专题07 柱体- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题07 柱体 考点剖析 7 【知识点1】棱柱 7 【知识点2】圆柱 8 【知识点3】柱体的体积与表面积 8 过关检测 9 A组 双基过关 9 B组 巩固提高 11 C组 综合训练 17 D组 拓展延伸 26 【知识点1】棱柱 在上一章学习中我们见到过的长方体、四面体等都是由若干三角形或平面多边形包围起来的几何体。像这样由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体（Polyhedron），构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面（face），相邻面的公共边称为多面体的棱（edge），棱与棱的交点称为多面体的顶点（vertex）。 观察图11-1-1中的多面体，可以发现它们有如下的共同特征：有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行。我们把这样的多面体叫做棱柱（prism）。那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高。侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱（right prism），否则称为斜棱柱（obl1quepr1sm），底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱（regular prism）。 提示：棱柱常用表示两底面多边形的记号（顶点相应排列）再用短横连接来记.例如，图11-1-1中，三棱柱（1）可记为棱柱ABC-A'B'C'，六棱柱（3）可记为棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'. 棱柱的概念及其性质 名称 定义 性质 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱。侧棱不垂直底面的棱柱叫做斜棱柱。 1. 侧棱都相等且互相平行 2. 侧面都是平行四边形 3. 两个底面与平行于底面的截面（对角面）是全等的多边形 4. 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 直棱柱 侧棱柱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 1. 侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高 2. 侧面是矩形 3. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 4. 对角面是矩形 正棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 1. 侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高 2. 侧面是全等的矩形 3. 两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形 4. 对角面是矩形，有的会是全等的矩形 通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。例如，图11-1-1中，（1）是三棱柱，又因为它的侧棱不垂直于底面，所以是斜三棱柱；（2）是四棱柱，又因为侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱；（3）的底面是正六边形，侧棱又垂直于底面，所以是正六棱柱。 棱柱的分类 （1）根据棱柱底面边数分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱…… （2）按照棱柱的侧棱与底面的位置关系分别称做斜棱柱（侧棱与底面不垂直），直棱柱（侧棱与底面垂直） （3）底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱 （4）平行六面体的性质见下表： 名称 定义 性质 平行六面体 底面是平行四边形的四棱柱 1. 具有一般棱柱所有的性质 2. 六个面都是平行四边形 3. 相对的两个面都互相平行且相等 4. 两对角线交于一点且在点互相平分 直平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体 1. 具有平行六面体所有的性质 2. 四个侧面都是矩形，相对的侧面是全等的矩形 3. 对角面是矩形 长方体 底面是矩形的直平行六面体 1. 具有直平行六面体所有的性质 2. 一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和 正方体 棱长都相等的长方体 1. 具有长方体的所有性质 2. 一条对角线的长的平方等于一条棱长的平方的三倍 （5） 关于长方体的对角线的定理即长方体的一条对角线长的平方等于同一顶点上的三条棱的长的平方和，是研究长方体问题的基础。 【知识点2】圆柱 如图11-1-3，将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱（cylinder），AB所在直线叫做该圆柱的轴，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面，CD叫做该圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的高。 根据圆柱的形成过程，易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行。方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体。 【知识点3】柱体的体积 提示：“祖暅原理”是祖冲之（429—500）和他的儿子祖暅（456—536）提出的，解决了球体等几何体体积计算问题。国外用意大利数学家卡瓦列里（B.Caval1er1，1598—1674）的名字命名此原理，称为‘‘卡瓦列里原理”。 我们已经知道长方体的体积等于长、宽、高的乘积。对于一般的柱体，是否也可以给出相应的体积公式呢？ 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异。”这里，“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等。如图11-1-5，这个原理可以用现代的数学语言表示如下： 祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等。 我们可以把图11-1-5看成装满水的两个不同容器。若在任意给定的等高处液面面积相等，则容器中的水一样多。我们还可以用下面的方法直观地解释祖曜原理：如图11-1-6，取一堆书放在桌面上，将这堆书如图那样改变一下形状，这时书堆的高度没有改变，每页的面积也没有改变，这堆书的体积与变形前相等。 