第10讲图形的位似变换(3个知识点+9个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第10讲 图形的位似变换 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解位似图形的概念 2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质 3.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小 知识点一 位似图形的概念 1.位似图形 一般地，如果两个图形满足以下两个条件:①所有经过对应点的直线都相交于同一点:②这个交点到两个对应点的距离之比都相等,那么这两个图形就叫做位似图形 2.位似中心 经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心 3.位似比 位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比. 如图所示的各组图形都是位似图形，位似中心都是点0. 提示 （1）位似是一种具有特殊位置关系的相似,位似一定相似，但相似不一定位似. （2）位似图形的位似中心只有一个 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧;也可能位于位似图形之间;还可能位于位似图形的内部、边上或某一顶点处. 【例1】下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 正确答案为：②③ 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比． 【变式1-1】如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（　　） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE：AD是相似比 知识点二 位似多边形的性质和画法 1.位似的性质 位似图形是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的所有性质 两个位似多边形的位似比等于它们的相似比 归纳:(1)根据位似多边形的性质可知，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;(2)经过位似图形的对应点的直线相交于一点(即位似中心);(3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上) 2.画位似图形的一般步骤 (1)定点:确定位似中心; (2)连线:分别连结位似中心与原图形中的关键点 (3)作点:根据位似比，作出原图形中的关键点的对应点; (4)构图:按照原图形的形状,顺次连结上述各对应点，得到放大或缩小后的图形 【例2】已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为 ． 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【变式2-1】如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为 ．    知识点三 以坐标原点为位似中心的坐标变换规律 1.位似变换 把一个图形按一定的位似比改变成它的位似图形,叫做位似变换 2.位似变换的坐标变化规律 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质:当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的位似比为则位他图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,ky) 提示： (1) 运用此性质可在平面直角坐标系中对图形进行放大或缩，小所得到的两个图形是以原点为位似中心的位似图形 (2) 当位似图形上对应点的坐标为(kx,ky)时,两个图形在位似中心的同侧; (3) 当位似图形上对应点的坐标为(-kx,ky)时,两个图形在位似中心的两侧. 【例3】如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)在y轴右侧、以O为位似中心，将按相似比为缩小，画出 (2)写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）根据位似的性质进行作图即可； （2）由（1）可得点坐标； （3）根据位似比求点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，作图如下：    （2）解：由（1）可知，，，； （3）解：由位似的性质可知，的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似作图，位似的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3-1】△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在第三象限内，画出的位似图形，使与的相似比为，并写出，B'，的坐标．    考点一：位似图形的识别 例1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【变式1-2】（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【变式1-3】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    考点二：判断位似中心 例2．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【变式2-1】（2021·安徽合肥·二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O． （1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形； （2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2； （3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来． 【变式2-2】用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【变式2-3】如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由． 考点三：位似图形相关概念辨析 例3．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【变式3-1】（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 【变式3-2】（21-22九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式3-3】（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 考点四：求两个位似图形的相似比 例4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【变式4-1】（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【变式4-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别是，，，． (1)以原点O为位似中心，在x轴的下方画出四边形的位似图形四边形，使它与四边形的相似比是，并写出点的坐标； (2)若四边形内部一点M的坐标为．则点M在四边形，中的对应点的坐标是 ． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 考点五：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 例5．（2024·安徽池州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 【变式5-1】（2023·安徽淮北·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点O（格点为网格线的交点）． (1)以点O为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)以线段为边画格点平行四边形． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； (3)仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上．以格点为圆心作圆，格点，，，分别落在圆上． (1)将以为位似中心放大2倍，得到，画出． (2)如图，在圆上任取一点（点不是格点），用无刻度直尺在圆上找一点，使得，画出，并在图中保留确定点的痕迹． 考点六：求位似图形的对应坐标 例6．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．若与是原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，则点的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是 ． 【变式6-2】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．    (1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标； (2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标． (2)的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？ 【变式6-4】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为； (2)若点在边上，直接写出点P位似后对应点的坐标______． 考点七：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【变式7-2】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【变式7-3】（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 考点八：在坐标系中画位似图形 例8．（2024·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中， 是格点三角形(顶点均在格点上)，且三个顶点的坐标分别为，请根据条件解决下列问题： (1)以点 B为位似中心，位似比为2将放大，请在网格图中画出放大后的 ，并写出点和点的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作出的一条中位线 (不写作法，保留作图痕迹)． 【变式8-1】（2024·安徽滁州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点． (1)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为； (2)把向上平移3个单位长度后得到，请画出； (3)的面积为______． 【变式8-2】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与△的相似比为 【变式8-3】（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 考点九：在坐标系中画位似中心 例9.（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0） 【变式9-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 【变式9-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【变式9-3】（21-22九年级上·四川资阳·期中）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2,-1），B（-1,-3），与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似，使它与△OAB的位似比为2：1； (3)△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在中的对应点的坐标为__________． 【例1】判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心． (1)如图（1）所示，，相交于点O，且，； (2)如图（2）所示，，相交于点O，且． 易错攻克 相似与位置无关，而位似是具有特殊位置关系的相似，需满足“相似”和“对应点连线所在直线交于一点”两个条件. 【例2】若与关于点O位似，相似比为， cm，则对应点A，之间的距离为 cm. 易错攻克 当位似中心的位置不确定时，要分位似中心O在△ABC和△A′B′C′之间和不在△ABC和△A′B′C′之间两种情况来讨论. 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍得到，以下说法中错误的是（   ）    A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 5．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为 ． 6．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 7．如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ． 8．（23-24九年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的． (2)以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 图形的位似变换 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解位似图形的概念 2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质 3.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小 知识点一 位似图形的概念 1.位似图形 一般地，如果两个图形满足以下两个条件:①所有经过对应点的直线都相交于同一点:②这个交点到两个对应点的距离之比都相等,那么这两个图形就叫做位似图形 2.位似中心 经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心 3.位似比 位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比. 如图所示的各组图形都是位似图形，位似中心都是点0. 提示 （1）位似是一种具有特殊位置关系的相似,位似一定相似，但相似不一定位似. （2）位似图形的位似中心只有一个 （3）位似中心可能位于位似图形的同侧;也可能位于位似图形之间;还可能位于位似图形的内部、边上或某一顶点处. 【例1】下列三个关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； 其中正确命题的序号是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系和区别去判断即可． 【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误； 位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确； 位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误； 正确答案为：②③ 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形与相似图形之间的联系和区别，如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比． 【变式1-1】如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（　　） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．B与D、C与E是对应位似点 D．