精品解析：2024年广东省汕尾市陆丰市普宁华美实验学校中考三模数学试题

2024年中考第三次模拟考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 4. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ） A. 左视图会发生改变，主视图不变 B. 俯视图会发生改变，左视图不变 C. 主视图会发生改变，俯视图不变 D. 三种视图都会发生改变 5. 下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是等腰直角三角形，，若，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 正八边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的为（　 ） A. B. 点 C. D. 二次函数的最大值为 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径、画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，分别交，于点，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解___________． 12. 若，则______． 13. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 14. 如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则______． 15. 如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是______． 16. 如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是______． 三、解答题（一）（本大题共4小题，17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分） 17. 计算：． 18. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； （2）若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______． 20. 某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？ 四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分） 21. 为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 A m B 24 C 14 D 10 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中m＝______；扇形统计图中，B等级所占百分比是______，C等级对应的扇形圆心角为______度； （2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有______人； （3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率． 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． （1）______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． （1）如图1，当点M在上时，______度； （2）如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，（点Q在下方），则的长为______． 五、解答题（三）（24题12分，25题12分，共24分） 24. 如图，四边形是的内接正方形、是的两条切线，C、D为切点． （1）如图1，求的半径； （2）如图1，若点E是的中点，连接，求的长度； （3）如图2，若点M是边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在的上方作，交直线于点N，求证：． 25. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年中考第三次模拟考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了了绝对值，实数的大小比较，熟练掌握求一个数的绝对值，实数大小的比较原则是解题的关键． 先计算绝对值，后比较大小即可． 【详解】解：，， ∴，四个结果绝对值最大的数是， 故选B． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减，单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式等计算法则计算即可． 【详解】A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减，单项式乘以单项式、积的乘方、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握单项式乘以单项式、积的乘方、完全平方公式运算法则． 3. 据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案. 【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30， 处于最中间是数是28， ∴这组数据的中位数是28， 在这组数据中，29出现的次数最多， ∴这组数据的众数是29， 故选D． 【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 4. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ） A. 左视图会发生改变，主视图不变 B. 俯视图会发生改变，左视图不变 C. 主视图会发生改变，俯视图不变 D. 三种视图都会发生改变 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三视图，准确判断变化后的几何体的三视图即可得到答案． 【详解】解：若将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图和左视图会改变，俯视图不变． 故选：C 5. 下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； B．原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； C．原方程可化为，，∴有两个不相等的实数根，不符合题意； D．，∴有两个相等的实数根，符合题意． 故选：D． 6. 如图，是等腰直角三角形，，若，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键．由，，根据平行线的性质，可求得，根据是等腰直角三角形，得出，又由邻补角的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 7. 正八边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角，根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于， ∴正八边形的外角和等于 故选：A． 8. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的为（　 ） A. B. 点 C. D. 二次函数的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线交轴于，，根据判别式，点的坐标为，对称轴为直线，可知点的坐边，图像开口向下，根据韦达定理可求出系数关系，根据对称轴可求出抛物线最大值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，，故选项正确； ∵点的坐标为，对称轴为直线， ∴，即对称轴到点的距离是， ∴点，故选项正确； 由，，，图像开口向下， ∴根据韦达定理得，，， ， ∴，， ∴，故选项错误； ∵对称轴为直线， ∴二次函数的最大值是，故选项正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像与轴交点，与轴交点的特点，对称轴，最大值的计算方法是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径、画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，分别交，于点，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再根据，解决问题即可． 【详解】解：，，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查作图基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，三角函数定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作轴于点E． 由题意可得，是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式m，再用平方差公式分解即可． 