有了祖暅原理，下面就可以方便地推导一般柱体的体积。设某个棱柱的底面积是S底，高是h为了计算它的体积，我们先构造一个底面积为S底，高为h的长方体，然后把棱柱和长方体同时置于两个平行平面之间，如图11-1-7所示。 依据棱柱的定义，用平行于底面的任意平面去截棱柱所形成的截面与底面多边形全等，面积自然也相等。这样，由祖曜原理可以得到一般棱柱的体积公式： V棱柱=S底h. 其中，S底为棱柱的底面积，h为棱柱的高。 用类似的方法可以推导出圆柱的体积公式； V圆柱=S底h= 其中，S底为圆柱的底面积，h为圆柱的高，r为圆柱的底面半径。 【知识点4】柱体的表面积 柱体的表面由底面和侧面组成。其中，底面是多边形或圆。因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积。其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积。例如，棱长分别为a、b、c的长方体的表面积等于。 为了计算方便，下面我们只讨论直棱柱和圆柱的表面积。对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长。 我们也可以用平面展开图的方法来求直棱柱的表面积。如图11-1-9，将左边的直六棱柱沿其某条棱剪开，并展开在一个平面上，可以得到右边的平面图形。 显然，这个平面图形的面积就是直棱柱的表面积。其中，所有侧面正好组成一个矩形，此矩形的一边等于棱柱的高h，另一边等于底面多边形的周长c。这样，我们就得到了直棱柱的表面积公式： 其中S底为直棱柱的底面积。 对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积。如图11-1-10，将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形。此矩形的一边等于圆柱的母线长h（即其高），另一边等于底面圆的周长c。这样，我们就得到了圆柱的表面积公式： 其中，S底为圆柱的底面积，r是圆柱底面的半径。 体积、侧面积、表面积的计算公式 名称 侧面积（） 全面积（） 体积（） 棱柱 棱柱 直截面周长 直棱柱 圆柱 表中表示面积，表示体积，表示底面周长，表示高，表示底面半径。 考点剖析 【知识点1】棱柱 【例1】已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC，并且与底面所成角是60°.设侧棱长为 （1）求此三棱柱的高； （2）求证：侧面是矩形； （3）求证：A'在平面ABC上的射影O在∠BAC的平分线上. 【知识点2】圆柱 【例2】证明：（1）过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形； （2）任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆. 【知识点3】柱体的体积与表面积 【例3】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3. （1）求三棱柱ABC­A1B1C1的表面积与体积； （2）求BB1与平面AB1C1所成的角的大小. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海崇明·期末）若正四棱柱的底面边长为3，高为4，则该棱柱的体积为 2．（2023高二上·上海·专题练习）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为 （） 3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的侧面积为,则该几何体的体积为 . 5．（23-24高二上·上海·期中）若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为 . 6．（23-24高二上·上海·期中）已知正方体中，，则该正方体的表面积为 . 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为5，则此正四棱柱的表面积为 . 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若一个圆柱的高为5，底面积为，则该圆柱的体积为 . B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·上海·期末）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度，测得小圆柱底面的直径为4.0厘米，大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量，小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为 米.（取，结果精确到个位） 12．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 13．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 14．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 15．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 17．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 18．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 20．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 21．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    22．（23-24高二上·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 23．（23-24高二上·上海·期中）如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    (1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； (2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积） 24．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 25．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 26．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．    (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】27．