AE：AD是相似比 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：A、∵BC∥ED， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上， ∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意； B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意； C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意； D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 知识点二 位似多边形的性质和画法 1.位似的性质 位似图形是特殊的相似图形，因此它具有相似图形的所有性质 两个位似多边形的位似比等于它们的相似比 归纳:(1)根据位似多边形的性质可知，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;(2)经过位似图形的对应点的直线相交于一点(即位似中心);(3)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线上) 2.画位似图形的一般步骤 (1)定点:确定位似中心; (2)连线:分别连结位似中心与原图形中的关键点 (3)作点:根据位似比，作出原图形中的关键点的对应点; (4)构图:按照原图形的形状,顺次连结上述各对应点，得到放大或缩小后的图形 【例2】已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为 ． 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【变式2-1】如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段缩小为原来的后得到线段，则端点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标． 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 知识点三 以坐标原点为位似中心的坐标变换规律 1.位似变换 把一个图形按一定的位似比改变成它的位似图形,叫做位似变换 2.位似变换的坐标变化规律 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质:当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的位似比为则位他图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,ky) 提示： (1) 运用此性质可在平面直角坐标系中对图形进行放大或缩，小所得到的两个图形是以原点为位似中心的位似图形 (2) 当位似图形上对应点的坐标为(kx,ky)时,两个图形在位似中心的同侧; (3) 当位似图形上对应点的坐标为(-kx,ky)时,两个图形在位似中心的两侧. 【例3】如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)在y轴右侧、以O为位似中心，将按相似比为缩小，画出 (2)写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】（1）根据位似的性质进行作图即可； （2）由（1）可得点坐标； （3）根据位似比求点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，作图如下：    （2）解：由（1）可知，，，； （3）解：由位似的性质可知，的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似作图，位似的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3-1】△ABC的三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在第三象限内，画出的位似图形，使与的相似比为，并写出，B'，的坐标．    【答案】图见解析，，， 【分析】由位似图形的性质，结合要在第三象限内，画出的位似图形，即对应点坐标乘以2即可． 【详解】解：如图，即为所作．    由图可知，，． 【点睛】本题考查作图—位似变换，坐标与图形的变化—位似变换．掌握位似的性质是解题关键． 考点一：位似图形的识别 例1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 【变式1-2】（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 【变式1-3】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 考点二：判断位似中心 例2．（23-24九年级下·河北沧州·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】连接，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：D． 【变式2-1】（2021·安徽合肥·二模）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O． （1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形； （2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2； （3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）有，答案见解析． 【解析】（1）根据平移的方向和距离，确定正方形四个顶点的对应点的位置后，顺次连接即可； （2）连接O点与各顶点，在同一方向延长，使延长后的线段为之前的两倍，确定对应点的位置后，顺次连接即可； （3）连接A'C1、B'D1、C'A1、D'B1，它们的交点即为位似中心． 【详解】解：（1）图形如图所示： （2）图形如图所示： （3）有，如图所示，P点即为所求： 【点睛】本题考查了网格中的作图，涉及到了平移、作位似图形、找位似中心等内容，要求学生理解并掌握相关概念与作图步骤等，解题的关键是明白两个图形位似，则对应点的连线交于一点，该点即为位似中心，同时应明白位似比的概念，能利用位似比作一个图形的位似图形等． 【变式2-2】用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 【变式2-3】如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由． 【答案】是位似图形，位似中心是点O，相似比为2 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质以及位似的相关知识，根据矩形的性质可得对应线段的平行和比值，继而判定四边形是矩形，结合对应得比值即可得到位似比，结合对应点和交点即可确定位似中心． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形与矩形相似，且相似比为2． 又∵两个图形的对应点所在直线都经过点O， ∴它们是位似图形，位似中心是点O，相似比为2． 考点三：位似图形相关概念辨析 例3．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【答案】B 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可． 【详解】A. 两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误； B. 两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误； C. 位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确； D. 两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 【变式3-2】（21-22九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△EDC的周长为8，则△ABC的周长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形的位似比等于相似比，和相似三角形的性质计算即可； 【详解】∵△ABC和△EDC的位似比为1：2， ∴△ABC和△EDC的相似比为1：2， 又∵△EDC的周长为8， ∴， ∴△ABC的周长为4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似图形和相似三角形的性质应用，准确分析计算是解题的关键． 【变式3-3】（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形，根据位似图形的性质即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，其中， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是， 故选：． 考点四：求两个位似图形的相似比 例4．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是9，则四边形面积是（    ） A．25 B．20 C．9 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．先由求出，再利用位似图形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 以点为位似中心，作四边形的位似图形，， ， 四边形的面积是9， 四边形的面积是25， 故选：A． 【变式4-1】（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】， 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 【变式4-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别是，，，． (1)以原点O为位似中心，在x轴的下方画出四边形的位似图形四边形，使它与四边形的相似比是，并写出点的坐标； (2)若四边形内部一点M的坐标为．则点M在四边形，中的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键． （1）利用位似比结合A，B，C点的位置进而得出点、、的位置；利用所画图形即可得出的坐标； （2）依据对称的性质与位似图形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，点的坐标为； （2）解：依据对称的性质和位似图形的性质得点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知O是坐标原点，点A，B的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心将放大为原来的2倍得到，请在网格中画出； (2)在（1）的条件下，与的周长比为________，面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了作位似图形，位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． （1）根据位似图象的特征进行作图即可； （2）根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：作出点的对应点，点B的对应点，顺次连接，则为所求作的三角形． （2）解：∵放大为原来的2倍得到， ∴， ∴， ． 故答案为：；． 考点五：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 例5．（2024·安徽池州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析；，， 【分析】本题主要考查了位似作图，轴对称作图，平移作图，根据题意作出对应点的位置，是解题的关键． （1）先作出点、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （3）先根据位似作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；最后根据图形写出点、、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，即为所求作的三角形；，，． 【变式5-1】（2023·安徽淮北·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点O（格点为网格线的交点）． (1)以点O为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)以线段为边画格点平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画已知线段的位似图形以及平行四边形的定义等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据平行四边形的定义，结合网格图即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，平行四边形即为所求（本题答案不唯一）． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； (3)仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分别找到点A、B、C关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据点的坐标为与点的坐标为，可知与位似比为2，分别找到的对应点，顺次连接即可； （3）利用矩形的性质得到线段的中点，连接即可； 此题考查了位似的作图、轴对称的作图、平行四边形性质的应用，熟练掌握作图方法，找到对应点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）如图所示，即为所求， （3）如图所示，即为所求， 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形网格中，的顶点均在格点上．以格点为圆心作圆，格点，，，分别落在圆上． (1)将以为位似中心放大2倍，得到，画出． (2)如图，在圆上任取一点（点不是格点），用无刻度直尺在圆上找一点，使得，画出，并在图中保留确定点的痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺画图，位似的定义，平行线定义，勾股定理． （1）根据题意利用位似定义即可画出； （2）根据题意利用平行线定义，平移即可． 【详解】（1）解：∵以为位似中心放大2倍，得到， ∴设格点为单位“1”，即，，， ∴，，，画图如下： ； （2）解：将线段沿着格点向右平移直到过点，画线交圆于点，即可得到，如下图所示： ． 考点六：求位似图形的对应坐标 例6．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点．若与是原点为位似中心的位似图形，且点的对应点为，则点的对应点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换．根据点的对应点为得出点的坐标变化规律即纵、横坐标分别乘以可得出结论． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴点的对应点坐标为，即， 故选：B． 【变式6-1】（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，， ∴点A的对应点的坐标是点，即， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．    (1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标； (2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________． 【答案】(1)作图见解析；点的坐标为，点的坐标为； (2)． 【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，由图形即可； （）利用位似比及点的坐标即可求解； 本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为，点的坐标为；    （2）解：∵内部有一点，位似比为， ∴其对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标． (2)的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？ 