第02讲二次函数y=ax²的图象和性质(2个知识点+8个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第02讲 二次函数y=ax2的图象和性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．正确理解抛物线的有关概念；(重点) 2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力． 知识点一 二次函数y=ax²的图象的画法 画二次函数的图象，一般用描点法. 温馨提示： (1)一般地，用描点法所画的函数图象都是部分的、近似的.为了更有效地接近真实情况，列表取值时，一定要注意找关于对称轴对称的一些点. (2)画图时，取的点越多，描出的图象就越准确，但取点过多计算量会过大，故一般在顶点的两侧对称地各取三个点即可. (3)用平滑曲线顺次连接各点，不能用线段连接相邻的点. 例1．下列函在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 描点、连线，函数图象如图所示． (1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴； (2)函数y＝2x2和y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)． 方法总结： (1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取． (2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线． (3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2. (4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 【分析】根据描点法，可得函数图象，观察图象即可得出二次项系数对抛物线的形状有什么影响． 【解答】解：列表如下： 0 1 2 4 1 0 1 4 8 2 0 2 8 0 0 描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出， 连线：用平滑的线连接，如图所示： 由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小． 【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是轴对称图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是原点. 2. 二次函数的图象的作法 （1） 列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2） 描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3） 连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 温馨提示： （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 例2. 已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 分析：（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；（2）求出当，y的值即可得到答案． 解：（1）∵二次函数的图象经过点，∴，∴， ∴二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为y轴； （2）解：在中，当时，，∴点不在此函数的图象上． 点睛：本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 抛物线有对称轴，两边增减正相反. 巧学巧记： 抛物线有对称轴， 两边增减正相反. a定开口及大小， 线轴交点叫顶点. 顶点非高即最低， 上低下高很显眼. 【变式2-1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0） 【分析】（1）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可； （2）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可； （3）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可； （4）根据如果抛物线，那么其对称轴为轴，顶点坐标为（0，0），如果a＞0开口向上，a＜0开口向下进行求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线解析式为 ∴a＝3＞0， ∴抛物线y＝3x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （2）∵抛物线解析式为：， ∴a＝-3＜0， ∴抛物线y＝-3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （3）∵抛物线解析式为：， ∴a＝ ∴抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）； （4）∵抛物线解析式为：， ∴a＝， ∴抛物线y＝x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 考点一：利用二次函数y=ax2的图象和性质求字母的值 例1．已知是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，函数y有最大值，并求出图象的顶点坐标． 【答案】（1）m=-3或1；（2）当m=-3时，函数y有最大值，顶点坐标为：（0，3） 【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）根据当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值，得出m的值，根据解析式即可得出顶点坐标． 【详解】解：（1）∵是关于x的二次函数 ∴m2+2m-1=2，m+1≠0， ∴m=-3或1 （2）当m=-3时， ∴二次函数的解析式为： ∵a=-2<0 ∴抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值 顶点坐标为：（0，3） 当m=1时， ∴二次函数的解析式为： ∴函数y有最小值，不合题意舍去 ∴当m=-3时，函数y有最大值，顶点坐标为：（0，3） 【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键． 【变式1-1】已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m值； (2)当该函数图象有最低点时， ，此时最低点坐标为 ；在这种情况下，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)或 (2)2；； 【分析】（1）根据二次函数的定义进行求解即可； （2）根据函数有最低点即函数开口向上，由此求出m的值进而求出函数解析式，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得或且， ∴或； （2）解：∵该函数图象有最低点， ∴该函数开口向上， ∴，即， ∴， ∴函数解析式为， ∴当时，最低点坐标为，在这种情况下，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：2；；． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式1-2】已知函数是关于x的二次函数，求： (1)满足条件m的值． (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)2或 (2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大 (3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值； （2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性； （3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性． 【详解】（1）解：根据题意得且， 解得，， 所以满足条件的m值为2或． （2）解：当时，抛物线有最低点， 所以， 此时抛物线解析式为， 所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大． （3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值； 此时抛物线解析式为， 所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零． 考点二：二次函数y=ax2开口方向 例2. 若抛物线开口向下，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．1或2 【答案】B 【分析】根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得： ， ，（不符合题意要舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二得出方程组是解题关键． 【变式2-1】二次函数的图象的开口方向是向 ． 【答案】上 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数图象的开口方向． 【详解】解：∵二次函数，a＝＞0， ∴该函数图象的开口方向向上， 故答案为：上． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数开口方向与系数a的关系. 【变式2-2】抛物线的图像开口向 （填“上”或“下”）． 【答案】上 【分析】根据题目中的抛物线表达式，可以直接写出该抛物线的开口方向，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴该抛物线开口向上， 故答案为：上． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． 考点三：根据二次函数y=ax2的a比较函数开口大小 例3. 抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是(   ) A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大求解即可． 【详解】解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2， ∵ ∴抛物线的开口小于的开口， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)，且a决定函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上；a＜0时，开口方向向下．|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大． 【变式3-1】函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口大小的顺序是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数，的值越大开口大小越小是解题的关键． 【变式3-2】①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为 ． 【答案】④②③① 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可． 【详解】解：根据题意，则 ∵， ∴抛物线开口从大到小的排列顺序是④②①③， 故答案为：④②③①． 考点四：利用二次函数y=ax2的图象和性质比较函数值的大小 例4. （2023·北京东城·期中）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据解析式求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵与点关于直线对称，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【变式4-1】（2024·广东广州·期中）已知抛物线，若点,,，都在该抛物线上，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，开口方向向下自变量离对称轴越近则函数值越大． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∵且二次函数图象开口方向向下，自变量距离对称轴越近函数值越大， ∴． 故选：C． 【变式4-2】（2024·湖北黄冈·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为直线，即可根据自变量的大小判断函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数为：， ∴ ∴二次函数的开口向上，对称轴为：， 点关于对称轴的对称点为， ∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 考点五：与二次函数y=ax2图象共存问题 例5. 已知，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象，分和时，分别判断两函数的图象即可求得答案． 【详解】解：A、函数中，，中，，但当时，两函数图象有交点，故A错误； B、函数中，，中，，故B错误； C、函数中，，中，，但当时，两函数图象有交点，故C正确； D、函数中，，中，，故D错误． 故选：C． 【变式5-1】已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣a的图象有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可． 【详解】解：A、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向上，则﹣a＞0，则a＜0，故选项错误； B、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误； C、根据正比例函数图象y随x的增大而减小，则a＜0，与已知矛盾，故选项错误； D、根据正比例函数图象y随x的增大而增大，则a＞0，二次函数图象开口向下，则﹣a＜0，则a＞0，故选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数和正比例函数的图象，掌握二次函数的性质、正比例函数的性质是解题的关键． 【变式5-2】函数y＝ax与y＝ax2（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2（a≠0）开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2（a≠0）开口方向向下正确，顶点坐标为（0，0）,故选项B正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2（a≠0）开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2（a≠0）开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确；     故选B． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 考点六：二次函数的性质 例6. 抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式法求顶点坐标，直接代入公式求出即可． 【详解】解：∵a=，b=0，c=0， ∴；． ∴顶点坐标是：（0，0）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点坐标公式是解题关键． 【变式6-1】抛物线的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式法求顶点坐标，直接代入公式求出即可． 【详解】解：∵a=，b=0，c=0， ∴；． ∴顶点坐标是：（0，0）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点坐标公式是解题关键． 【变式6-2】抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 【答案】上升 【分析】根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵当x＜0时，y随x的增大而增大 ∴在轴的左侧部分是上升的． 故填：上升． 【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 【变式6-3】已知二次函数，当时，． （1）当时，求y的值； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大． 【答案】（1）当时，；（2）函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是，当时，函数y随x的增大而增大． 【分析】（1）把代入解析式求值即可； （2）根据（1）所求解析式，进行分析即可； 【详解】（1）∵把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为． 当时，． （2）∵， ∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是． 当时，函数y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的知识点，准确分析计算是解题的关键． 考点七：二次函数的图象和性质的综合问题 例7. 关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 【变式7-1】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为 ．    【答案】 【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象，本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键． 【变式7-2】在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】首先理解题意，任意一条平行于x轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得． 【详解】解：由解得或， ∴函数y1＝x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（1，1）， ∵函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G． 由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1， 故答案为答案不唯一，如：1（0≤m≤1）， 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，理解题意，求得交点坐标是解题的关键． 考点八：二次函数与几何综合 例8. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中， (1)求B点的坐标． (2)x为何范围时一次函数值大于二次函数值？ (3)在x轴上求点C使的面积是3． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据待定系数法求得两个函数解析式，再联立方程组，解方程组即可求得B的坐标； （2）根据图象解答即可； （3）设，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，根据三角形的面积列出方程求得c便可． 【详解】（1）解：∵ 过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为：， ∵一次函数的图象相过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为：， 联立方程组， 解得或， ∴B的坐标为； （2）由图象可得，一次函数图象在二次函数图象上方时，或， ∴当或时，一次函数值大于二次函数值； （3）设，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，则， ∴ ， 解得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是正确的求出点B的坐标． 【变式8-1】如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．    （1）求直线l和抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标； （3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）符合条件的点P的坐标为． 【分析】（1）根据题意，直线过A、B两点，用待定系数法求出直线解析式，再把B点坐标带入求出抛物线解析式． （2）根据题意，先联立一次函数和二次函数求出交点B、C的坐标，再根据点坐标求和的面积，用它们两个相减求出的面积，设，用t表示面积并且令它等于的面积，解方程求出t的值，D的坐标就求出来了． （3）分类讨论：①OC=OP，用两点之间距离公式求出OC，OP就等于OC，P在x轴上，可以直接写出P的坐标； ②OC=PC，由等腰三角形三线合一，O、P中点的横坐标等于C的横坐标，可以求出P的坐标； ③OP=PC，作CFx轴，设OP=PC=a，在中利用勾股定理列方程求出a，求出P的坐标． 【详解】（1）设直线的解析式为． 把代入得解得 所以直线的解析式为． 把代入得， 所以抛物线的解析式为． （2）依题意得解得或 即直线与抛物线的两个交点的坐标是． ． 设． ∵，∴，解得或（舍去），∴． （3）． ①当时，； ②当时，； ③当时，点P是线段的垂直平分线与x轴负半轴的交点． 过点C作轴于点F．设． 在中，， ∵，∴，解得，∴ 综上所述，符合条件的点P的坐标为．    【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中三角形面积问题，等腰三角形的存在性问题，关键在于要熟悉平面直角坐标系中三角形面积的求法，以及能够利用数形结合的方法对等腰三角形的存在性进行分类讨论． 【变式8-2】已知二次函数y=ax2的图象与直线y=x+2交于点（2，m） （1）判y=ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x>0时，y的值随x值的增大而变化的情况； （2）设直线y=x+2与抛物线y=ax2的交点分别为A、B．如图所示，试确定A、B两点的坐标； （3）连接OA、OB，求△AOB的面积． 【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），当x>0时，y随x的增大而增大；（2）A点坐标为（2，4），B点坐标为（-1，1）；（3）3． 【分析】（1）将点（2，m）代入y=x+2可求得m，即可确定交点坐标，然后把代入y=ax2可得a的值；再根据二次函数的性质确定顶点坐标、对称轴以及当x>0时，y随x的增大而变化的情况； （2）联立两个函数解析式，即可求得A、B两点的坐标； （3）先求出y=x+2与y轴交点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）将点（2，m）代入y=x+2，解得m=4，所以交点坐标为（2，4）， 把（2，4）代入y=ax2可得a=1 所以二次函数解析式为y=x2， 所以抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）； 所以当x>0时，y随x的增大而增大； （2）由题意得x2=x+2，解得x=2或x=-1，则y=4或y=1； 所以A点坐标为（2，4），B点坐标为（-1，1）； （3）由y=x+2与y轴交点的坐标为（0，2） 所以△AOB的面积=． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． 【例1】已知抛物线与的形状相同，则 ． 【答案】 【分析】两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同， ∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为±2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等． 易错攻克 ①形状相同与开口方向无关，既可以开口向上，也可以开口向下. 【例2】若二次函数的图象开口向下，求m的值． 晓丽的解题过程如下： 【解】∵是二次函数，（第一步） ∴，解得或．（第二步） 请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程． 【答案】晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析． 【分析】根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可． 【详解】解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误． 正确的解题过程如下： ∵是二次函数， ∴，解得或， ∵抛物线图象开口向下， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键． 易错攻克 ①图象的开口方向限定了二次项系数的正负.解答本题时，除满足最高次项的次数是2外，还可由开口向下得出2-m<0. 1．下列关于函数说法中错误的有（    ）个． ①它的图象是抛物线；②对称轴是y轴；③顶点坐标是；④当时有最大值；⑤当时y随x增大而增大；⑥当时，图象开口向下 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质逐项分析即可，根据二次项系数的符号判断开口方向，根据函数表达式确定顶点坐标对称轴，以及最值． 【详解】关于函数 ①它的图象是抛物线，所以①正确； ②对称轴是y轴，所以②正确； ③顶点坐标是，所以③正确； ④当时有最小值，所以④不正确； ⑤当时，，y随x增大而增大，所以⑤不正确； ⑥当时，图象开口向下，所以⑥正确； 故不正确的有④⑤，共计2个． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ） A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s 【答案】C 【分析】本题实际是告知函数值求自变量的值，代入求解即可，另外实际问题中，负值舍去． 【详解】解：当刹车距离为5m时，即可得y=5， 代入二次函数解析式得： 解得x=±10，（x=-10舍）， 故开始刹车时的速度为10 m/s． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确x、y代表的实际意义，刹车距离为5m，即是y=5，难度一般． 3．下列抛物线中，开口向下且开口最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线的开口向下，说明二次项系数小于，再根据二次项系数的绝对值越大，开口越小解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， ， 在开口向下的抛物线中的开口最小． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的二次项系数的特征是解答的关键． 4．函数，其图象是 ，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，图象有最 点，函数y有最 值，是 ，当时，y随x的减小而 . 【答案】 抛物线 上 y轴 （0，0） 低 小 0 减小 【分析】由函数图象与系数的关系及二次函数的性质，即可得到答案. 【详解】解：函数的图像是抛物线，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是原点（0，0），图像有最低点，函数y有最小值，最小值是0，当时，y随x的减小而减小； 故答案为抛物线；上；y轴；（0，0）；低；小；0；减小. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，综合性较强．解题的关键是熟记二次函数的图像和性质. 5．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【详解】：根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影=S正方形=×2×2=2．故答案为2 6．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 【答案】（1）y＝；（2）5小时 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），把D（5，b），则B（10，b－3）代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点B坐标，进而可得拱桥顶O到正常水位AB的距离，进而求出时间． 【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0）， 由CD＝10m，可设D（5，b）， 由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD， 则B（10，b﹣3）， 把D、B的坐标分别代入y＝ax2得： ， 解得：， ； （2）∵b＝﹣1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， （小时）， 所以再持续5小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会利用二次函数的性质解决问题． 7．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为，则可设P(t，—t+3)( )，再根据三角形面积公式得到 ，解出t的值，确定点Р的坐标，最后把点Р的坐标代入 中求出a的值即可． 【详解】解：设直线AB对应的函数解析式为 ， 把A(3，0)，B(0，3)代入，得 解得 所以直线AB对应的函数解析式为 ． 设点P(t，—t＋3)(0<t<3)．因为△AOP的面积为3，所以 解得t=1，所以点Р的坐标为(1，2)． 