：1. 【技巧归纳】利用幂函数的定义及单调性，列式求解即得. 【例6】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图象过原点，则 ． 【答案】 【详解】因为幂函数的图象过原点，则，解得；故答案为：. 【技巧归纳】利用幂函数的定义和性质可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【例7】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项， 形如（为常数），是幂函数，所以D正确；故选：D. 【技巧归纳】根据幂函数的定义即可得解. 【例8】已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】由题得：点，，，所以，，分别代入，， 因为，，；所以；故选：C. 【技巧归纳】根据三等分关系求出坐标，，即可求出对应幂函数得解析式， 解出的值. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海金山·期中）函数是幂函数，则 . 【答案】1【分析】利用幂函数的定义解题即可. 【详解】根据幂函数的定义可知：，解得或， 当时，无意义，舍去，所以：；故答案为：1. 【练习2】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）若函数是幂函数，则= ． 【答案】2【分析】由幂函数的定义可得，进而求函数值即可. 【详解】由是幂函数，则，，所以，； 故答案为：2. 【练习3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）幂指数为整数的幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的取值集合为 . 【答案】【分析】由于幂函数的图像与x轴、y轴均无公共点，所以，幂函数的图像关于y轴成轴对称，所以为偶数.分析求解即可. 【详解】由于幂函数的图像与x轴、y轴均无公共点，所以， 幂函数的图像关于y轴成轴对称，所以为偶数， 令，方程有解，则，则，故，则，，或， 当时，或，当时，或， 当时，，故m的取值集合为；故答案为：. 【练习4】函数的定义域为 ． 【答案】【分析】将函数解析式化为根式形式，根据解析式有意义可得. 【详解】因为有意义，所以；故答案为： 【练习5】若有意义，则实数的取值范围是 【答案】【解析】直接根据负数不能开偶次方根求解. 【详解】若有意义，则，解得所以实数的取值范围是， 故答案为：. 【练习6】下列四个幂函数：①；②；③；④的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号） 【答案】②③【分析】根据幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于①，，则其值域为；对于②，，则其值域为； 对于③，，则其值域为，对于④，，则其值域为. 综上符合题意的是②③；故答案为：②③. 【练习7】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是；故选：B. 【练习8】下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为，的定义域 和值域均为，故A错误；对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误；对于C，的定义域为，其值域为，的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为，的定义域和值域均为，故D错误；故选：C. 知识点02 幂函数的应用 1.幂函数性质的应用：利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用. 2.幂函数解析式为（α为常数），先求其定义域（如α负整数时，α分数且分母偶时）； 再分类分析指数： ①α>0（正指数）；②α<0（负指数）；③α为分数或整数时结合奇偶性，为判断单调性铺垫. 3.α>0时：定义域R且α奇时，在R上递增；α偶时，在递增； α<0时：在递减；若α奇，在也递减（注意区间不合并）； 用区间表示单调区间，标注增减性，确保贴合定义域与指数特征. 4. 明确不等式对应的幂函数（α已知），先求其定义域（如α=-1时）； 再根据α判断单调性：α>0时，在递增，若α奇则在R上递增； α<0时，在递减，若α奇则在也递减. 5. 根据单调性转化不等式：递增时，（需同属单调区间且满足定义域）；递减时 等价于，解转化后的不等式，结合定义域剔除无效解，最终用集合/区间表示解集，验证边界值. 【经典例题】 【例9】（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意,当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为；故答案为:. 【易错提醒】根据幂函数的性质一一验证即可. .【例10】（21-22高一上·上海浦东新·期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】由题设，又a为奇数且，则， 当时，，，则不满足题设； 当时，成立；当时，不等式等价于， 若时， ，即与题设矛盾； 若时，，满足；综上，不等式解集为或； 故答案为：或. 【易错提醒】讨论、、分别求对应解集，最后取并即得结果. 【例11】若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为 . 【答案】3【详解】设，，则不等式变为， 若，则， 若，则， 即，，作出的图象，实线部分即为， 要想保证，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，解得：. 故答案为：3. 【易错提醒】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值. 【例12】（24-25高一上·上海闵行·期末）对任意的，幂函数的图象一定不经过第 象限 【答案】四 【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限，若，则，此时幂 函数经过第三象限，当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限，故图象一定不经过第四象限； 故答案为：四. 【易错提醒】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限. 【例13】（24-25高一上·上海·期中）对任意的，，函数和的图象的公共点个数 可能是 ． 【答案】1或2或3 【详解】函数的图象过原点，在第一、三象限，且图象关于原点对称， 任意的，，函数是幂函数，由幂函数图象都过点， 得函数的图象与的图象在第一象限有1个公共点， 当是0或负偶数时，的图象关于轴对称，不过原点，因此它们只在第一象限有1个公共点； 当是正偶数时，的图象关于轴对称，过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是负奇数时，的图象关于原点对称，不过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是正奇数时，的图象关于原点对称，过原点，因此它们的图象有3个公共点， 所以公共点个数可能是1或2或3；故答案为：1或2或3. 【易错提醒】利用幂函数的图象特征分类判断即可得解. 【例14】（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点， 则 ． 【答案】. 【详解】由幂函数，故有，则 解得，或，当时，与坐标轴有交点不合题意. 所以，，满足条件，；故答案为：． 【易错提醒】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可． 【例15】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解关于的不等式：． 【答案】 【详解】因为，所以，画出，的图象如图， ，由图知解集为. 【易错提醒】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解. 【例16】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由，可得：，且， 对平方可得：，解得：，又， 所以实数的取值范围是，故答案为：. 【易错提醒】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解. 【对点练习】 【练习9】若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ． （填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【答案】y轴成轴对称【详解】设，依题意可得，解得，所以， 设为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点也在的图象上， 所以其图像关于y轴成轴对称；故答案为：y轴成轴对称. 【易错提醒】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【练习10】如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的 一个表达式： ． 【答案】（答案不唯一）【分析】由幂函数的定义以及图象与性质即可直接得到答案. 【详解】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 【练习11】已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是 严格减函数；则取值的集合是 ． 【答案】【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为，幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以；故答案为：. 【练习12】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系， 的大小 （填、或符号） 【答案】【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断. 【详解】由，，且，又函数在上单调递增，所以，即，故答案为：. 【练习13】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于，所以， 即，即且， 故实数a的取值范围是，故答案为：. 【练习14】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数在上y随x增大而减小，且图象关于y轴对称，则 ． 【答案】【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值. 【详解】因为函数在上y随x增大而减小，所以，则或， 当时，为偶函数，符合题意；当时，为奇函数，不符合题意. 综上所述，；故答案为：. 【练习15】（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点，故答案为： 【练习16】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称， 且在区间上是严格增函数．(1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于原点 对称进行求值；（2）利用（1）中得出的函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得，又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意；综上所述，； （2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数，则由得， 即，所以满足的实数的取值范围为. 1.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的表达式为 ． 【答案】【分析】设出所求幂函数表达式，将点代入求得的值即可求解. 【详解】设所求为，由题意，解得， 所以此幂函数的表达式为；故答案为：. 2.若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意；故答案为：1 3.若要使有意义，则取值范围是 . 【答案】【分析】由题可得，由即得. 【详解】∵，要使有意义，则，即， ∴；故答案为：. 4.（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减， 则 .【答案】【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以.故答案为：. 5.（24-25高一上·上海·期末）已知幂函数在上是严格减函数， 则 . 【答案】【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由题意，可得，解得；故答案为：. 6.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，满足任意，，， 都有，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，满足任意，，，都有， 所以在上单调递增，所以，解得， 所以的取值范围是；故答案为：. 7.（24-25高一上·上海·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】【分析】由的单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为在上单调递增，， 所以，解得；故答案为：. 8.（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 【答案】【分析】由幂函数单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 故，可得：，解得：；故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是幂函数， 且在上单调递减，则实数 ． 【答案】【分析】根据幂函数的定义可得，运算求解，并结合单调性检验即可. 【详解】因为函数是幂函数，则，即，解得或， 若，则在上单调递减，符合题意； 若，则在上单调递增，不符合题意；综上所述：；故答案为：. 10．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域．【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为；③的定义域为； ④的定义域为；⑤的定义域为； ⑥的定义域为；故定义域为的有①③⑥，共3个，故答案为：3． 11．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取 这四个值，则与曲线相应的依次为 . 【答案】【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，突函数在上单调递减，当时，幂函数在上单调递增， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大 故与曲线相应的依次为.故答案为： 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称， 且与x轴及y轴均无交点，则k的值为 ．【答案】1或3或5 【分析】由题意，令求出k的范围，再根据，以及幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，由此求出k的值． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点， 满足题意；当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称， 不满足题意；当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；当k＝4时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，不关于原点对称，不满足题意；当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；综上，k的值为1或3或5；故答案为：1或3或5． 13.（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【详解】由，函数的定义域为，排除BC，因为，所以函数的图象 呈现下凸的趋势，排除D；故选：A. 14.