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 28．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    29．（22-23高二上·上海徐汇·期末）在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为 .30．（22-23高二上·上海松江·期中）在棱长为1的正方体中,是的中点,分别为线段和上的动点,点为底面上的动点,则到的距离为 ， 的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 柱体 考点剖析 7 【知识点1】棱柱 7 【知识点2】圆柱 8 【知识点3】柱体的体积与表面积 8 过关检测 9 A组 双基过关 9 B组 巩固提高 11 C组 综合训练 17 D组 拓展延伸 26 【知识点1】棱柱 在上一章学习中我们见到过的长方体、四面体等都是由若干三角形或平面多边形包围起来的几何体。像这样由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体（Polyhedron），构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面（face），相邻面的公共边称为多面体的棱（edge），棱与棱的交点称为多面体的顶点（vertex）。 观察图11-1-1中的多面体，可以发现它们有如下的共同特征：有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行。我们把这样的多面体叫做棱柱（prism）。那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高。侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱（right prism），否则称为斜棱柱（obl1quepr1sm），底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱（regular prism）。 提示：棱柱常用表示两底面多边形的记号（顶点相应排列）再用短横连接来记.例如，图11-1-1中，三棱柱（1）可记为棱柱ABC-A'B'C'，六棱柱（3）可记为棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'. 棱柱的概念及其性质 名称 定义 性质 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱。侧棱不垂直底面的棱柱叫做斜棱柱。 1. 侧棱都相等且互相平行 2. 侧面都是平行四边形 3. 两个底面与平行于底面的截面（对角面）是全等的多边形 4. 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 直棱柱 侧棱柱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 1. 侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高 2. 侧面是矩形 3. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 4. 对角面是矩形 正棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 1. 侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高 2. 侧面是全等的矩形 3. 两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形 4. 对角面是矩形，有的会是全等的矩形 通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。例如，图11-1-1中，（1）是三棱柱，又因为它的侧棱不垂直于底面，所以是斜三棱柱；（2）是四棱柱，又因为侧棱垂直于底面，所以是直四棱柱；（3）的底面是正六边形，侧棱又垂直于底面，所以是正六棱柱。 棱柱的分类 （1）根据棱柱底面边数分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱…… （2）按照棱柱的侧棱与底面的位置关系分别称做斜棱柱（侧棱与底面不垂直），直棱柱（侧棱与底面垂直） （3）底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱 （4）平行六面体的性质见下表： 名称 定义 性质 平行六面体 底面是平行四边形的四棱柱 1. 具有一般棱柱所有的性质 2. 六个面都是平行四边形 3. 相对的两个面都互相平行且相等 4. 两对角线交于一点且在点互相平分 直平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体 1. 具有平行六面体所有的性质 2. 四个侧面都是矩形，相对的侧面是全等的矩形 3. 对角面是矩形 长方体 底面是矩形的直平行六面体 1. 具有直平行六面体所有的性质 2. 一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和 正方体 棱长都相等的长方体 1. 具有长方体的所有性质 2. 一条对角线的长的平方等于一条棱长的平方的三倍 （5） 关于长方体的对角线的定理即长方体的一条对角线长的平方等于同一顶点上的三条棱的长的平方和，是研究长方体问题的基础。 【知识点2】圆柱 如图11-1-3，将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱（cylinder），AB所在直线叫做该圆柱的轴，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面，CD叫做该圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的高。 根据圆柱的形成过程，易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行。方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体。 【知识点3】柱体的体积 提示：“祖暅原理”是祖冲之（429—500）和他的儿子祖暅（456—536）提出的，解决了球体等几何体体积计算问题。国外用意大利数学家卡瓦列里（B.Caval1er1，1598—1674）的名字命名此原理，称为‘‘卡瓦列里原理”。 我们已经知道长方体的体积等于长、宽、高的乘积。对于一般的柱体，是否也可以给出相应的体积公式呢？ 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异。”这里，“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等。如图11-1-5，这个原理可以用现代的数学语言表示如下： 祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等。 