第2课：三角形的高、中线、角平分线2023-2024学年七年级升八年级人教版数学上册衔接讲义

第2课：三角形的高、中线、角平分线 七升八人教版数学衔接讲义 素养目标： 1、 理解三角形的高、中线与角平分线的观点和性质。 2、能够识别三角形中的高、中线与角平分线，并能够在实际问题中应用。 3、培养观察、分析和解决问题的能力，提高数学素养。 教学重点：理解三角形高线的性质和作用，掌握其在实际问题中的应用。 教学难点：正确识别三角形中的高、中线与角平分线，并能够灵活运用。 知识点一、三角形的高 从三角形的一个顶点，向它的对边所在的直线作垂线： 顶点和垂足 之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高 注意：标明垂直的记号和垂足的字母 例1、请画出下列三角形的三条高. 例2、如图，在 中， 边上的高为 例3、如图，△ABC的三条高AD，BE，CF相交于点H，下列结论错误的是（　　） A．∠DAC＝∠CBE B．∠ACF＝∠ABE C．∠ABC＝∠CHD D．∠BHD＝∠BAC 针对练习1、如图，于点D， 于点C， 于点F，下列关于高的说法错误的是（ ） A．在 中， 是 边上的高 B．在 中， 是 边上的高 C．在 中， 是 边上的高 D．在 中， 是 边上的高 针对练习2、如图，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B. (1) △ABC的边BC上的高为 ，边AB上的高为 ； (2)若AB＝5，BC＝2，CD＝，则AE＝ . 针对练习3、如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 知识点二、三角形的中线 三角形中，连接一个顶点和它的对边 中点 的线段叫做三角形的中线． 重心：三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 例1、请画出下列三角形的中线. 例2、如图，是的中线，已知的周长为，比长，求的周长。 例3、如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求 （1）AD的长； （2）△ACE和△ABE的周长的差． 针对练习1、学校有一块三角形的实验地，请思考如何用不同的方法将三角形面积四等分(方法不唯一). 针对练习2、如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. 针对练习3、如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，求AB的长 知识点三、根据三角形中线求面积：三角形的中线平方三角形面积 例1、如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ 例2、如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 例3、如图，在中D、E分别是的中点，，则 ． 针对练习1、如图，在 中， 为中线， 为 中点，连接 ， ， ， 的面积为12，则三角形 的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 针对练习2、如图，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线. (1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长； (2)若S△ABC＝8，求S△ABE. 针对练习3、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？ 知识点四、三角形的角平分线 1、定义：三角形的一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的 顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线． 2、三角形角平分线的符号语言： ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD 3、内心：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。 例1、请画出下列三角形的中线. 例2、如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 例3、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数． 针对练习1、如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数． 针对练习2、如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数． 针对练习3、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，EF交AD于点O.试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由. 小结： 巩固练习： 1．下列各图中，画出AC边上的高，正确的是(　　) 2．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这个交点一定在(　　) A．三角形内部 B．三角形的一边上 C．三角形外部 D．三角形的某个顶点上 3．下列说法正确的是 (　　) A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形的内部 B．直角三角形的高只有一条 C．钝角三角形的三条高都在三角形的外部 D．三角形的高至少有一条在三角形的内部 4．如图，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝∠CAD，下列说法正确的是 (　　) A．直线AD是△ABC的边BC上的高 B．线段BD是△ABD的边AD上的高 C．射线AC是△ABD的角平分线 D．△ABC与△ACD的面积相等 　　 第4题图　 第5题图 第6题图 5．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(　　) A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE 6．如图，AD是△ABC的中线， 已知△ABD的周长为 25 cm，AB比AC长6 cm， 则△ACD的周长为( ) A. 19 cm B. 22 cm C. 25 cm D. 31 cm 7．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( ) A. 20° B. 30° C. 45° D. 60° 　 第7题图　 第8题图 第9题图 8．如图，如果AD是△ABC的中线，那么下列结论：①BD＝CD；②AB＝AC；③S△ABD＝S△ABC.其中一定成立的有 (　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有(　　) ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于(　　) A．2 cm2 B．1 cm2 C. cm2 D. cm2 　　 第10题图　 第11题图 第12题图 11．如图，若BD＝DE＝EC，则AD是△ 的中线，AE是△ 的中线． 12．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E.若∠ACB＝60°，则∠EDC＝ °. 13．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝________． 　 　 第13题图　 第14题图 第15题图 14．如图，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝4 cm，BC＝8 cm，CE＝6 cm，则AD的长为 . 15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC的重心，连接BO并延长交AC于点D，已知△ABC的周长为21 cm，若△ABD的周长比△BCD的周长大3 cm，则AB的长为 cm. 16．如图，在△ABC中，∠C＝90° . (1)指出图中BC，AC边上的高. (2)画出AB边上的高CD. (3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来. (4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB 边上的高CD的长. 17．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长和底边长． 18．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5和11.5两部分，求这个等腰三角形各边的长． 19．如图，已知AD，AE分别是直角三角形ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm.求： (1)AD的长； (2)△AEC的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差． 20．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O. (1)DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． (2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠CAB的平分线”“DE∥AB”“DF∥AC”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个证明． 课后作业： 1．在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（　　） A． B． C． D． 2．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 3．如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为（　　） A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm 4．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F； ②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C．其中正确个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1﹣S2＝（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．0.5 7．已知，在△ABC中，∠B=48°，∠C=68°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为　 　． 8．如图，AD、BE分别是 ABC的高，AC＝9，BC＝12，BE＝10．则AD＝　 　． 9．如图，在 中， 是 上的中线， ，若 ，则 　 　. 10．如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为　 　． 11．一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条高的长分别为4和12，则第三条高的长为　 　． 12．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是　 　． 13．已知AD为 的中线， ，且 的周长比 的周长少2cm，则AC=　 ． 14．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数. 15．如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ． （1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长； （2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数． 16．如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求△CAD的面积。 17．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？ 18．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $$