专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·河北张家口·期末）已知二次函数，当时，求函数y的取值范围．嘉琪同学的解答如下： 解： 当时，则； 当时，则； 所以函数y的取值范围为． 判断嘉琪的解答是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 1．（2024·浙江宁波·三模）点，都在二次函数的图象上，若，则下列可能成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线中，满足．下列四个结论： ①若，则当时，都随的增大而减小； ②该抛物线与轴一定有两个交点； ③当时，的最小值为，则； ④点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 3、（2024年北京市第二中学教育集团中考三模数学试题）已知抛物线． (1)求此抛物线的顶点的坐标； (2)若抛物线经过点，求的取值范围． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线经过点，，试比较和的大小： ．（填“>”，“<”或“=”） 3．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，二次函数的图象过点和（其中），结合图象给出下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根和为正；其中正确结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，（）是方程的两根，则方程的两根m，n（）满足且；其中，正确结论是 ． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点且则下列结论：① ，②，③，④，其中正确结论的序号是（　 　）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21九年级上·浙江·期末）如果把函数的图象和函数的图象组成一个图象，并称作图象E，若直线（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ． 3．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由； (3)当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 1．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象经过点，，且该二次函数有最小值为，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是 ． 3．（2024·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像上有两点、，它的对称轴为直线． (1)当该二次函数图像过点时． ①求t的值； ②当，轴，且到x轴距离为2，求a的值； (2)当时，若对于任意，都有成立，直接写出t的取值范围． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】1（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024·江西景德镇·二模）二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为 . 3．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，求b的值； (2)若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 1．（2024九年级·全国·竞赛）对于二次函数，当自变量分别取和时，函数的值相等，那么当自变量的取值为时，其函数值与（    ）． A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 2．（22-23九年级上·四川德阳·期中）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ． 3．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 1．（2024·河北沧州·二模）已知二次函数图象经过点和．则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 3．（2024·广西柳州·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线的解析式； (2)当时，求的值． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度 1．（2024·陕西渭南·二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，且）的对称轴为直线，且与y轴交点的纵坐标为，点P为该抛物线上一点，将该抛物线向下平移4个单位长度，点P在平移后抛物线上的对应点为Q，O为坐标原点，若，则点Q的横坐标为（    ） A．或1 B． C．或3 D．或1 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 3．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 1．（2024·陕西渭南·二模）已知二次函数（a为常数）在时，y的最大值为10，则a的值是（    ） A． B． C．或 D．2或 2．（2024·江苏镇江·二模）已知，，当时，则S的最大值为 ． 3 ．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． (3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 3（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1．已知抛物线（为常数）经过点，当时，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线与x轴的两个交点间的距离大于3 3．若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 6．将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 7．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 9．二次函数的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点坐标为；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论有 （填序号）． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，则t的最大值为 ． 11．已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 12．已知二次函数． (1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： (2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 13．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 14．已知二次函数图象的顶点坐标为． (1)若函数图象经过点，求这个函数的解析式． (2)若，求这个函数的解析式． (3)若a，b，c满足，，求S的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数，若在其图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，则下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义求出，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，可知，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，是二次函数， ， 解得：， 函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口方向向下， ， ，即， 当时，，故不在其图象上，在其图像上， 当时，，当时，，故，在其图象上， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的大小关系为 ． 