专题08 《不等式》复习-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题08 《不等式》复习 考点剖析 3 题型一 比较大小 3 题型二 利用不等式的性质求取值范围 3 题型三 解一元二次不等式 3 题型四 利用基本不等式证明不等式 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 5 D组 拓展延伸 7 一、知识梳理 （一）基本内容 1. 不等式的性质：（1）对称性： （2）传递性： （3）加法法则：； （4）乘法法则：；； （5）倒数法则： （6）乘方法则： （7）开方法则： 2. 应用不等式的性质比较两个实数的大小——作差法 3. 一元二次不等式及其解法：的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，， 则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 的图象 一元二次方程 的解集 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 4. 分式不等式和绝对值不等式的解法 （1）分式不等式可以转化为整式不等式，同样接下来第一步把最高次项的系数化为正数，对于转化的方法有两种：一种是转化为不等式组或；一种是转化为. 【注】对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解. （2）绝对值的不等式有两种常见的解法：一种是根据绝对值的意义作分类讨论，即；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，去掉绝对值号后再求解. 5. 平均值不等式： （1）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【积定和最小】 （2）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【和定积最大】 6. 三角不等式：，当且仅当时等号成立 （二）应注意的问题 1. 应用不等式的性质时，要注意性质成立的条件； 2. 解一元二次不等式，要和一元二次方程以及二次函数结合； 3. 平均值不等式成立的条件是：“一正二定三相等”. 考点剖析 题型一 比较大小 例1．（1） ； （2） ； （3） ； （4） ，； （5） 题型二 利用不等式的性质求取值范围 例2．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 例3．已知函数，满足，，那么的取值范围是 题型三 解一元二次不等式 例4．解不等式：（1） （2） 例5．已知关于的方程两个相异实根，求实数的取值范围. 题型四 利用基本不等式证明不等式 例6．求证. 例7．（1）若，且，求：I. 的最小值；II. 的最小值. （2）求的最小值. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海·开学考试）对于实数，，，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 5．（23-24高一上·上海·期末）函数，的最小值是 . 6．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，则的最小值是 . 8．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知a、，且，则ab的最大值是 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高一上·上海闵行·期末）若，则的最小值为 . 10．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 12．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高一上·上海·期末）已知、、，则“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 14．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 15．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 16．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 17．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 18．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海杨浦·期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·上海·期中）已知a、b均为正实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 22．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 23．（23-24高一下·上海·开学考试）对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 24．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 25．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 26．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，关于的不等式的解集为，则= .(用表示) 27．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 28．（23-24高一上·上海·期中）已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 29．（22-23高一上·上海奉贤·期末）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 30．（23-24高一上·上海·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】31．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 32．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 33．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 34．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 35．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 《不等式》复习 考点剖析 3 题型一 比较大小 3 题型二 利用不等式的性质求取值范围 3 题型三 解一元二次不等式 3 题型四 利用基本不等式证明不等式 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 6 C组 综合训练 10 D组 拓展延伸 17 一、知识梳理 （一）基本内容 1. 不等式的性质：（1）对称性： （2）传递性： （3）加法法则：； （4）乘法法则：；； （5）倒数法则： （6）乘方法则： （7）开方法则： 2. 应用不等式的性质比较两个实数的大小——作差法 3. 一元二次不等式及其解法：的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，， 则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 的图象 一元二次方程 的解集 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 的解集 4. 分式不等式和绝对值不等式的解法 （1）分式不等式可以转化为整式不等式，同样接下来第一步把最高次项的系数化为正数，对于转化的方法有两种：一种是转化为不等式组或；一种是转化为. 