把P(1，2)代入 ，得a=2， 所以二次函数的解析式为 ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合性问题，一要注意确定各自解析式需要的条件，二要注意充分利用函数图象的交点坐标． 8．函数与直线交于点． … … (1)求a和b的值； (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴；画出此二次函数的图象； (3)函数，当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)， (2)顶点坐标为，对称轴为y轴，见解析 (3)当时，y随x的增大而增大 【分析】（1）先把代入可求出的值，从而得到交点坐标，然后把交点坐标代入可求出的值； （2）根据二次函数的性质易得抛物线的顶点坐标和对称轴，然后利用列表、描点和连线画二次函数图象； （3）根据二次函图象的性质求解． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得； （2）解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴， 列表： 0 0.5 1 1.5 0 描点，连线，如图：      （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了画二次函数的图象，二次函数图象与性质． 9．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M，将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题． 参考小明同学的想法，解答问题： （1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　 　； （2）请你在图3中，解决原问题： （3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）作图见解析， 【分析】（1）证明从而，重叠部分（即阴影部分）的面积为，且，即可得到答案； （2）连接、交于，作直线交、于、，过作，交、于、，直线、即为满足条件的直线； （3）连接并延长交延长线于，在上取，使，连接，则直线即为所求直线，求出、坐标，即可得解析式． 【详解】解：（1）如图： 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分（即阴影部分）的面积为， 而正方形的边长为， ， 重叠部分（即阴影部分）的面积为， 故答案为：； （2）连接、交于，作直线交、于、，过作，交、于、，如图： 由（1）知， 同理可得， ， 直线、即为满足条件的直线； （3）连接并延长交延长线于，在上取，使，连接，则直线即为所求直线，如图： 过作于，于， ，，，点是的中点， ，，①， ②， 设直线解析式为，将代入得： ，解得， 直线解析式为， 令得， ， ， ③， 由①②③可得：， ， ， 点是的中点， ， ，，于，于， ， 又， ， ， ， 所在直线将四边形的面积分成相等的两部分， ，， ， 设直线解析式为，将，代入得： ，解得， 解析式为． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定、性质，一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握正方形的中心对称性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数y=ax2的图象和性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．正确理解抛物线的有关概念；(重点) 2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力． 知识点一 二次函数y=ax²的图象的画法 画二次函数的图象，一般用______法. 温馨提示： (1)一般地，用描点法所画的函数图象都是部分的、近似的.为了更有效地接近真实情况，列表取值时，一定要注意找关于对称轴对称的一些点. (2)画图时，取的点越多，描出的图象就越准确，但取点过多计算量会过大，故一般在顶点的两侧对称地各取三个点即可. (3)用平滑曲线顺次连接各点，不能用线段连接相邻的点. 例1．下列函在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题： (1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ (2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？ 解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表． 解：列表： 描点、连线，函数图象如图所示． (1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴； (2)函数y＝2x2和y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)． 方法总结： (1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取． (2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线． (3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2. (4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？ 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是________图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_______，顶点是抛物线的最__________点或最________点.抛物线的顶点是_________. 2. 二次函数的图象的作法 （1） __________：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2） __________：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3） __________：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向_______ 开口向______ 越大，开口越________ 对称性 关于轴对称，对称轴是直线______ 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最__值＝0 当=0时，最__值＝0 增减性 在对称轴左侧____ 在对称轴____侧____ 在对称轴左侧____ 在对称轴____侧____ 温馨提示： （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 例2. 已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式及对称轴； (2)试判断点是否在此函数的图象上． 分析：（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；（2）求出当，y的值即可得到答案． 解：（1）∵二次函数的图象经过点，∴，∴， ∴二次函数解析式为，∴二次函数对称轴为y轴； （2）解：在中，当时，，∴点不在此函数的图象上． 点睛：本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 抛物线有对称轴，两边增减正相反. 巧学巧记： 抛物线有对称轴， 两边增减正相反. a定开口及大小， 线轴交点叫顶点. 顶点非高即最低， 上低下高很显眼. 【变式2-1】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点一：利用二次函数y=ax2的图象和性质求字母的值 例1．已知是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）当m为何值时，函数y有最大值，并求出图象的顶点坐标． 【变式1-1】已知函数是关于的二次函数． (1)求满足条件的m值； (2)当该函数图象有最低点时， ，此时最低点坐标为 ；在这种情况下，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． 【变式1-2】已知函数是关于x的二次函数，求： (1)满足条件m的值． (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小． 考点二：二次函数y=ax2开口方向 例2. 若抛物线开口向下，则m的值为（     ） A．2 B． C． D．1或2 【变式2-1】二次函数的图象的开口方向是向 ． 【变式2-2】抛物线的图像开口向 （填“上”或“下”）． 考点三：根据二次函数y=ax2的a比较函数开口大小 例3. 抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是(    ) A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定 【变式3-1】函数，，中，图象开口大小的顺序是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】①；②；③；④四条抛物线开口由大到小用序号依次排列为 ． 考点四：利用二次函数y=ax2的图象和性质比较函数值的大小 例4. （2023·北京东城·期中）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式4-1】（2024·广东广州·期中）已知抛物线，若点,,，都在该抛物线上，则，，大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·湖北黄冈·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为 ． 考点五：与二次函数y=ax2图象共存问题 例5. 已知，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象有可能是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知a＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝﹣a的图象有可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数y＝ax与y＝ax2（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 考点六：二次函数的性质 例6. 抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】抛物线沿着轴正方向看，在轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 【变式6-3】已知二次函数，当时，． （1）当时，求y的值； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大． 考点七：二次函数的图象和性质的综合问题 例7. 关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为 ．    【变式7-2】在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为 （写出一个即可）． 考点八：二次函数与几何综合 例8. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中， (1)求B点的坐标． (2)x为何范围时一次函数值大于二次函数值？ (3)在x轴上求点C使的面积是3． 【变式8-1】如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．    （1）求直线l和抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标； （3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】已知二次函数y=ax2的图象与直线y=x+2交于点（2，m） （1）判y=ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x>0时，y的值随x值的增大而变化的情况； （2）设直线y=x+2与抛物线y=ax2的交点分别为A、B．如图所示，试确定A、B两点的坐标； （3）连接OA、OB，求△AOB的面积． 【例1】已知抛物线与的形状相同，则 ． 易错攻克 ①形状相同与开口方向无关，既可以开口向上，也可以开口向下. 【例2】若二次函数的图象开口向下，求m的值． 晓丽的解题过程如下： 【解】∵是二次函数，（第一步） ∴，解得或．（第二步） 请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程． 易错攻克 ①图象的开口方向限定了二次项系数的正负.解答本题时，除满足最高次项的次数是2外，还可由开口向下得出2-m<0. 1．下列关于函数说法中错误的有（     ）个． ①它的图象是抛物线；②对称轴是y轴；③顶点坐标是；④当时有最大值；⑤当时y随x增大而增大；⑥当时，图象开口向下 A．1 B．2 C．3 D．4 2．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ） A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s 3．下列抛物线中，开口向下且开口最小的是（     ） A． B． C． D． 4．函数，其图象是 ，开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ，图象有最 点，函数y有最 值，是 ，当时，y随x的减小而 . 5．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 ． 6．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m． （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式； （2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 7．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式． 8．函数与直线交于点． … … (1)求a和b的值； (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴；画出此二次函数的图象； (3)函数，当x取何值时，y随x的增大而增大？ 9．阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M，将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题． 参考小明同学的想法，解答问题： （1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　 　； （2）请你在图3中，解决原问题： （3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$