【答案】# 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定的，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 【详解】解：由抛物线开口方向可知，为正数， 又由开口大小可得，， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点． (1)求出这个函数关系式； (2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积； (3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数关系式为 (2)； (3)存在，此时C点坐标为、、、 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据条件求出，从而求出，即可求解； （3）由题意可得点到的距离是点C到的距离的2倍，即点C的纵坐标为1或者3，把和代入求解即可． 【详解】（1）解;∵二次函数的图像经过点 ∴把点直接代入可得：， ∴二次函数关系式为． （2）解：把代入，解得：或1， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在； ∵的面积等于面积的2倍，且和都有共同的底边， ∴点到的距离是点C到的距离的2倍， ∵到的距离为2， ∴点C到的距离为1 即点C的纵坐标为1或者3， 把代入得：，把代入得：， ∴此时C点坐标为、、、； 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到面积问题，待定系数法求解析式等，灵活运用所学知识是关键． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 1．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 2．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河北张家口·期末）已知二次函数，当时，求函数y的取值范围．嘉琪同学的解答如下： 解： 当时，则； 当时，则； 所以函数y的取值范围为． 判断嘉琪的解答是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】×，见解析 【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当时和当时的函数值，即可解答． 【详解】解：嘉琪的解答不正确．故在方框内打“×”； 正确的解答过程为： 由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，y取得最小值，此时， 当时，y取得最大值，此时， ∴当时，函数y的取值范围为． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数性质，根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可．熟练掌握二次函数性质是关键． 【详解】解：A、抛物线对称轴为，故原说法正确，不符合题意； B、当时，抛物线解析式为，顶点的坐标，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口方向不确定，的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意； D、，，图象的顶点为，故顶点一定在函数的图象上，故原说法正确，不符合题意． 故选：C． 1．（2024·浙江宁波·三模）点，都在二次函数的图象上，若，则下列可能成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，先把点的坐标分别代入解析式得到，，再由得到，则，然后依次对各选项进行判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把，代入中得，，， ∵， ∴， 即，故选项不符合题意； ∵， ∴，， 当时，，， ∴，，故、选项不符合题意； ∵， ∴， 当时，， ∴可能成立，故选项符合题意； 故选：． 23．（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线中，满足．下列四个结论： ①若，则当时，都随的增大而减小； ②该抛物线与轴一定有两个交点； ③当时，的最小值为，则； ④点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值，当时，求出b的值，从而求出抛物线对称轴，根据二次函数的性质即可判断①；根据，从而得出判别式，即可判断②；当y的最小值为时，分三种情况讨论即可得出结论；先根据点都在这个二次函数的图象上，得出b，c与n的关系，再根据在抛物线上，得出t与n的关系，然后根据对称轴是直线得出结论． 【详解】解：①若， ∵ ∴ ∴抛物线为，对称轴为，且开口向上， ∴当时，都随的增大而减小； 故①错误， ②当时，， 则 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴该抛物线与轴一定有两个交点； 故②正确； ③∵抛物线 ∵． ∴ ∴， 对称轴为， 当时，的最小值可能为时，时，时， 当时，， ∴ 则当时，最小值为，矛盾， 当时，， 解得， ∴， 当时，最小值为，矛盾， 当时，最小值为， 此时，，解得或， 当时，，抛物线为， 此时当时，最小值为，矛盾， 当时，，抛物线为， 此时当时，最小值为，符合题意，故③正确， ④∵点都在这个二次函数的图象上， ∴抛物线为的对称轴是直线． ∴. ∴． ∴抛物线为， 又在抛物线上， ∴， ∴， 由题意，，即， 又， ∴， ∴． ∴对称轴是直线． 又，即， ∴，故④正确． 综上，正确的有②③④． 故答案为：②③④ 3、（2024年北京市第二中学教育集团中考三模数学试题）已知抛物线． (1)求此抛物线的顶点的坐标； (2)若抛物线经过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系： （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，分类讨论或，结合图象求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 令， 解得， ∴， ∵， ∴或， 分类讨论： （a）如图，当时， ， 当时，取最小值为， 所以； （b）如图，当时， ， 将代入得， 所以， 综上所述，或． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴，， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 1．（2023·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 2．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线经过点，，试比较和的大小： ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】比较三个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 3．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①直线；②或 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①当时，代入解析式，得出，进而得出解析式，化为顶点式，即可求解； ②令，得出，则抛物线与轴的交点问和，根据题意可得点在轴的上方，根据抛物线开口向上，进而即可求解； （2）将代入，根据，得出，进而得出抛物线的对称轴且，根据可得到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点问和， ∵，，且，， ∴点在轴的上方， ∴或； （2）解：，理由如下， 将代入， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题． 