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在第一象限内单递减，当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以，当时，幂函数在第一象限内单调递增，所以， 所以相应曲线的依次为；故选：A. 15.（24-25高一上·上海·期中）在区间上是严格增函数，且图象关于轴成轴对称的幂函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据一般幂函数的性质判断各项是否符合题设. 【详解】对于幂函数，在时函数在上是严格增函数，D不符； 又的定义域不关于原点对称，是奇函数，A、B不符； 由的定义域为R，且为偶函数，C符合；故选：C. 16．（24-25高一上·上海杨浦·期中）命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同， 则命题m是命题n的（    ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也非必要 【答案】B【分析】利用常见的幂函数和可说明不充分，再说明必要性即可. 【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点，自然也满足有三个公共点 （这是一种特殊情况包含在其中），所以；反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以； 综上所述，命题是命题的必要不充分条件；故选：B. 17.（22-23高一上·上海青浦·期末）已知幂函数，写出函数定义域，对称性，单调区间，值域， 并做出大致图像． 【答案】答案见解析．【分析】描点法作出函数图象，根据图象得出函数的性质． 【详解】列表： 0 1 2 3 2.08 1.59 1 0 1 1.59 2.08 描点，用光滑曲线连接各点，得函数图象，如图， 函数定义域是R，函数图象关于轴对称，增区间是，减区间是，值域是． 18.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的表达式为是幂函数， 且当时，函数是严格增函数，求的解析式． 【答案】【分析】由幂函数的定义和性质求解即可． 【详解】由已知可得，所以或， 当时，函数，当时，函数不是严格增函数， 当时，函数，当时，函数是严格增函数，所以． 19.已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数，∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的，，∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即，，∴a＝0，b＝1． 20.（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像；(2)命题m：两个幂函数有三个公共点， 命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由； (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【答案】(1)证明见解析；(2)必要非充分条件，理由见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）对于幂函数，根据幂函数的定义和性质来分析其在第一象限的图像情况. （2）要判断命题是命题的什么条件，需要根据幂函数的性质以及公共点的情况进行分析. （3）证明幂函数除原点外与坐标轴无交点，要考虑幂函数的表达式以及坐标轴上点的坐标特点. 【详解】（1）对于幂函数，当时，无论取何值（），都有意义. 例如当时，， 当时，，当时，等，在时都有对应的值.所以幂函数在第一象限内一定有图像. （2）若两个幂函数相同，设这两个幂函数为和，它们的图像完全重合，有无数个公共点， 当然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以. 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上，命题是命题的必要不充分条件. （3）对于幂函数，当时，，当时，； 当时，无意义（除时，但），所以幂函数图像过原点. 对于轴上除原点外的点，即且， 对于幂函数，当时，除（且）外，要么为要么无意义， 所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 对于轴上的点，令，当时，若，无解； 若，；若，无解，所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 21.（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，，幂函数在区间上 是严格增函数．(1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，求实数的范围；(3)若， 关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，结合题意，列不等式求解即可； （2）解不等式，根据不等式的解集中有且仅有个整数，得出这个整数，由此列不等式求出的取值范围； （3）由题意列方程，求出和，判断、与、的大小，计算的值 即可． 【详解】（1）由题意知，，即，解得， 又因为，所以，所以； （2）不等式为，即；所以， 解得，所以不等式的解集为，其中； 因为不等式的解集中有且仅有个整数，则这个整数分别为2，3，4，5，6； 所以，即，解得；所以的取值范围是； （3）由题意知，方程为，所以，即； 由根与系数的关系知，，； 解方程，得； 因为，且，所以，； 因为，所以， 因为， 所以，所以． 22．已知幂函数．(1)求函数的解析式； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为， 若存在，求出实数m的值． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用幂函数的概念可求得，进而可求得的解析式；（2）结合（1）中结论， 利用换元法得到，，从而将问题转化为是否存在实数使得， 利用二次函数轴动区间定分类讨论求得，进而可算出并验证实数是否满足题意. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或（舍去），所以； （2）假设存在实数使得的最小值为，即， 由（1）得， 令，则因为，所以，则，即，此时， 所以可化为，此时，即， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故， 所以由得，即，不满足题意，舍去； 当，即时，易知， 由得或（舍去），故； 当，即时，在上单调递减，故， 由得，不满足题意，舍去； 综上：存在使得的最小值为，故. 23．设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为， 则称为“A佳”函数.已知幂函数在上是单调增函数. (1)求函数的解析式； (2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由； (3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)是“A佳”函数，区间为；(3). 【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；（2）求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可； （3），则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得， 利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围． 【详解】（1）因为幂函数在上是单调增函数， 所以，解得，所以函数的解析式为． （2）由（1）知，，函数的定义域为， 又，所以函数的值域为，若存在，使得在上的值域为， 故函数为“A佳”函数，因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 有，解得或，或，而，故“A佳”函数的区间为； （3），，则在上单调递减， 因为是“A佳”函数，所以，令，，则，， 所以，有，即，因为，所以，所以， 得，所以，代入， 得，因为，所以，得， 令，，所以，又该函数在上单调递减， 所以，所以实数的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $