第01讲 集合与常用逻辑用语（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第01讲 集合与常用逻辑用语 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第1题,5分 交集的概念与运算 2024年天津卷，第2题,5分 充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 2023年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算 2023年天津卷，第2题,5分 必要条件的判断与性质 2022年天津卷，第1题,5分 交集的概念及运算、交并补混合运算 2022年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件 2021年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算 2021年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件 2020年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算 2020年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分条件与必要条件的判断，能够判断元素与集合、集合与集合的关系，能够判断命题的充分条件与必要条件 2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质，会判断充分条件与必要条件 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题，会利用集合间的关系解决充分条件必要条件问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案，一般给出两命题，要求判断两个命题的充分条件与必要条件等。 知识讲解 知识点一.集合的含义与表示 1.集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 2.常用数集及其记法 N表示自然数集，N*或N，表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集 3.集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a ∈M，或者a ￠M，两者必居其一。 4.集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合 ②)列举法:把集合中的元素--列举出来，写在大括号内表示集合 ③描述法:{xlx具有的性质}，其中x为集合的代表元素、 ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合 5.集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 ②含有无限个元素的集合叫做无限集 ③不含有任何元素的集合叫做空集(Ø) 知识点二.集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB（或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集）(2)若且，则 集合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB(2)BA 知识点三.子集与元素之间的关系 已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 知识点四.集合的基本运算 1. 集合的并交补运算： ；； 2.集合的包含关系:；； 3.识记重要结论： ; ; ; 知识点五. 命题、充分条件、必要条件与充要条件 1、命题:可以判断真假的语句叫命题。 逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。 简单命题:不含逻辑联结词的命题。 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，.表示命题 2、充分条件、必要条件与充要条件 (1)、一般地，如果已知pq，那么就说:p是q的充分条件，q是p的必要条件; 若p q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件 (2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论g之间的关系 3、从逻辑推理关系上看: ①若pq，则p是q充分条件，q是p的必要条件; ②若pq，但qp，则p是q充分而不必要条件: ③若pq，但qp，则p是q必要而不充分条件; ④若pq且q p，则p是q的充要条件; ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件, 4、从集合与集合之间的关系上看: 已知A ={x|x满足条件p}，B = {x|x满足条件q} ①A B,则p是q充分条件; ②若BA,则p是q必要条件; ③若A B，则p是q充分而不必要条件; ④若B A，则p是q必要而不充分条件; ⑤若A =B，则p是q的充要条件; ⑥若A ￠ B且B ￠A，则p是q的既不充分也不必要条件 5、全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题 (2)存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题 (3)全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题p: ∀x ∈ M,p(x)，它的否定p: ∃xo∈ M, p(xo).全称命题的否定是特称命题 ②特称命题p: ∃ xo ∈ M,p(xo),它的否定p: ∀x ∈ M, p(x).特称命题的否定是全称命题 考点一、元素与集合的关系 1.（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·四川·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 1.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知非空集合，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4.(2023·北京房山·二模）设集合，则（    ） A．当时， B．对任意实数， C．当时， D．对任意实数， 5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合，，则的取值范围是 ． 6.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 考点二、集合中元素的特征 1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 2.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0 C．3 D． 1.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则 ． 2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 考点三、集合的基本关系 1.（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 . 3.（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 考点四、子集个数问题 1.（2024·安徽·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 2.（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知集合，，则子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 1.（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 2.（2024·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3.（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 4、（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点五、集合的并交补运算 1. （2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2. （2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 1.（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4.（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5.（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 6.（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7.（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点六、Venn图的运用 1.（2024·湖南邵阳·三模）已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 2.（2024·湖北黄冈·二模）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 1.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·山西·三模）已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．70% B．60% C．50% D．40% 5.（2023·四川南充·一模）已知全集，集合，，则能表示A，B，U关系的图是（    ） A．   B．   C．   D．   考点七、充分条件与必要条件 1.（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 1.（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2.（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5.（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点八、全称量词命题与存在量词命题、 1.（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 2.（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 1.（22-23高三上·天津滨海新·期中）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是 . 2.（2022高三上·河南·专题练习）已知命题，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，， B．假，， C．真，， D．假，， 3.（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，若为假命题，则的取值范围是 5.（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东青岛·三模）已知命题 ，则（     ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）设为数列的前项和，，则“”是“数列是以为公比的等比数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 1．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2002·江苏·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021·天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合与常用逻辑用语 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第1题,5分 交集的概念与运算 2024年天津卷，第2题,5分 充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 2023年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算 2023年天津卷，第2题,5分 必要条件的判断与性质 2022年天津卷，第1题,5分 交集的概念及运算、交并补混合运算 2022年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件 2021年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算 2021年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件 2020年天津卷，第1题,5分 并交补混合运算 2020年天津卷，第2题,5分 判断命题的充分与必要条件 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分条件与必要条件的判断，能够判断元素与集合、集合与集合的关系，能够判断命题的充分条件与必要条件 2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质，会判断充分条件与必要条件 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题，会利用集合间的关系解决充分条件必要条件问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案，一般给出两命题，要求判断两个命题的充分条件与必要条件等。 知识讲解 知识点一.集合的含义与表示 1.集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 2.常用数集及其记法 N表示自然数集，N*或N，表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集 3.集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a ∈M，或者a ￠M，两者必居其一。 4.集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合 ②)列举法:把集合中的元素--列举出来，写在大括号内表示集合 ③描述法:{xlx具有的性质}，其中x为集合的代表元素、 ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合 5.集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 ②含有无限个元素的集合叫做无限集 ③不含有任何元素的集合叫做空集(Ø) 知识点二.集合间的基本关系 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB（或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集）(2)若且，则 集合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB(2)BA 知识点三.子集与元素之间的关系 已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 知识点四.集合的基本运算 1. 集合的并交补运算： ；； 2.集合的包含关系:；； 3.识记重要结论： ; ; ; 知识点五. 命题、充分条件、必要条件与充要条件 1、命题:可以判断真假的语句叫命题。 逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。 简单命题:不含逻辑联结词的命题。 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，.表示命题 2、充分条件、必要条件与充要条件 (1)、一般地，如果已知pq，那么就说:p是q的充分条件，q是p的必要条件; 若p q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件 (2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论g之间的关系 3、从逻辑推理关系上看: ①若pq，则p是q充分条件，q是p的必要条件; ②若pq，但qp，则p是q充分而不必要条件: ③若pq，但qp，则p是q必要而不充分条件; ④若pq且q p，则p是q的充要条件; ⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件, 4、从集合与集合之间的关系上看: 已知A ={x|x满足条件p}，B = {x|x满足条件q} ①A B,则p是q充分条件; ②若BA,则p是q必要条件; ③若A B，则p是q充分而不必要条件; ④若B A，则p是q必要而不充分条件; ⑤若A =B，则p是q的充要条件; ⑥若A ￠ B且B ￠A，则p是q的既不充分也不必要条件 5、全称量词与存在量词 (1)全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题 (2)存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题 (3)全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题p: ∀x ∈ M,p(x)，它的否定p: ∃xo∈ M, p(xo).全称命题的否定是特称命题 ②特称命题p: ∃ xo ∈ M,p(xo),它的否定p: ∀x ∈ M, p(x).特称命题的否定是全称命题 考点一、元素与集合的关系 1.（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2.（2024·四川·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集和并集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由知， ，不同时在集合中，必在集合之一中， 集合中都不含0. 故选：D． 1.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得. 【详解】因为，所以，等价于， 解得. 故选：A 2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知非空集合，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，解不等式可求出实数a的取值范围. 【详解】因为集合是非空集合， 所以，解得或， 即实数a的取值范围为， 故选：C 3.（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】解对数不等式化简集合A，进而求出的取值集合即得. 【详解】由，得，则，或， 由，得，显然选项ABC不满足，D满足. 故选：D 4.(2023·北京房山·二模）设集合，则（    ） A．当时， B．对任意实数， C．当时， D．对任意实数， 【答案】C 【分析】依据选项将点代入验证即可. 【详解】当时，， 将代入A得：成立，故，即A错误； 若时，此时将代入不成立，即B错误； 当时，此时将代入不成立，即C正确； 若时，此时将代入A得成立，即D错误； 故选：C. 5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，解之即可得解. 【详解】因为集合，， 所以，解得. 故答案为：. 6.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 【答案】 【分析】直接根据求解即可. 【详解】， ， 解得. 故答案为：. 考点二、集合中元素的特征 1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或， 于是有，即有，解得， 所以，. 故选：B 2.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可. 【详解】， ，解得或， 当时，， 不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，， 此时，满足题意. 综上，. 故选：C. 1.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素. 【详解】因为，即，所以的可能取值为， 分别代入可得，所以集合中共有8个元素. 故选：D 3.（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【答案】1 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 考点三、集合的基本关系 1.（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合和的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可. 【详解】由，可得，又，所以 故选：B 2.（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系. 【详解】全集，，则， ，所以. 故选：D 1.（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值. 【详解】由题意可知：， 因为,所以当时，； 当时，则, 则或，解得或， 综上得，a的取值集合是. 故答案为： 3.（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义及集合的包含关系求解即得. 【详解】依题意，，则， 由，得，所以的取值范围是. 故答案为： 考点四、子集个数问题 1.（2024·安徽·模拟预测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】求出集合中元素，进而求出集合的子集个数． 【详解】由题意得，， 则的子集个数为， 故选：C． 2.（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知集合，，则子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求出，由此可判断子集的个数. 【详解】， 所以， 所以子集的个数为个. 故选：B. 1.（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】先确定集合中的元素，再求其非空真子集个数. 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 2.（2024·湖北武汉·模拟预测）设集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质化简集合、，即可求出，再判断其子集个数． 【详解】因为，， 所以，则的子集有个. 故选：C 3.（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【分析】解不等式求得集合，再根据子集定义得结论． 【详解】由得，，所以， 因此的非空真子集个数为， 故选：C． 