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，二次函数的图象过点和（其中），结合图象给出下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根和为正；其中正确结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数二次函数图象与系数的关系是解题的关键，的图象为一条抛物线，当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与轴的交点坐标为．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ∵二次函数的图象过点和（其中）， ， ， ，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确， ③当时，，故，故③正确； ④当时，，故，故④不正确； ⑤∵， ∴， 由得， ∴ ∴方程的两根和为正，故⑤正确． 故选：C． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，（）是方程的两根，则方程的两根m，n（）满足且；其中，正确结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握，，正负性的判断和函数与直线的交点是解题的关键. 根据题意得出： ，根据，，的正负性可得出①正确；根据得出②错误；根据二次函数对称性，得出③正确；根据二次函数与直线的交点，通过作图得出④正确. 【详解】由题意得：， 故①正确； 即 故②错误； ∵对称轴为直线 ∴关于对称轴的对称点为 且， 故③正确； 由题意得：是抛物线与轴的交点横坐标，是抛物线与直线的交点横坐标， 且 ，故④正确； 故答案为： ①③④. 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点且则下列结论：① ，②，③，④，其中正确结论的序号是（　 　）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系、二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点以及抛物线与x轴的交点个数确定．根据抛物线开口向下得到，由对称轴位置得出，由抛物线与轴的交点在轴的正半轴得出，即可判断①；根据抛物线与的交点个数得出，即可判断②；由得出，代入函数解析式可得即可判断③；设两点的横坐标为、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，故①错误，不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故②错误，不符合题意； 当时，， ，， ， ， ， ，故③正确，符合题意； 设两点的横坐标为、，则，， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④， 故选：D 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：对于二次函数，当时，， ∴与y轴交于， 当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴； 当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， ∴选项C符合题意． 故选：C． 1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 2．（20-21九年级上·浙江·期末）如果把函数的图象和函数的图象组成一个图象，并称作图象E，若直线（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是 ． 【答案】0＜m＜2 【分析】在同一直角坐标系中，画出函数y=x2（x≤2）和函数的图象，根据函数图象即可根据直线y=m与图象E的交点个数得到常数m的取值范围． 【详解】解：在同一直角坐标系中，画出函数y=x2（x≤2）和函数的图象， ∵直线y=m（m为常数）与图象E有三个不同的交点， ∴直线y=m在直线y=2的下方，且在x轴的上方， ∴常数m的取值范围是0＜m＜2， 故答案为：0＜m＜2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数以及二次函数的图象，解决问题的关键是在同一直角坐标系中，画出函数y=x2（x≤2）和函数的图象，依据函数图象进行判断． 3．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由； (3)当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)，理由见解析 (3)m的取值范围为或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）抛物线化成顶点式，即可求出抛物线的对称轴及顶点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可求出答案； （3）分三种情况讨论进行求解即可． 【详解】（1）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线. ∵， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴关于对称轴对称的t的取值范围为， ∴； （3）由直线， 当时，， 当时，，解得 ∴， 分三种情况讨论： ①当抛物线过点B时，可得， 解得或. 当时，抛物线的表达式为， 联立 解得或. ∵， ∴两交点都在线段上． 当时，同理可得或（负值舍去）， ∴； ②当抛物线过点A时，可得， 解得或， ∴＜m≤； ③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时， ∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在． 综上所述，m的取值范围为或 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 1．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象经过点，，且该二次函数有最小值为，则n的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；函数有最小值， 由二次函数的最小值为，可得抛物线对称轴，以及开口方向，再用求差法比较函数值大小，根据抛物线开口向上，离对称越远函数值越大即可确定a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数（a、b、c是常数）， 当时，是该二次函数有最小值， ∴二次函数开口向上，，对称轴为直线， ∵， ∴． ∴， ∴ 故选：B． 2．（2024·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上任意两点．若对于，，总有，求的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2024·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像上有两点、，它的对称轴为直线． (1)当该二次函数图像过点时． ①求t的值； ②当，轴，且到x轴距离为2，求a的值； (2)当时，若对于任意，都有成立，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①3；② (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点二次函数解析式，可得出，再根据即可得出答案； ②根据轴，得到点A与点B关于对称轴对称，即，再根据，到x轴距离为2，可求得点A和点B的坐标，将两坐标代入函数解析式即可求出a的值； （2）根据已知条件和，求得，由，可知A、B两点在x轴的同一侧，因此可得出答案． 【详解】（1）解：①二次函数图像过点， ， ， ； ②轴， 点A与点B关于对称轴对称， 即， 又， ， 到x轴距离为2， ，， 将A、B两点的坐标代入二次函数解析式得： ， 解得； （2）， ， ， ， ， ， 、在x轴的同一侧， 或． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】1（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 图象开口向上，对称轴为直线 ∵对称轴为直线， ∴ ， ∴ ， 当时，函数的最小值是时所对应的函数值， 且为 函数的最大值是时所对应的函数值， ∴， ∴，代入，得 故选：C． 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由对称轴为直线，从而可得，，即可得出，把的坐标代入即可求得的值，表示出的值是解题的关键． 【详解】解：∵点和点均在二次函数图象上， ∴对称轴是直线． ∴． ∵二次函数的顶点在轴上， ∴． ∴． ∴． ∴． 把的坐标代入得，． 故选：D． 2．（2024·江西景德镇·二模）二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为 . 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，二次函数的性质，根据抛物线的对称性找出线段之间的等量关系是解题的关键所在．由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，根据，即可得出结果． 【详解】解：由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点， 二次函数与y轴交于点C， 则当时，， ，在点C右侧作轴，， ， 抛物线的对称轴为：； 故答案为：． 3．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，求b的值； (2)若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标满足其表达式，从而根据不等式求参数的范围． （1）根据点，在抛物线上，且，可求得的值； （2）根据题意，可知点，，在抛物线上，再由，即可求得的范围． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴为． 点，在抛物线上，且， ． ． （2）点，，在抛物线上， ，，． ， ． 即，． ， ， ，， ， ． ， ． 即，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，b的取值范围是． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法等，解题的关键是由题意，得，又抛物线过点，，可知、关于直线对称，所以，，，，把点坐标代入，化简整理即可解决问题． 【详解】解：由题意， ， 又抛物线过点，， 、关于直线对称， ，，，， 把点坐标代入， ， ， ． 故选：B． 1．（2024九年级·全国·竞赛）对于二次函数，当自变量分别取和时，函数的值相等，那么当自变量的取值为时，其函数值与（    ）． A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【答案】A 【分析】此题考查利用二次函数的对称性，可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，根据对称性可知图象上横坐标为的点关于对称轴对称的点的横坐标为0，掌握二次函数的对称性是解决问题． 【详解】解：当自变量取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称， ∴有，则， 图象上横坐标为的点关于对称轴对称的点的横坐标为0． 故选：A． 2．（22-23九年级上·四川德阳·期中）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案． 【详解】 解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接， 则， 令， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 3．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据对称轴运算求解即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可； （3）分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴． （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴， ∵点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴，， ∴当时，， 把代入函数解析式得． （3）∵抛物线的对称轴，， ∴点在对称轴右侧， ①当点在对称轴右侧时， ∵时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴， ②当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为， ∵， ∵，， ∴， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴，则， 综上可知，或． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.求出抛物线的顶点是，得到关于的中心对称点为，，分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点是， 设关于的中心对称点为， 则， 解得， ∴关于的中心对称点为， ∴，且抛物线：与抛物线：开口方向相反，形状相同，即， 当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，有最大值为4，且， ∴当时，，解得， ∴， 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时，而 ∴当时，有最大值，最大值为， 显然，不符合题意， 综上可知，， 故选：C． 1．（2024·河北沧州·二模）已知二次函数图象经过点和．则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，把和代入得关于b，c的方程组，解方程组求出b，c可得抛物线的解析式；求出点关于对称轴的对称点的坐标，再根据已知条件，求出x的取值范围即可． 【详解】解：把和代入 得 ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； ∵， ∴抛物线的对称轴是； 如图： ∵点关于对称轴直线 的对称点坐标为， ∴当时，x的范围是． 故选：D 2．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式； （1）把代入计算即可； （2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可． 【详解】（1）把代入得， 解得， 故答案为：； （2）∵ ∴抛物线对称轴为， ∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧， ∴或， 当时，当时随的增大而增大， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，当时随的增大而减小， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．（2024·广西柳州·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当，时，求抛物线的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）将，代入抛物线解析式待定系数法求解析式，即可求解； （2）方法一：将点，代入抛物线解析式，整理得，，根据对称轴为得出，方法二：当时，点，的纵坐标相等，得出对称轴为得出， 【详解】（1）解：当，时，将， 代入抛物线解析式     解得：    抛物线解 （2）方法一：将点，代入抛物线解析式，      ，整理得，，     抛物线的对称轴为直线；    ，     方法二：当时，点，的纵坐标相等， 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为，    ， 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， ∴平移后的抛物线顶点在轴上， ∴抛物线应向上平移个单位长度， 故选：． 1．（2024·陕西渭南·二模）已知在平面直角坐标系中，抛物线（a、c为常数，且）的对称轴为直线，且与y轴交点的纵坐标为，点P为该抛物线上一点，将该抛物线向下平移4个单位长度，点P在平移后抛物线上的对应点为Q，O为坐标原点，若，则点Q的横坐标为（    ） A．或1 B． C．