精品解析：2024年安徽省合肥市蜀山区中考模拟数学试题

2024年九年级质量调研检测（二） 数学试卷 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. 0.6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较问题，求一个数的绝对值，其中对于无理数的大小比较是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴绝对值最小的数是0， 故选B． 2. 下列计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方运算，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 文房四宝是中国古代传统文化中文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形求解即可． 【详解】解：从上面看，看到的图形如下： 故选：C． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的除法，掌握先把分式的分子、分母分解因式，转化除法为乘法进行约分是解题的关键． 【详解】解： ， 故选D． 5. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（ ） A. 与轴交于点 B. 不经过第一象限 C. 随的增大而增大 D. 与轴交于点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象平移，根据平移规律“上加下减”，得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度后得到的解析式为， A、当，，与轴交于点 ，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不经过第一象限，故该选项正确，符合题意； C、 ，则随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； D、当时，，则与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出的2个数之和是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. 列表可得出所有等可能的结果数以及取出的个数之和是的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 共有种等可能的结果，其中取出的个数之和是的倍数的结果有: , 共种, ∴取出的个数之和是的倍数的概率是， 故选: A． 8. 如图，四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点E、F，则的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案 【详解】如图, 连接, ∵是线段的垂直平分线， ， 在中, 在中, 则, 即 解得： 故选: C 9. 如图，正方形边长为6，点E、F分别在、上，且，点G、H分别为线段、的中点，连接，若，则的长为（ ） A 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 连接并延长，交于点，连接，根据正方形的性质推出, 根据得到, 从而推出, 判定后根据全等三角形的性质得到, 根据推出, 根据是的中点得到, 从而判定, 根据全等三角形的性质得到，根据等量代换得到, 判定为等腰直角三角形，根据三角形中位线的定义判定是的中位线后求出的长，根据等腰直角三角形的性质求出和的长，最后用减去即可求出的长． 【详解】如图, 连接并延长, 交于点, 连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵是中点, , ∴是三角形的中位线， ∴， ∴． 故选: A． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立是（ ） A. 、两点之间的距离为个单位长度 B. 若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C. 若、在该抛物线上，当时，则 D. 若，当时，的最大值与最小值的差为，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，根据题意分别求得的坐标，即可判断A选项，将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可判定B选项，根据二次函数的性质，，则两点的中点在对称轴的右侧时，，进而求得的范围，即可判断C选项，根据题意得出在抛物线上，且，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， 解得： ∴ ∴，故A选项正确； ∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴当抛物线与线段有交点时，则，故B选项正确， ∵，对称轴为直线，、在该抛物线上，当时 ∴ 解得：，故C选项不正确； 若，则抛物线解析式为 顶点为 ∴当时最小值为， 当时， ∵时，的最大值与最小值的差为， ∴， ∴在抛物线上， 当时， 解得：或（舍去） 故D选项正确 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、算术平方根，先计算零指数幂、算术平方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 大鹏一日同风起，扶摇直上九万里．国产大飞机自年月日开启首次商业航线以来，截至年月日，东航机队累计执飞商业航班共计班，累计商业运行小时，运输旅客约人次，其中数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点, ∴关于原点对称， ， ， 设, ， ， ∴， ，即 ， 解得，（舍去） ， 故答案为:． 14. 如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为__________度； （2）的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质及折叠性质得点在同一条直线上，证四边形为菱形得， 则， 由此得，进而可得的度数； （2）设， 则， 则， ， 设，， 证得， 则， 将代入， 得， 则， 由此可得 值. 【详解】（1）∵四边形为矩形， 点是对角线的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为： . （2）由（1）可知： 四边形为菱形， ，设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ 同理可得， ∴C， 即，， ∴， ∵，， ∴， 整理得： ， ∴， ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式． 【详解】解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 解得：． 16. 某景区2022年共接待游客约580万人次，2023年比2022年游客总数增加了，其中省内游客增加了，省外游客增加了，求该景区2022年省内，外游客分别为多少万人次？ 【答案】该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 设该景区年接待省内游客万人次，则接待省外游客万人次, 该景区年接待省内游客万人次, 省外游客万人次, 根据年比年游客总数增加了，可列出关于的一元一次方程，解之可得出该景区年接待省内游客人次数，再将其代入中，即可求出该景区年接待省外游客人次数. 【详解】设该景区年接待省内游客万人次，则接待省外游客万人次, 该景区年接待省内游客万人次, 省外游客万人次, 根据题意得： 解得:, ∴(万人次)。 答：该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； （2）将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） （3）画出格点，使得．（只需画出一个点，作图过程用虚线表示） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、平移变换、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）以点为直角顶点作等腰直角三角形，即可得格点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得， 则点即为所求（答案不唯一）． 18. 【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式： 第3个等式： ； … 【规律应用】 （1）写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： （2）根据以上的规律直接写出结果： _________²； （3）若 与的差为， 求n的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第4个式子；同时总结出第n个等式的结果； （2）根据（1）中结果求解即可； （3）由（1）的规律代入进行运算求解即可． 