【详解】解；． 故答案为；． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的基本性质，由题意得到，再利用比例的基本性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 13. 小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 石头 剪子 布 石头 （石头，石头） （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，剪子） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） （布，布） 一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 14. 如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据题意得出，再由多边形内角和得出，最后利用圆周角定理即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 15. 如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，由折叠可知， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵的长为， ∴阴影部分的周长为：． 16. 如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，取的中点T，连接，先求出，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求解即可． 【详解】解：如图，取的中点T，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴的最小值为4． 三、解答题（一）（本大题共4小题，17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查负整数指数及零次幂的运算，求算术平方根，先计算负整数指数及零次幂的运算，求出算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 不等式的解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； （2）若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______． 【答案】（1） 如图，即为所求； ； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换和位似变换． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点，即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标，再根据位似的性质写出的坐标即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为， ∴或． 故答案为：或． 20. 某工厂接到生产第19届杭州亚运会吉祥物“江南忆（宸宸、琮琮、莲莲）”整套的订单，工厂安排甲、乙两个车间共同生产．若甲车间生产5天，乙车间生产3天，则两个车间的产量一样多．若甲车间先生产300套“江南忆”，然后两个车间又各生产4天，则乙车间比甲车间多生产100套“江南忆”．两车间每天各生产多少套“江南忆”？ 【答案】甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆” 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题关键． 设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲车间每天生产x套“江南忆”，乙车间每天生产y套“江南忆”， 则可列方程组为， 解得． 答：甲车间每天生产150套“江南忆”，乙车间每天生产250套“江南忆”． 四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分） 21. 为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 A m B 24 C 14 D 10 根据图表信息，回答下列问题： （1）表中m＝______；扇形统计图中，B等级所占百分比是______，C等级对应的扇形圆心角为______度； （2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有______人； （3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率． 【答案】（1）12；40%；84 （2）280 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出抽查总人数，再求B等级所占百分比、C等级对应的扇形圆心角、m的值； （2）用1400乘以成绩为A等级的学生人数的占比即可得结果； （3）根据列表法求概率即可. 【小问1详解】 解：抽查总人数为：（人）； ； B等级所占百分比是：； C等级对应的扇形圆心角为； 【小问2详解】 （人）； ∴若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有280人； 【小问3详解】 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） (甲，丁) 乙 （甲，乙） （乙，丙） (乙，丁) 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丙，丁） 丁 （甲，丁） （乙，丁） (丙，丁) P（甲、乙两人至少有1人被选中）=． 【点睛】本题主要考查统计表和扇形统计图、根据样本所占比估计总量、概率的求解，掌握相关计算公式和概率的求解方法是解题的关键． 22. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． （1）______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】（1），，， （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则． ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接． （1）如图1，当点M在上时，______度； （2）如图2，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，（点Q在下方），则的长为______． 【答案】（1）30 （2）①， 理由如下： ∵四边形是正方形， ，． 由折叠可得：，， ，． 又， ， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出； （2）①由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出； ②设，则，．求出，，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①略 ②设，则，． ∵， ∴， ∴，． 在中，由， 得， 解得， ∴的长为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 五、解答题（三）（24题12分，25题12分，共24分） 24. 如图，四边形是的内接正方形、是的两条切线，C、D为切点． （1）如图1，求的半径； （2）如图1，若点E是的中点，连接，求的长度； （3）如图2，若点M是边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在的上方作，交直线于点N，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明： 如图 2，在 上截取 ，连接 , ， ∴， ∵由（1）得： ， ∴， ∴， ∵， 在 和 中 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出 的半径即可； （2） 利用垂径定理得出 ，进而利用勾股定理得出即可； （3）在 上截取 ，连接 ，利用（1）中所求，得出 ， 再利用全等三角形的判定与性质得出即可； 【小问1详解】 如图1，连接 ， ∵、 是 的两条切线，、 为切点， ∴， ∵四边形 是 的内接正方形， ∴四边形 是正方形， 【小问2详解】 如图1，连接 ， ∵点 是 的中点， ∴， 则 ， 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出 是解题关键 25. 如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 （1）求抛物线的关系式； （2）是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），面积最大为 （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【小问1详解】 解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． 【小问3详解】 解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $