专题1.1 全等图形与全等三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.1 全等图形与全等三角形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】全等图形的概念与性质 （1）全等图形的概念：能够完全重合的图形叫做全等图形； （2）全等图形的性质：两个图形全等，它们的形状、大小相同. 【要点提示】两个全等图形的周长和面积一定相等，但周长和面积相等的两个图形不一定全等。 【知识点二】全等图形的概念 （1）全等三角形：两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形； （2）全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角； 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【知识点三】找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【知识点四】全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 【要点提示】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【知识点五】全等变换 　 （1）全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变化叫全等变换. （2）几种常见的全等几何变换类型 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】已知图形分割成几个全等图形与全等图形的识别 【例1】（22-23八年级上·湖北荆州·阶段练习）沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．     【变式1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【题型2】利用全等图形的性质求边或角 【例2】如图所示，两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出两个图形中标出的a，b，c，∠α，∠β的值． 【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【变式2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ．    【题型3】全等三角形及相关概念的认识 【例3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【变式1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【题型4】利用全等三角形的性质求线段或角度 【例4】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    （1）当，时，线段的长为________； （2）已知，，求的度数． 【变式1】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，若，则BD的长为 ． 【题型5】利用全等三角形的性质进行证明 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【例2】（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    2、拓展延伸（动点问题、分类讨论思想） 【例1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 全等图形与全等三角形（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】全等图形的概念与性质 （1）全等图形的概念：能够完全重合的图形叫做全等图形； （2）全等图形的性质：两个图形全等，它们的形状、大小相同. 【要点提示】两个全等图形的周长和面积一定相等，但周长和面积相等的两个图形不一定全等。 【知识点二】全等图形的概念 （1）全等三角形：两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形； （2）全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角； 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 【知识点三】找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【知识点四】全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 【要点提示】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 【知识点五】全等变换 　 （1）全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变化叫全等变换. （2）几种常见的全等几何变换类型 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】已知图形分割成几个全等图形与全等图形的识别 【例1】（22-23八年级上·湖北荆州·阶段练习）沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形．     【分析】根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 解：如图所示（任意两种方法，正确即可）：    【点拨】本题考查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【变式1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点拨】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 【变式2】（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点拨】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 【题型2】利用全等图形的性质求边或角 【例2】如图所示，两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出两个图形中标出的a，b，c，∠α，∠β的值． 【答案】a＝3，b＝5.4，c＝7, ∠α＝105°, ∠β＝45° 【分析】全等图形的对应边及对应角均相等，据此进行解答. 解：根据全等多边形的对应角相等有∠α＝105°. 又由四边形的内角和，得第四个角为360°－(120°＋90°＋105°)＝45°， 所以∠β＝45°. 根据全等多边形的对应边相等有a＝3，b＝5.4，c＝7. 【点拨】本题考查了全等图形的性质. 【变式1】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 【变式2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可； 解：∵全等多边形的对应边和对应角相等， ∴，， 又∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：； 【题型3】全等三角形及相关概念的认识 【例3】（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点拨】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 解：∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】15 【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解． 解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． ∴第5个图形中有全等三角形的对数是：． 故答案为：15． 【点拨】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 【题型4】利用全等三角形的性质求线段或角度 【例4】（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    （1）当，时，线段的长为________； （2）已知，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为，即可求解． （1）解：，≌ ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， ． 【变式1】（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 解：∵，， ∴， ∴ ， 故选：B 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，若，则BD的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型5】利用全等三角形的性质进行证明 【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知△，、、在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证． 解：．证明如下： ， ． ， ， ． ， ， ． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，若，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 解：、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，原选项成立，不符合题意； 、∵， ∴，原选项不一定成立，符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由，得到，即可得出； （2）由，得到，即可求解． 解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【例2】（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    【答案】3 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 2、拓展延伸（动点问题、分类讨论思想） 【例1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点、的运动时间为，的运动速度为，则，，，再根据全等三角形的性质分当时，，和当时，，两种情况讨论即可，熟练掌握全等三角形的性质及分类讨论思想是解题的关键． 解：，点为的中点， ， 设点、的运动时间为，的运动速度为，则，， ， ， ， 与全等共有两种情况： 当时，则有，， ，， ， ，故点的运动速度为； 当时，则有，， ，， ， ，故点的运动速度为， 综上所述：点的运动速度为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$