我们可以把图11-1-5看成装满水的两个不同容器。若在任意给定的等高处液面面积相等，则容器中的水一样多。我们还可以用下面的方法直观地解释祖曜原理：如图11-1-6，取一堆书放在桌面上，将这堆书如图那样改变一下形状，这时书堆的高度没有改变，每页的面积也没有改变，这堆书的体积与变形前相等。 有了祖暅原理，下面就可以方便地推导一般柱体的体积。设某个棱柱的底面积是S底，高是h为了计算它的体积，我们先构造一个底面积为S底，高为h的长方体，然后把棱柱和长方体同时置于两个平行平面之间，如图11-1-7所示。 依据棱柱的定义，用平行于底面的任意平面去截棱柱所形成的截面与底面多边形全等，面积自然也相等。这样，由祖曜原理可以得到一般棱柱的体积公式： V棱柱=S底h. 其中，S底为棱柱的底面积，h为棱柱的高。 用类似的方法可以推导出圆柱的体积公式； V圆柱=S底h= 其中，S底为圆柱的底面积，h为圆柱的高，r为圆柱的底面半径。 【知识点4】柱体的表面积 柱体的表面由底面和侧面组成。其中，底面是多边形或圆。因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积。其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积。例如，棱长分别为a、b、c的长方体的表面积等于。 为了计算方便，下面我们只讨论直棱柱和圆柱的表面积。对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长。 我们也可以用平面展开图的方法来求直棱柱的表面积。如图11-1-9，将左边的直六棱柱沿其某条棱剪开，并展开在一个平面上，可以得到右边的平面图形。 显然，这个平面图形的面积就是直棱柱的表面积。其中，所有侧面正好组成一个矩形，此矩形的一边等于棱柱的高h，另一边等于底面多边形的周长c。这样，我们就得到了直棱柱的表面积公式： 其中S底为直棱柱的底面积。 对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积。如图11-1-10，将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形。此矩形的一边等于圆柱的母线长h（即其高），另一边等于底面圆的周长c。这样，我们就得到了圆柱的表面积公式： 其中，S底为圆柱的底面积，r是圆柱底面的半径。 体积、侧面积、表面积的计算公式 名称 侧面积（） 全面积（） 体积（） 棱柱 棱柱 直截面周长 直棱柱 圆柱 表中表示面积，表示体积，表示底面周长，表示高，表示底面半径。 考点剖析 【知识点1】棱柱 【例1】已知斜三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥BC，并且与底面所成角是60°.设侧棱长为 （1）求此三棱柱的高； （2）求证：侧面是矩形； （3）求证：A'在平面ABC上的射影O在∠BAC的平分线上. 【解析】（1）如图11-1-2，过A'作A'O垂直于平面ABC，O为垂足，则线段AO的长就是三棱柱的高，∠AAO就是侧棱AA'与底面所成角. 由∠A'AO=60°，AA'=，可得三棱柱的高A'O=∠sin60° （2）由棱柱的定义，可知侧面BBCC是平行四边形.又因为AA'⊥BC，AA'//BB'，所以BB'⊥BC，所以侧面BB'C'C是矩形． （3）因为AA'⊥BC，AO垂直于平面ABC，由三垂线定理，知AO⊥BC；延长AO交BC于点D，则AD是△ABC的边BC上的高；因为△ABC是正三角形，所以AD也是∠BAC的平分线，即A'在平面ABC上的射影在∠BAC的平分线上. 【知识点2】圆柱 【例2】证明：（1）过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形； （2）任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆. 【证明】（1）设过圆柱的轴O1O2的任一平面与圆柱相截所形成的截面为AA1B1B，且AB、A1B1都是底面圆的直径，如图11-1-4（1）所示.因为圆柱的底面平行，所以由两个平面平行的性质定理，AB//A1B1.又因为AA1//O1O2//BB1，所以AA1B1B是平行四边形.由O1O2垂直于底面，知AA1垂直于底面，因此AA1⊥A1B1.所以AAB1B是矩形，其一组对边的长是底面的直径，另一组对边的长是圆柱的高，它们都是完全确定的，即这些截面互相都全等. （2）任作一个平行于底面并与圆柱相交的平面，把平面截圆柱侧面所形成的封闭曲线记为C，设P是C上的任意一点，如图11-1-4（2）所示.由圆柱的形成过程，知圆柱侧面上任意一点到圆柱的轴的距离都等于圆柱的底面半径，所以P到点O的距离必等于底面半径，从而C所围出的截面是一个与底面全等的圆. 【知识点3】柱体的体积与表面积 【例3】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3. （1）求三棱柱ABC­A1B1C1的表面积与体积； （2）求BB1与平面AB1C1所成的角的大小. 【答案】（1）,. (2) 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海崇明·期末）若正四棱柱的底面边长为3，高为4，则该棱柱的体积为 【答案】36 【分析】根据给定条件，利用棱柱的体积公式计算即得. 【详解】由正四棱柱的底面边长为3，高为4，得该棱柱的体积. 故答案为：36 2．（2023高二上·上海·专题练习）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为 （） 【答案】或 【分析】利用旋转体圆柱的特征直接求解即可. 【详解】以长的边所在直线为旋转轴， 即得圆柱的底面半径为， 所以底面面积为； 以宽的边所在直线为旋转轴， 即得圆柱的底面半径为， 所以底面面积为. 故答案为：或 3．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出异面直线与所成的角，再求出三角形某个内角即得. 【详解】在正方体中，连接， 正方体的对角面是矩形，则， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 而，即是正三角形，则， 所以异面直线与所成的角为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·阶段练习）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的侧面积为,则该几何体的体积为 . 【答案】 【分析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得几何体为圆柱,根据圆柱的侧面积公式和体积公式求解即可. 【详解】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得几何体为圆柱, 设正方形的边长为,则圆柱的半径和高均为, 所以圆柱的侧面积为, 则圆柱的体积为. 故答案为:. 5．