专题07 基本不等式及其应用-【暑假自学课】2024年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题07 基本不等式及其应用 考点剖析 2 （一）平均值不等式及其应用 2 （二）三角不等式 4 过关检测 4 A组 双基过关 5 B组 巩固提高 7 C组 综合训练 10 D组 拓展延伸 15 （一）知识回顾 1. 分式不等式的解法； 2. 一元二次不等式的解法； 3. 绝对值不等式的解法. （二）引入 1. 给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？ 2. 如果长度为16，围成的的矩形中，何时面积最大？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★ 参考时间：15 min】 （一）平均值不等式及其应用 1. 常用不等式 对任意实数和，有，当且仅当时等号成立. 证明： 2. 平均值不等式 对任意正数和，有，当且仅当时等号成立. 证明： 当且仅当时， 综上，对任意正数和，有. 【注】①我们称为正数和的算术平均值，称为正数和的几何平均值，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值. ②和成立的条件是不同的：前者只要求和都是实数，而后者要求和都是正数. ③ “当且仅当”的含义是充要条件. ④ 平均值不等式的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为的线段为直径作圆，在直径上取点，使，，过点作垂直于直径的弦，那么，即，这个圆的半径为，显然，即 ，当且仅当点与圆心重合，即时取等. （二）三角不等式 根据三角形中两边之和大于第三边的事实，我们可以类比得到下面的不等式： 定理 两个实数的绝对值的和大于等于他们和的绝对值，即对任意的实数、，有 ， 当且仅当时等号成立. 证明：因为等价于， 即，也即， 所以三角不等式成立，当且仅当时等号成立. 考点剖析 （一）平均值不等式及其应用 例1. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 【答案】，，，当且仅当时等号成立 例2. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 【答案】，，，，当且仅当，即时等号成立 例3. 设，求二次函数的最大值. 【解析】由不等式，推得 于是，当且仅当，即时，取得最大值4. 例4. 设、为正数，且，比较的值与的大小. 【解析】， 当且仅当且，即且时，才有；而在其他情形，均有. 例5. 证明： （1）在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； （2）在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小. 证明：（1）设矩形的周长为常数（），其长、宽分别为、（，），则. 此矩形的面积为. 由平均值不等式，有 当且仅当，即矩形为正方形时，面积取得最大值. （2）设矩形的面积为常数（），其长、宽分别为、（，），则. 此矩形的周长为. 由平均值不等式，有， 所以，，当且仅当，即矩形为正方形时，周长取得最小值. 例6. 某新建居民小区欲建一面积为700的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3，短边外人行道宽4. 如图所示，问如何设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小. 【答案】长，宽 【解析】设矩形绿地的长为，则其宽为， 人行道的占地面积为. 则 当且仅当，即时，取最小值，此时 所以，设计绿地的长，宽时，人行道的占地面积最小. （二）三角不等式 例7. 已知、为实数，求证：. 【解析】证明：因为， 由三角不等式，有， 所以. 例8. 已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 【解析】证明：等价于， 由三角不等式，有， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 例9. 证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的取值范围. 【解析】证明：因为，由三角不等式，有 ， 所以，当且仅当，即时等号成立. 因此，对所有实数恒成立，且当且仅当时等号成立. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过基本不等式可得，进而可得结论． 【详解】，且， ， 当且仅当即时等号成立， 则有，即的上确界. 故选：B． 2．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则， 故答案为： 3．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知，且，若不等式对任意恒成立，则实数k的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值三角不等式即可求解. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此若不等式对任意恒成立， 则，故最大值为2． 故答案为：2 4．（22-23高一上·上海黄浦·期中）若对一切恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求不等式左侧的最小值，根据恒成立即可得参数范围. 【详解】由，要使对一切恒成立， 所以. 故答案为： 5．（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据三角不等式求出最小值即可得解. 【详解】根据三角不等式， 所以恒成立，只需， 所以或 解得. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3 7．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 8．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 9．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为 ． 【答案】/ 【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，得到答案. 【详解】，令得， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 则的解集为， 要想集合N中的元素个数最少，则取最小值， 此时解集为，此时. 故答案为： 10．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【详解】因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为： 11．（23-24高一上·上海奉贤·期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 可知与的几何平均值为，当且仅当时等号成立， 所以与的几何平均值最大值为1. 故答案为：1. 12．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据重要不等式，当且仅当时等号成立，得到，当且仅当时等号成立，代入即可求得函数的最大值. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最大值为4. 故答案为：4 13．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 【答案】 【分析】根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果. 【详解】因为， 则， 且，则，可得，解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． 【答案】3 【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【详解】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 18．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知，，， 则， 当且仅当时，结合，即时等号成立， 故当时，. 故选：B. 19．（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等关系可得的最小值，即可根据有解转化成最值问题即可求解. 【详解】由于， 当时等号成立， 所以 故要使不等式在R上有解， 只需要，即. 故答案为：. 20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先将题目等价转换为恒成立，利用三角不等式求不等号左边最小值，由此即可得解. 【详解】由题意函数，若函数的图像恒在函数图像的上方， 所以恒成立，即恒成立，即恒成立， 故只需即可， 而由三角不等式可得，等号成立当且仅当， 即，所以m的取值范围为. 故答案为：. 21．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 22．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【分析】根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得，，，，利用图形中线段的大小关系即可得出结论. 【详解】由题意利用三角形相似可得，即得， 易知，又，所以由可得；即①正确； 在中，易知，所以可得， 由三角形相似可得，所以， 由可得，即②正确； 易知， 利用勾股定理可得， 所以由，即可以得，即③正确； 故答案为：①②③ 23．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于直角坐标平面上的两个点，记． (1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合； (2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合． 【答案】(1) (2)最小值为3，集合为且 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，分类讨论，即可求解； （2）根据题意，得到，结合绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）点在函数图像上，则， 则， 因为，即， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得，此时解集为空集； 当时，不等式可化为，解得， 综上可得，不等式的解集为； （2）若，点是直角坐标平面上的任意一点， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时的最小值为，此时点的集合为且. 