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了位似变换，能根据位似中心找到位似图形中对应点的位置是解题的关键． （1）依据位似中心及位似比的大小即可作出； （2）根据位似比和位似图形的位置即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）∵与的位似比为，在y轴左侧， ∴的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 【变式6-4】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的三个顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为； (2)若点在边上，直接写出点P位似后对应点的坐标______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查坐标与位似．掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据坐标轴中以原点为位图中心的两个图形上的点的坐标关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵与的位似比为，两图形在原点的异侧， ∴点位似后对应点的坐标，即：； 故答案为：． 考点七：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 【答案】(1)见解析 (2)与的位似比为． (3)见解析 【分析】（1）本题考查位似作图和位似中心的特点，根据各对应点连线所在直线的交点即为位似中心，画出图形，即可解题． （2）本题考查位似比，由（1）中图形，得出，的长度，利用，即可求得与的位似比． （3）本题考查位似作图，根据点P为位似中心，与的位似比等于2，延长到，使，延长到，使，延长到，使，即找出顶点的对应点、、，依次连接对应点，就是所求作的三角形． 【详解】（1）解：如图所示：点O就是位似中心． （2）解：由（1）知，，， ， 与的位似比为． （3）解：如图所示：就是所求作的三角形． 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，如图，五边形． (1)以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接，，同法得到，，再顺次连接，，，，即可； （2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，五边形即为所求作的图形； ． （2）∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 【变式7-2】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据面积比等于相似比的平方，相似比等于位似比，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求．    （2）与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键． 【变式7-3】（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心得到的．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的相似比为___________； (3)与的面积之比为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接利用A点对应点位置结合位似中心得出B，C点对应点; （2）利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比； （3）得出三角形面积即可得出答案. 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：∵由图可知，， ∴与的位似比为； （3）解：∵，， ∴与的面积比为． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键. 考点八：在坐标系中画位似图形 例8．（2024·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中， 是格点三角形(顶点均在格点上)，且三个顶点的坐标分别为，请根据条件解决下列问题： (1)以点 B为位似中心，位似比为2将放大，请在网格图中画出放大后的 ，并写出点和点的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作出的一条中位线 (不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析 【分析】（1）根据坐标系中位似作图的基本步骤，分类计算即可； （2）根据点的坐标特点，确定中点，根据中位线定理的意义，作图即可． 本题考查了位似作图，中位线作图，熟练掌握位似作图的基本步骤，中位线的意义是解题的关键． 【详解】（1）根据位似作图得基本步骤，且， 以点 B为位似中心，位似比为2将放大，位似作图如下： 故；． （2）根据坐标的特点，作图如下： 则中位线即为所求． 【变式8-1】（2024·安徽滁州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点． (1)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为； (2)把向上平移3个单位长度后得到，请画出； (3)的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)8 【分析】本题考查位似，平移作图，解题跌关键是熟练掌握位似图形的画法，平移图形的画法， （1）根据画位似图形的一般步骤画图即可； （2）将的每一个顶点都向上平移3个单位，再连接各顶点即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形； （2）解：如图所示，就是所求作的三角形． （3）解：的面积为． 【变式8-2】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与△的相似比为 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称作图和位似作图，掌握关于x轴对称的两点坐标特点和位似图形的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数找出三个顶点的对应点，再连线即可； （2）根据位似图形的坐标特点，先求出对应点的坐标，再描点连线即可得解． 【详解】（1）解：∵，，，与关于轴对称， ∴， 作图如下所示：即为所求作的三角形； （2）∵，与的相似比为， ∴，(排除第三象限内的解) 作图如下所示：即为所求作的三角形． 【变式8-3】（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，请画出； (2)以点B为位似中心，在所给的平面直角坐标系内，将放大为原来的2倍得到，请画出； (3)请直接写出（2）中点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点的坐标为． 【分析】本题考查作图—平移变换和作图—位似变换． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可； （3）根据点的位置写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：由图得，点的坐标为． 考点九：在坐标系中画位似中心 例9.（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0） 【答案】C 【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可． 【详解】解：延长EB、DA交于点P， 则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【变式9-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． 