（23-24高二上·上海·期中）若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】利用柱体的体积公式可求得正四棱柱的体积. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则该正四棱柱的体积为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·期中）已知正方体中，，则该正方体的表面积为 . 【答案】 【分析】由正方体的体对角线公式可表示正方形的边长，进而可求得正方体的表面积. 【详解】如图所示， 设正方体的边长为m（），则，解得， 所以正方形的表面积为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为5，则此正四棱柱的表面积为 . 【答案】112 【分析】根据棱柱的表面积公式求解即可. 【详解】正四棱柱的表面积为. 故答案为：112 8．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若一个圆柱的高为5，底面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】直接利用柱体的体积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的高为5，底面积为， 所以该圆柱的体积为， 故答案为：. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 9．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行和面面平行得到线线平行，得到几何体为棱柱，另外，根据柱体和台体体积公式求出答案. 【详解】平面与棱平行，平面平面，平面平面， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 故几何体为棱柱，设棱柱的高为， 故， 又D、E分别是AB、BC的中点，则， 由台体体积公式得， 故 故选：A 10．（23-24高二上·上海·期末）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（    ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【分析】根据题设定义，结合长方体的体积公式、已知量判断长方体的体积是否可以确定即可. 【详解】如下图，根据长方体体积公式，只需确定共顶点的三条棱长即可， 已知的长度，则体积可定，A满足； 由，即可求出，则体积可定，B满足； 由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故体积可定，C满足； 已知无法求出，体积不能确定，D不满足. 故选：D 11．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度，测得小圆柱底面的直径为4.0厘米，大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量，小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为 米.（取，结果精确到个位） 【答案】22 【分析】利用展开前后卷纸的体积相等可得答案. 【详解】设圆柱的高为，则卷纸的体积为， 每层纸的厚度为厘米，展开后的体积为， 所以，解得厘米， 所以这个卷纸的长度为22米. 故答案为：22. 12．（23-24高二上·上海黄浦·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段AB长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的结构特征及异面直线定义，数形结合判断线段长度范围. 【详解】如下图， 要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合， 假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为2，若与重合时线段AB长度最大为， 综上，线段AB长度的取值范围是. 故答案为： 13．（23-24高二上·上海·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的全面积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的全面积公式求解. 【详解】由圆柱的全面积公式得：， 故答案为： 14．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合底面，得到，求得直四棱柱的高，结合棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】由底面是边长为2的菱形，且，可得为等边三角形， 所以，所以底面菱形的面积为, 又由直四棱柱中，可得底面， 所以直线与平面所成角的大小为，即， 在直角中，可得， 即直四棱柱的高， 所以直四棱柱的体积为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 【答案】6 【分析】 根据平面的性质作出截面六边形，然后可计算出周长． 【详解】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 16．（23-24高二上·上海浦东新·期中）若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则 . 【答案】2 【分析】根据三棱柱侧面积公式即可求解. 【详解】因为正三棱柱的所有棱长均为，所以三棱柱的侧面是边长为的正方形， 所以侧面积，所以. 故答案为：2 17．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【答案】详见解析. 【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得. 【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形， 其中，分别为，的中点， 在矩形中，，， 连接，则； 可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为. 18．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据柱体体积公式即可求解， （2）证明三角形为直角三角形，求其面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】（1）由已知可得，圆柱的底面半径，圆柱的高， 圆柱体积为：； （2）设点到平面的距离为， 在等腰中，由，则， 为直径，， 在中，， 则， 由底面，底面,所以， 又，平面，所以平面， 平面， 故， ， ， 由等体积法，得， 解得：． 即点到平面的距离为． C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 19．