或3 D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数图象的性质，先根据对称轴计算公式得到，再由与y轴交点的坐标为得到，则抛物线解析式为，设，则，即，根据得到的中点的纵坐标为0，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，则， ∴， ∵与y轴交点的纵坐标为，即与y轴交点的坐标为， ∴， ∴抛物线解析式为， 设，则，即， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴的中点的纵坐标为， ∴， 解得或， 故选：D． 2．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 3．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”． (1)求m，n的值． (2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解题意，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）将配成顶点式为，可知抛物线的顶点坐标为，再根据“相关抛物线”定义即可求解； （2）由（1）可知，由此得抛物线的表达式为，联立抛物线和抛物线，求得抛物线和抛物线与x轴的交点为和，再根据当直线经过点时，当直线与抛物线有一个交点时，求得临界值，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线与抛物线为“相关抛物线”， ∴抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ，， ∴， （2）由（1）可知， ∵抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的表达式为， 联立抛物线和抛物线得：，解得：， ∴抛物线和抛物线与x轴的交点为和， 若直线 与图形M的边界有4个公共点，则直线需在如图所示的两条虚线之间． 当直线经过点时， ，解得：， 当直线与抛物线有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 方程化简为 ， 则， ， 综上，当直线 与图形 M 的边界有 4个公共点时，a的取值范围为 ． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：n的值为或7． 故选：A． 1．（2024·陕西渭南·二模）已知二次函数（a为常数）在时，y的最大值为10，则a的值是（    ） A． B． C．或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，分两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为，解得：或（舍去）； 当时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为，解得：或（舍去）； 综上：或； 故选D． 2．（2024·江苏镇江·二模）已知，，当时，则S的最大值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查二次函数的最值．首先求出的函数解析式，然后由进一步得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴ ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， 当时，函数有最大值，等于， 故答案为：1． 3 ．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数（m是常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． (3)若点是该二次函数图象上的任意一点，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点： （1）将代入解析式，将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）令，求出判别式，进行判断即可； （3）利用二次函数图象的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）令， 则：， 所以无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点． （3）把代入解析式得：， ∴， ∴当时，有最大值为． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】把代入，可判断①，根据于轴交点和对称轴，可确定与轴另一交点，从而确定方程的解，可判断②，把、分别代入，可判断③④，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解， 本题考查了，二次函数与坐标轴交点，根据二次函数图像确定方程的根，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图像性质． 【详解】解：把代入，， 解得：，二次函数解析式为：，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故②正确， 当时，，，故③正确， 当时，，故④正确， 作点关于直线的对称点，如图， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ∵， ∴周长的最小值为，故⑤正确， 综上所述，①②③④⑤正确， 故选：． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 2．（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 3（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求函数解析式的运用． （1）根据方程根的判别式的符号直接判断即可作答； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可得对称轴为：，根据对称轴在y轴的右侧，可得，再代入原点坐标，问题即可得解； （3）当时，，则抛物线的对称轴为：，作点O关于的对称点G，即有，连接交抛物线对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小，利用待定系数法求出直线的解析式为：，当时，，问题随之得解． 【详解】（1）令，可得方程 ∵， ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）， ∴抛物线的对称轴为：， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵该抛物线经过坐标原点， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：3； （3）当时，， ∴抛物线的对称轴为：直线， 作点O关于的对称点G，即有， 连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图，    根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 故答案为：． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点， 由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根， 函数的图象与轴的正半轴有两个交点， 故选：A． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解； （2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：（1）将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立， 可得， 整理可得， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为4． 故答案为：（1）；（2）4． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出，，根据，得到，令，利用二次函数的性质求出当或时，，则当或时，； （2）当时，解得，，根据得到，得到，令，利用二次函数的性质求出当时，，则当时，且满足。 