【注】对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解. （2）绝对值的不等式有两种常见的解法：一种是根据绝对值的意义作分类讨论，即；二是当不等式的两边都为非负时，两边平方，去掉绝对值号后再求解. 5. 平均值不等式： （1）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【积定和最小】 （2）对任意正数和，有，当且仅当时等号成立【和定积最大】 6. 三角不等式：，当且仅当时等号成立 （二）应注意的问题 1. 应用不等式的性质时，要注意性质成立的条件； 2. 解一元二次不等式，要和一元二次方程以及二次函数结合； 3. 平均值不等式成立的条件是：“一正二定三相等”. 考点剖析 题型一 比较大小 例1．（1） ；< （2） ；< （3） ；< （4） ，；> （5） > 题型二 利用不等式的性质求取值范围 例2．如果，则 （1）的取值范围是 ； （2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 例3．已知函数，满足，，那么的取值范围是 . 【答案】 【提示】待定系数法，设 题型三 解一元二次不等式 例4．解不等式：（1） （2） 【答案】（1） （2） 例5．已知关于的方程两个相异实根，求实数的取值范围. 【答案】 题型四 利用基本不等式证明不等式 例6．求证. 【提示】作差法， 例7．（1）若，且，求：I. 的最小值；II. 的最小值. 【答案】I. 64；II. 18 （2）求的最小值. 【答案】32 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一下·上海·开学考试）对于实数，，，“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用不等式的性质及充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】显然时，则，满足充分性， 而当时，若，则不成立，不满足必要性. 故选：A 2．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知,则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等关系的运算法则可判断充分性，根据特值法可判断必要性. 【详解】根据不等关系的运算法则,知当时,，所以充分性成立； 当时,,但不满足，所以必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为， 当且仅当，即，即时取得等号， 故选:D. 4．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】或. 【分析】将其等价转化为一元二次不等式，再解得即可. 【详解】不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 5．（23-24高一上·上海·期末）函数，的最小值是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又，所以的最小值是. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将原式化为，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号， 在时，最小值为. 故答案为：. 8．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）已知a、，且，则ab的最大值是 . 【答案】/0.25 【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值. 【详解】因为实数满足， 所以由基本不等式可得： 所以，当且仅当，即或时等号成立， 即的最大值为. 故答案为：. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高一上·上海闵行·期末）若，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，其中，则， 当且仅当或时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，，解得，解集不是非空， 则当不等式的解集为空时，， 则解集非空时实数的取值范围是， 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海·期末）已知、、，则“”是“”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、、，当时，则，即“”“”， 若，则，由不等式的基本性质可得，即“”“”， 因此，“”是“”的必要非充分条件. 故选：C. 14．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A，由，则，故，即，故A错误； 对B，由A得，故，故B正确； 对C，由，则，，则，，故，故C错误； 对D，由A得，故，故D错误. 故选：B. 15．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知当时，符合题意； 当时，则 则实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【分析】先得到，根据得到答案. 【详解】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 17．（21-22高一上·上海嘉定·期末）已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则= . 【答案】 【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值. 【详解】由题设，且， 而，，则. 故答案为： 18．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）利用作差法，结合完全平方公式，可得答案； （2）由题意，整理等式可得和的定值，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）因为， 当且仅当时，等号成立，所以. （2）由题意可得：，即， ，当且仅当，等号成立， 所以、的几何平均值的最大值为. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高一上·上海杨浦·期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质进行判断. 【详解】因为所以，所以，所以，故A不正确. 因为所以，故B不正确. 因为所以，所以，故C不正确. 因为所以，即，故D正确. 故选：D 20．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由基本不等式有，，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出、的值，从而可求出的值． 【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立． 所以， 其中第一个不等式的等号当且仅当时成立，第二个不等式的等号当且仅当时成立． 所以当取最小值时，有，即． 所以． 故选：D 21．（23-24高一上·上海·期中）已知a、b均为正实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】利用基本不等式证得，从而推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当时，，此时，即充分性成立； 当时，取，此时，即必要性不成立； 综上，“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 22．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题可得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，列出相应不等式，找到关于的范围，再根据韦达定理解出的值，计算即可. 