4、（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解. 【详解】因为， 所以， 所以集合C的子集个数为. 故选：D 考点五、集合的并交补运算 1. （2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 2. （2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 1.（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2.（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而 . 故选：A. 3.（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 4.（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 5.（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 6.（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则 或，选项D错误； 故选：A. 7.（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 考点六、Venn图的运用 1.（2024·湖南邵阳·三模）已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据并集运算求得，然后利用补集的概念求解阴影部分表示的集合即可. 【详解】因为，，所以， 所以图中阴影部分表示的集合或. 故选：D 2.（2024·湖北黄冈·二模）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦恩图来理解集合的运算即可. 【详解】 因为， 由韦恩图可知，阴影部分表示，所以. 故选：B. 1.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断. 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 故选：D． 2.（2024·山西·三模）已知集合，均为集合的子集，则表示的区域为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据韦恩图及补集、交集的定义判断即可. 【详解】由韦恩图可知包含区域①④， 所以表示的区域为①. 故选：A 3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由集合的运算结合的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， ， 则,， 由集合的运算可知，表示中去掉的部分， 所以. 故选：D 4.（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．70% B．60% C．50% D．40% 【答案】C 【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可． 【详解】由题意可得如下所示韦恩图： 所求比例为：． 故选：C． 5.（2023·四川南充·一模）已知全集，集合，，则能表示A，B，U关系的图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】计算出集合、后结合集合的关系即可得. 【详解】由，得，解得，即， 由，得，即， 则，又，，故选项C正确. 故选：C. 考点七、充分条件与必要条件 1.（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2.（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件， 由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件， 综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件， 故选：A. 1.（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2.（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3.（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4.（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5.（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 6.（2024·天津·模拟预测）已知，，则是的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 考点八、全称量词命题与存在量词命题、 1.（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2.（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（    ） A．且 B．或 C．， D．， 【答案】D 【分析】本题可通过、、、、得出结果. 【详解】A项：因为，所以且是假命题，A错误； B项：根据、易知B错误； C项：由余弦函数性质易知，C错误； D项：恒大于等于，D正确， 故选：D. 1.（22-23高三上·天津滨海新·期中）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】若命题“，”为真，则，因此求出的最大值即可. 【详解】令，，故 故答案为： 2.（2022高三上·河南·专题练习）已知命题，，则命题的真假以及否定分别为（    ） A．真，， B．假，， C．真，， D．假，， 【答案】C 【分析】利用基本不等式可推理得到命题为真，再否定量词和结论，即得命题的否定. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，故命题为真． 又，. 故选:C． 3.（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况分类讨论即可求解. 【详解】根据题意可知关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则满足，解得， 综上， 故选：B 4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，若为假命题，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知命题为假命题， 则为真命题， 设，则， 由于在R上单调递增，故在上单调递减， 则，故， 故答案为： 5.（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可. 【详解】命题“，”是假命题， 则“，”是真命题， 所以有解， 所以， 又， 因为，所以， 即. 故选：B. 1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集、并集概念计算即可. 【详解】因为集合，若，则， 即集合，所以. 故选：A 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：C 3．（2024·山东青岛·三模）已知命题 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题 为全称量词命题， 则为：. 故选：D 4．（2024·江苏苏州·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，根据集合交集的概念可得. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 5．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成， 而，，则， 得， 故所求集合为. 故选：C. 6．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合的交集运算求解. 【详解】因为， 则 故选：D 7．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用列举法表示出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以． 故选：A． 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）设为数列的前项和，，则“”是“数列是以为公比的等比数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断方法和等比数列的前项和公式分析即得结论. 【详解】由，若，等式显然成立， 但是数列的通项和前项和都没有规定，故得不出“数列是以1为公比的等比数列”的结论， 即“”不是“数列是以为公比的等比数列”的充分条件； 而由“数列是以为公比的等比数列”可知，若，则显然成立， 当时，有成立，即必有成立， 故“”是“数列是以为公比的等比数列”的必要条件. 故选：C. 2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定集合，由确定的取值范围. 【详解】根据题意，， 因为，所以，则， 所以. 故选：D 3．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式得到，，充分性成立，举出反例，故必要性不成立. 【详解】a，b均为正实数，，故， ， 充分性，，，故，充分性成立， 必要性，，不妨设，满足， 但不满足，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则； 反之，当时，或，解得或， 若，，满足，若，显然满足， 因此或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 6．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式求出两个集合，再求出，然后求即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得或， 所以，所以， 所以． 故选：B 7．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 1．（2022·天津·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：A. 2．（2022·浙江·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 3．（2002·江苏·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的关系及交集的定义分析判断. 【详解】由题意可知：比如，即， 对任意，则， ∵，则，即， ∴，且，B正确，D错误； 又∵，令，解得，即， ∴，且不是的子集，A、C错误； 故选：B. 4．（2022·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 5．（2022·全国·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 6．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 7．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 8．（2021·天津·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】 ， ，. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$