【详解】（1）解：①∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； ②∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴当或时，； （2）解；在中，当时， 解得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当时，， ∴当时，且满足； 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得，即，再结合，进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，等于1 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可； （2）先证明，根据等腰三角形三线合一，得到平分，结合，推出，然后在中利用勾股定理求出的长度，得到的坐标，下一步求出直线的表达式，联立直线与抛物线，得到点的坐标； （3）设点，作轴于M，作轴于N，通过是中位线表示出点的坐标，然后将点代入抛物线，得到的轨迹方程，将的轨迹方程与分别与联立，利用未达定理，得到，的值，最后算出的值． 【详解】（1）将点，代入抛物线， 得到，解得 抛物线的解析式为 （2），， ， 又， 平分 设，则 在中， ，解得， 设直线解析式为，代入点，则，解得 直线解析式为 联立抛物线与直线， 得，（舍）， 点E的横坐标为； （3）为定值，理由如下： 设点，作轴于M，作轴于N，则， 又为中点， 为中位线 ，为中点 ， ， 将点代入抛物线， 化简得， 设，，，的横坐标分别为，，， 则 由得， 由得， 定值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．已知抛物线（为常数）经过点，当时，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点问题，先求出b的大小，令，则有即，此时方程两根为s、t，得到，表示出，得出结果即可． 【详解】解：∵点在抛物线图象上， ， 令，则有即，此时方程两根为s、t， ， ， 解得：， 故选：D． 2．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线与x轴的两个交点间的距离大于3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质并数形结合逐项进行分析即可． 【详解】解：因为抛物线开口向下，所以， 因为与x轴的一个交点A在点和之间，所以抛物线与x轴的另一个交点在和之间，所以， 所以，所以A错误，不符合题意， 因为二次函数的图象与x轴有两个交点，所以，则 ∴B错误，不符合题意； 由顶点坐标及图象知，当时，y随x的增大而减小，所以C正确，符合题意， 因为与x轴的一个交点A在点和之间，所以抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离不大于3，所以D错误，不符合题意， 故选：C． 3．若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 关于直线对称的点为， 又， ，故②正确， 方程的解可看作抛物线向上平移一个单位， 由图象可知抛物线与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， 关于直线对称的点为， 的取值范围为，故④正确． 故正确的有①②④； 故选：C． 5．在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 7．二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时， ∴点的坐标是， 当时，则， ∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M， ∴ ∴对称轴； 则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴ ∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵ ∴ 则 则 ∴四边形周长的最小值为 故答案为： 9．二次函数的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点坐标为；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，交轴于正半轴， ，， ， ， ，故①错误， ， ，故②正确， 抛物线的对称轴，与轴交于， 另一个交点坐标，故③正确， 时，函数有最大值， 点在该抛物线上，则，故④正确， 故答案为：②③④． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，则t的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的的关系，求二次函数的最值等；设方程的两个根为，，由根与系数得，由新定义得，由此可得，将此代入，由二次函数的性质即可求解；理解新定义，掌握根与系数的关系，熟练利用完全平方公式进行变形运算是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个根为，， ， 关于x的方程是“邻近根方程”， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， 故答案：． 11．已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 12．已知二次函数． (1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标： (2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式； (3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质； （1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解； （2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为； （2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小， ∴时，最小为 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ （3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴． 13．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． (1)求b的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握运用二次根数的基本性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； （2）由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 14．已知二次函数图象的顶点坐标为． (1)若函数图象经过点，求这个函数的解析式． (2)若，求这个函数的解析式． (3)若a，b，c满足，，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及不等式的性质． （1）设二次函数的解析式为．将代入求解，即可解题； （2）根据题意可知图象经过点，把代入求解，即可解题； （3）设二次函数解析式为．根据题意可知当时，．据此建立不等式求解，得到的取值范围，进而可得S的取值范围． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 由题意得，． 把代入，得． ． （2）解： ， 图象经过点． 把代入，得． ． （3）解：设二次函数解析式为． ， 即当时，． ． ． ， ． 15．在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再表示出，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【详解】（1）解：函数图象经过点， ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：函数图象经过点，， ，， ， ， ； （3）解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况：设函数图象经过点，，． 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， 当时， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$