【详解】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 23．（23-24高一下·上海·开学考试）对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解. 【详解】恒成立，恒成立， 令且， ，且恒成立， ， ， 又表示点到的距离， 表示点到的距离，， 即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于， 当最小时，即且， 此时， 又，可取， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 24．（23-24高一下·上海·开学考试）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题转化为：的解集是的解集的真子集，可解决此题． 【详解】由解得， 由解得， 根据题意得：是的真子集， （等号不同时成立），解得：． 故答案为：． 25．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 【答案】0 【分析】分，和三种情况求出满足成立时的取值范围，再时均有成立确定的值． 【详解】当时，显然成立，此时； 当时，由成立，得成立， ，， 当时，由成立，得成立， ，， 时均有，． 故答案为：0． 26．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，关于的不等式的解集为，则= .(用表示) 【答案】 【分析】由条件，可知，3是一元二次方程的两个解，利用韦达定理列方程组求出，再求出． 【详解】因为，关于的不等式的解集为， 所以且，3是一元二次方程的两个根， 由韦达定理得到，即，所以， 故答案为：. 27．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于，借助基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 28．（23-24高一上·上海·期中）已知，. (1)若，解关于的不等式组； (2)若对任意，都有或成立，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得； （2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得； （3）在（2）的条件下问题转化为在上有解，结合（2）中m的范围即得． 【详解】（1）（1），，则或， ，则， 所以不等式组的解集为：； （2）因为当时，，所以当时，恒成立， 当时，，的解为，不能满足时，恒成立， 当时，不满足题意， 当时，由得，化为， 若时，，不等式的解为或，因为，所以满足题意， 若时，，不等式的解为或， 因此，，因此， 综上，的取值范围是． （3）时，，因此存在使得， 又， 因此在上有解，由于， 所以，解得， 综上，． 【点睛】本题第二问解题关键是将所求转化为在上恒成立，然后对m进行分类讨论，结合含参一元二次不等式的解法可得答案. 29．（22-23高一上·上海奉贤·期末）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）．设矩形绿地的南北侧边长为x米．    (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到0.1m）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知得出人行道的占地面积为.进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案； （2）根据基本不等式求解，即可得出的最小值. 【详解】（1）由已知可得，矩形绿地的东西侧边长为米， 则人行道的占地面积为. 由已知可得，， 整理可得，，解得. （2）由（1）知，人行道的占地面积为， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，矩形绿地的南北侧边长为时，人行道的占地面积最小． 30．（23-24高一上·上海·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)，当时，等号成立 (3)的最小值为， 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合,即可求解； （3）令,得到,结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：若正实数满足,则， 所以,当且仅当且, 即时，取等号,所以的最小值. （2）解：若正实数满足,且， 由 因为,当且仅当时取等号,所以 ，所以. （3）解：若, 令,则, 所以, 当且仅当即时取等号, 又因为,解得,即,所以. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 31．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】 利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A选项. 【详解】对于C，由， 整理得，，可以看作关于的一元二次方程， 所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式， 所以，解得， 当时，，， 所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由， 即， 即， 令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 所以 即，即， 所以， 即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确； 由，即， 所以，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 对于A，取，，， 则， 而， 又， 而， 所以，故A错误. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题. 32．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 (3)答案见详解 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 33．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． (1)求实数，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为. （3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为. 【详解】（1）由可知关于对称，又， 所以函数在上单调递增，可得，即， 解得，. （2）由（1）可知，则不等式， 可化为，所以， 即，令，又，可得， 即，显然函数，为对称轴， 所以在上单调递增， 由题意得，即可， 所以，所以的取值范围为. （3），所以， 即为，可化为： ，令，即 ，所以关于的方程 有四个不同的实数解等价于有两个不相等的 正实数根，，满足，， 解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围. 34．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，且，求的最小值； （2）已知正实数满足，求的最小值； （3）已知实数满足，求的最大值. 【答案】（1）16；（2）18；（3） 【分析】应用基本不等式即可. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时，上式取等号． 故当时，. （2），， 当且仅当时，等号成立，∴的最小值为18. （3）因为， 所以，即， 当且仅当，且，即时，等号成立， ∴的最大值为. 35．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$