第5课：直角三角形的性质与判定2023-2024学年七年级升八年级人教版数学上册衔接讲义

第5课：直角三角形的性质与判定 七升八人教版数学衔接讲义 素养目标： 1、了解直角三角形的概念, 2、了解直角三角形两个锐角的关系:直角三角形的两个锐角互余 3、能运用直角三角形的性质定理进行简单的推理、判断和计算 4、让学生体会到数学来源于生活又应用于生活,激发学生学习数学的兴趣培养学生发现问题解决问题的能力。 教学重点：理解和应用直角三角形的性质定理 教学难点：直角三角形的性质定理的证明思想方法 知识点一、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言：在△ABC中， ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. 2.直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC. 注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”. 特别解读：在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解. 例1、如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______. 例2、如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 又有什么关系？为什么？ 例3、如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数． 针对练习1、如图，在 △ABC 中：∠C＝90°，点 D 在 AC 上 DE∥AB，若∠CDE＝160°，则 ∠B 的度数为_____. 针对练习2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB. 针对练习3、已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF. 知识点二、直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形. 例1、具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 A. ∠A + ∠B = ∠C B. ∠A = ∠B = ∠C C. ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3 D. ∠A = 2∠B = 3∠C 例2、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形. 例3、如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 针对练习1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形． 针对练习2、如图，在 △ABC 中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为 D、E，∠AFD＝158°，求 ∠EDF 的度数. 针对练习3、(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？ (2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？ (3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？ 小结： 巩固练习： 1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为(　　) A.65° B.60° C.45° D.30° 第1题图　 第2题图 第5题图 2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　　) A．1个 　　 B．2个 C．3个 　　D．4个 3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　) A．120° 　B．90° 　 C．60° 　 D．30° 4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(　　) A．70° 　　B．75° C．80° 　　D．85° 6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 (　　) A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C 7．直角三角形的三个内角的度数之比可以是 (　　) A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．4∶5∶6 D．3∶3∶6 8．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　　)度． A．70 B．65 C．60 D．55 第8题图　 第12题图 第13题图 9．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 (　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 10．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________． 11．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是 . 12．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 . 13．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 . 14．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形． 15．已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF. 课后作业： 1．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C 2．如图，点P是△ABC中，∠B、∠C的角平分线的交点，∠A=102°，则∠BPC的读数为（　　）. A．39° B．78° C．102° D．141° 3．如图，AE、AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中。，，AD是的角平分线，过点D作交AC于E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且，那么的大小为（　　） A．35° B．20° C．15° D．10° 6．如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=26°，点D在边BC上，连结AD．当AD=AC时，∠ADC的大小为（　　） A．54° B．56° C．64° D．74° 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠CDE度数为（　　） A．71° B．64° C．80° D．45° 8．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50 ，则∠ABD+∠ACD的值为（　　） A．60 B．50 C．40 D．30 9．△ABC中，∠A－∠B=∠C，则△ABC是　 　三角形. 10．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=　 　度. 11．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的余角的度数是　 　． 12．将如图所示的一块直角三角板放置在△ABC上，使三角板的两条直角边DE、EF分别经过点B、C，若∠A=65°，则∠ABE+∠ACE=　 　． 13．已知如图， 平分 ，当 ，且 时， 的度数为　 　． 14．如图所示，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝80°，∠EAD＝10°，求∠B的度数 15．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD=BD，求∠C和∠AFB的度数. 16．如图，AD是ΔABC的角平分线，AE是BC边上的高线。已知∠B=50°，∠C=60°，求∠EAD的度数。 17． 两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数． 18．如图，三角形 中， 是 上一点， 是 上一点， ， ， ，垂足为 ．求 是多少度？ 学科网（北京）股份有限公司 $$