【答案】(1)图见解析，点E的坐标为． (2)见解析 【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键． （1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题； （2）根据位似比确定、、的位置，再连线即可得到． 【详解】（1）解：点E的位置如下图所示： 由图知，点E的坐标为． （2）解：得到如图所示： 【变式9-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，； (3)点在中的对应点的坐标为． 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可，根据图形写出坐标即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图，点为所作； （2）如图，为所作，点的坐标为； （3）点在中的对应点的坐标为． 【变式9-3】（21-22九年级上·四川资阳·期中）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2,-1），B（-1,-3），与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似，使它与△OAB的位似比为2：1； (3)△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在中的对应点的坐标为__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（2a，2b） 【分析】（1）对应点连线所在直线的交点即为位似中心； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （3）利用位似变换的性质作出图形即可． 【详解】（1）如图，点P即为所求； （2）如图，即为所求； 证明：利用勾股定理，可得，， 则与位似比为； （3）根据位似比的性质，可得点的坐标（2a，2b）． 故答案为：（2a，2b）． 【点睛】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 【例1】判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心． (1)如图（1）所示，，相交于点O，且，； (2)如图（2）所示，，相交于点O，且． 【答案】(1)与不是位似图形； (2)与是位似图形，位似中心是点O． 【分析】（1）根据位似图形对应边互相平行进行判断即可得到答案； （2）根据位似图形的定义进行判断即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 点A与点C，点D与点B为对应点， 与不一定平行， 与不是位似图形； （2）解：， ， ， ，相交于点O， 与是位似图形，位似中心是点O． 【点睛】本题考查了位似图形，解题关键是掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 易错攻克 相似与位置无关，而位似是具有特殊位置关系的相似，需满足“相似”和“对应点连线所在直线交于一点”两个条件. 【例2】若与关于点O位似，相似比为， cm，则对应点A，之间的距离为 cm. 【答案】5或15 【分析】根据△ABC和△A′B′C′的位似比为1：2，然后分两种情况解答即可. 【详解】解：∵， ∴cm. 当A与在点O的同侧时， cm； 当A与在点O的异侧时， cm. 所以A，之间的距离为5cm 或15cm. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键,注意分类讨论的思想. 易错攻克 当位似中心的位置不确定时，要分位似中心O在△ABC和△A′B′C′之间和不在△ABC和△A′B′C′之间两种情况来讨论. 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查位似图形的性质，注意位似比与坐标比的关系是解题的关键．根据位似图形的性质，若以原点为位似中心，且都在同一侧的两个位似图形，其坐标比等于相似比，相似比为，则对应的坐标比也为或，即可解得点的坐标． 【详解】∵和位似，原点是位似中心，位似比为，点的坐标为， ∴点的坐标为(，，即， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比，根据，得到，确定位似比计算即可． 【详解】∵与是位似图形，点O为位似中心，． ∴， 根据位似图形的周长之比等于位似比，的周长为2， ∴， 解得， 故选B． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心， ．若点A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求位似点的坐标，利用位似是特殊的相似，若两个图形和′以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】∵和是位似图形，点O是位似中心， ． 点A的坐标为， ∴点C的坐标为， 故选C． 4．（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，以点O为位似中心，把放大到原来的2倍得到，以下说法中错误的是（   ）    A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质判断即可． 【详解】解：以点为位似中心，把放大到原来的2倍得到， 、点，，三点在同一条直线上、、， 故选项A、B、D说法正确，不符合题意，选项C说法错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换，位似图形的性质：两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行． 5．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点A、B的坐标，得到，根据，得到位似比为：，结合图形得出，则点A的对应点C的坐标是的坐标同时乘以2，因而得到的点C的坐标． 【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，， ∴， ∵以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，， ∴两图形位似比为：， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的位似，熟练掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特征是解题的关键． 6．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 【答案】6 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 7．如图，已知反比例函数y1＝，y2＝在第一象限的图象，过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D，连接AC，BD，则＝ ． 【答案】 【分析】设点P的坐标，根据两个解析式表示出点C，A，B，D的坐标，并证明，，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，得到的比值． 【详解】解：设 ∵过y2上任意一点P作x轴的垂线交y1于点A，交x轴于点B，过点P作y轴的垂线交y1于点C，y轴于点D， ∴C的纵坐标为，A的横坐标为 将C，A坐标代入中得， ∴ 则， ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟知几何条件与函数条件的转化是解题的关键． 8．（23-24九年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，将放大为原来的3倍，画出放大后的． (2)以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查位似图形的作图及轴对称图形的作法，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据位似图形的作法作出图形即可； （2）根据轴对称图形的作法作出相应图形即可． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$