25．（23-24高一上·上海·期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围． 【答案】(1)；(2)，证明见解析. 【分析】（1）分，，三种情况去绝对值符号，求解即可； （2）利用绝对值三角不等式即可得出结果. 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得，此时无解. 综上，不等式的解集为； （2）证明：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 对所有实数x恒成立，且等号成立时的x的取值范围为. 26．（23-24高一上·上海·期中）已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）解： . 因为，，则. 当时，，此时，； 当时，，此时，. 综上所述，当时，；当时，. （2）解：因为，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 28．（21-22高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式可得，即，，利用中与有公共点，讨论或、研究m的范围即可. 【详解】，当时等号成立， ，当时等号成立， 所以，而， 故，此时，， 令中，与所表示的区域有公共点， 当或时，而，故满足； 当时，由得：，而， 若时，此时，故； 若时，此时，故； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得确定x、y的范围，再将问题转化为中与有公共点求m的范围即可. 29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)时，取得最小值． 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题． 30．（23-24高一上·上海·期中）设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离． (1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？ (2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)1，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案. （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案. （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【详解】（1）因为，故， 由曼哈顿距离不大于3可得，即， 则，解得，故的取值范围是. （2）因为，故， 由题意可得:恒成立， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， ，则或，解得或. 故的取值范围是或. （3）点在函数图象上且，点的坐标为， 故，， 当时，，函数在上单调递增， 故， 当时，； 令，由于，故， ，， 故，即此时最小值为1，此时时取到. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号， 综合以上可知，的最小值为1. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 基本不等式及其应用 考点剖析 2 （一）平均值不等式及其应用 3 （二）三角不等式 3 过关检测 4 A组 双基过关 4 B组 巩固提高 4 C组 综合训练 5 D组 拓展延伸 6 （一）知识回顾 1. 分式不等式的解法； 2. 一元二次不等式的解法； 3. 绝对值不等式的解法. （二）引入 1. 给一根长度给定的铁丝，围成的各种封闭图形中，何时面积最大？ 2. 如果长度为16，围成的的矩形中，何时面积最大？ 二、知识梳理 【难度系数：★★★ 参考时间：15 min】 （一）平均值不等式及其应用 1. 常用不等式 对任意实数和，有，当且仅当时等号成立. 证明： 2. 平均值不等式 对任意正数和，有，当且仅当时等号成立. 证明： 当且仅当时， 综上，对任意正数和，有. 【注】①我们称为正数和的算术平均值，称为正数和的几何平均值，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值. ②和成立的条件是不同的：前者只要求和都是实数，而后者要求和都是正数. ③ “当且仅当”的含义是充要条件. ④ 平均值不等式的几何意义是“半径不小于半弦”. 以长为的线段为直径作圆，在直径上取点，使，，过点作垂直于直径的弦，那么，即，这个圆的半径为，显然，即 ，当且仅当点与圆心重合，即时取等. （二）三角不等式 根据三角形中两边之和大于第三边的事实，我们可以类比得到下面的不等式： 定理 两个实数的绝对值的和大于等于他们和的绝对值，即对任意的实数、，有 ， 当且仅当时等号成立. 证明：因为等价于， 即，也即， 所以三角不等式成立，当且仅当时等号成立. 考点剖析 （一）平均值不等式及其应用 例1. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 例2. 已知，求证：，并指出等号成立的条件. 例3. 设，求二次函数的最大值. 例4. 设、为正数，且，比较的值与的大小. 例5. 证明： （1）在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； （2）在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小. 例6. 某新建居民小区欲建一面积为700的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3，短边外人行道宽4. 如图所示，问如何设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小. （二）三角不等式 例7. 已知、为实数，求证：. 例8. 已知为实数，求证：，并指出等号成立的条件. 例9. 证明：对所有实数恒成立，并求等号成立时的取值范围. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 3．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知，且，若不等式对任意恒成立，则实数k的最大值是 ． 4．（22-23高一上·上海黄浦·期中）若对一切恒成立，则实数的取值范围为 . 5．（21-22高一上·上海浦东新·期末）已知问题：“恒成立，求实数的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数的取值范围 ． 6．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 7．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 8．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 9．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为 ． 10．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 11．（23-24高一上·上海奉贤·期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 . 12．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则函数的最大值为 . 13．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 14．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 15．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 16．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是 ． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 17．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 18．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，，若，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 19．（23-24高一下·上海·阶段练习）若关于x的不等式在R上有解，则实数a的取值范围是 ； 20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 21．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 22．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是 .（写出所有正确命题的序号） 23．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 24．（23-24高一上·上海·阶段练习）对于直角坐标平面上的两个点，记． (1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合； (2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合． 25．（23-24高一上·上海·期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围． 26．（23-24高一上·上海·期中）已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】27．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 28．（21-22高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 ． 29．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 30．（23-24高一上·上海·期中）设在二维平面上有两个点，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离．在初中时我们学过的两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离． (1)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么的取值范围是多少？ (2)已知两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$