【小问1详解】 解：第4个等式：； ； 【小问2详解】 根据（1）中结果得：， ， 故答案为：； 【小问3详解】 根据（1）中结果得：与的差为， ∴， 解得：（负值舍去）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，) 【答案】塔高约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，设米，在，中，分别求得，根据，建立方程，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度：，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 20. 如图，四边形内接于，，对角线为的直径，延长交过点的切线于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识：， （1）连接并延长交于F，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，设，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于， ， ， 是的切线， ， ， 为的直径， ， ； 【小问2详解】 解：为的直径， ， ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按下表进行整理．（成绩用x分表示） 测试成绩 级别 及格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据所给的信息解答下列问题： （1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为 人，并补全频数分布直方图； （2）根据上面的频数分布直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估算所抽取的学生的平均成绩； （3）若该校有3400名学生，请估计测试成绩在良好以上的学生约有多少名？ 【答案】（1），补图见解析 （2）抽取的学生的平均成绩为分 （3）名 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图和条形统计图，解题的关键是熟练掌握用样本估计总体，读懂扇形统计图和条形统计图所包含的信息． （1）用优秀的人数除以他所占的百分比可得到调查的总人数；让总人数减去其它等级得到人数计算良好人数，然后补图即可； （2）利用算术平均数的求法求解即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：名， ∴良好等级的人数为名，补图为： 故答案为：； 【小问2详解】 解：抽取的学生的平均成绩为：分， 答：抽取的学生的平均成绩为分； 【小问3详解】 解：名， 答：估计测试成绩在良好以上的学生约有名． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，和中，，，，连接，且，过点作交线段ED的延长线于点G，与相交于点，连接，． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，连接，过点作于，交于，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求得即可； （2）利用平行线的性质和（1）的结论得到利用其实当时就行的判定与性质得到再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的性质解答即可； （3）过点作于点，利用平行四边形的性质， 等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，利用等腰直角三角形的性质求得，再利用解答即可. 【小问1详解】 证明: ∵, ∵, ∴，, ∴； 【小问2详解】 四边形的形状是平行四边形，理由： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴. 在和中, ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 过点作于点, 如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键. 八、（本题满分14分） 23. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】（1） （2）（i）最大距离为 （ii） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【小问1详解】 解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 (i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级质量调研检测（二） 数学试卷 温馨提示： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. 0 C. 0.6 D. 2. 下列计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 苯（分子式为）环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（ ） A. 与轴交于点 B. 不经过第一象限 C. 随的增大而增大 D. 与轴交于点 7. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点（1，3，5，7，9）为阳数，黑点（2，4，6，8，10）为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出2个数之和是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点E、F，则的长为（ ） A. 6 B. C. 7 D. 9. 如图，正方形边长为6，点E、F分别在、上，且，点G、H分别为线段、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立是（ ） A. 、两点之间的距离为个单位长度 B. 若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C. 若、在该抛物线上，当时，则 D. 若，当时，的最大值与最小值的差为，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 12. 大鹏一日同风起，扶摇直上九万里．国产大飞机自年月日开启首次商业航线以来，截至年月日，东航机队累计执飞商业航班共计班，累计商业运行小时，运输旅客约人次，其中数据用科学记数法表示为__________． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为__________． 14. 如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为__________度； （2）的值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式． 16. 某景区2022年共接待游客约580万人次，2023年比2022年游客总数增加了，其中省内游客增加了，省外游客增加了，求该景区2022年省内，外游客分别为多少万人次？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出； （2）将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） （3）画出格点，使得．（只需画出一个点，作图过程用虚线表示） 18. 【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式： 第3个等式： ； … 【规律应用】 （1）写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： （2）根据以上的规律直接写出结果： _________²； （3）若 与的差为， 求n的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．(精确到米)(参考数据：，，，，，) 20. 如图，四边形内接于，，对角线为的直径，延长交过点的切线于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学成绩，将测试成绩按下表进行整理．（成绩用x分表示） 测试成绩 级别 及格 中等 良好 优秀 并绘制了如下不完整的统计图： 请根据所给的信息解答下列问题： （1）请直接写出参加此次调查的学生的人数为 人，并补全频数分布直方图； （2）根据上面频数分布直方图，我们可以用各组的组中值（数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数．例如：的组中值为）代表该组数据的平均值，据此估算所抽取的学生的平均成绩； （3）若该校有3400名学生，请估计测试成绩在良好以上的学生约有多少名？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，和中，，，，连接，且，过点作交线段ED的延长线于点G，与相交于点，连接，． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由； （3）如图2，连接，过点作于，交于，若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$