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）如图所示，在正四棱柱中，为棱的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则四边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F，利用线面平行的判定定理证得平面即为平面，从而得截面四边形为菱形，然后根据菱形面积公式求解即可. 【详解】如图： 过点B作的平行线分别与，的延长线交于G，H，连接，，并分别与交于E，F， 因为，且平面，平面， 所以平面，所以平面即为平面， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又，，所以，所以四边形为菱形， 因为，， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 20．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 【答案】 【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积. 【详解】由题意得为等边三角形，且边长为40，如图所示， 所以弧的长度为， 曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为10的矩形， 所以曲侧面三棱柱的侧面积为. 故答案为： 21．（23-24高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【详解】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 22．（23-24高二上·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知黑“电子狗”、 黄“电子狗”过6段后又回到起点，根据周期性分析求解. 【详解】由题意可知：黑“电子狗”爬行路线为， 即过6段后又回到起点， 同理，黄“电子狗”爬行路线为， 也是过6段后又回到起点， 所以黑“电子狗”爬完2025段后实质是到达点， 黄“电子狗”爬完2022段后到达第六段的终点A， 此时的距离为． 故答案为：．    23．（23-24高二上·上海·期中）如图所示的一块木料，其形状是正四棱柱，记作，是的中点，，，    (1)棱上是否存在一点，使得点在平面上？请说明理由； (2)现需要沿着平面切开这块木料，再将两部分木料重新拼接成一个新的直三棱柱或直四棱柱，求新棱柱的表面积.（求出所有可能的表面积） 【答案】(1)存在点位于的中点处时，点F在平面上理由见解析. (2)新棱柱的表面积为或 【分析】（1）运用经过两条平行线有且只有一个平面证明即可. （2）重新组合后有三种情况，分别计算三种情况下的表面积即可. 【详解】（1）存在点位于的中点处时，点F在平面上. 理由如下：当点位于的中点时，连接、，如图所示，    因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又是的中点，为的中点，所以， 所以， 所以点、、、四点共面，即点F在平面上. （2）①如图所示，    由题意知，，，则， 所以此三棱柱的表面积为（）. ②如图所示，    所以此三棱柱的表面积为（）. ③如图所示，    所以此三棱柱的表面积为（）. 综述：新棱柱的表面积为或. 24．（23-24高二上·上海虹口·期中）已知直四棱柱，，，，，．    (1)证明：直线平面； (2)若该四棱柱的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面平面，再利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）计算出梯形的面积，利用柱体的体积可求得的长. 【详解】（1）证明：在直四棱柱中，， 因为平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，因此，平面. （2）解：因为，，，，， 所以，， 所以，，解得. 25．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，．    (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解； （2）利用等体积转化法即可求解． 【详解】（1）由题意知，平面，所以直线与平面的夹角，即为， 易知，， 又， 故，进而有，， 由圆柱的表面积为， 可得，故， 故直线与平面的正切值为． （2）设点到平面的距离为， 则， 故，又， 因为平面，平面,所以， 又，平面, 所以平面，平面,即， 在中，， 故， 所以，即点到平面的距离为．    26．（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．    (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积求出其高，进而即可求出圆柱的表面积； （2）由题意可得，从而得到异面直线与所成角为，再求出，，再利用余弦定理计算夹角即可求解． 【详解】（1）设圆柱的高为， 由是底面圆的直径，且，， 则,则圆柱的底面半径为， 又圆柱的体积为，解得， 所以圆柱的表面积为． （2）连接，， 由题意可得， 则异面直线与所成角为直线与所成角，即， 又结合（1）可得,， 在中，有， 在中，有， 所以， 故异面直线与所成角的大小为．    D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 27．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 【答案】A 【分析】对于命题甲，连接三点，求解截面积，判断真假；对于命题乙，分类讨论水平面经过点的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解. 【详解】对于命题甲，过三点的截面，连接 可得如图所示，可得，与之间的距离为， 则截面积, 故甲是真命题; 对于命题乙，1.当处的小孔都在水平面时，则三棱台, 则所以容器所装水的多面体的体积, 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图；当处的小孔在水平面上方时，如图；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大， （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于. ②当在线段上时，如图，设，的中点为， 可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为， 此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6. 故命题乙是真命题. 故选：A. 【点睛】分类讨论水平面经过点，的个数，结合图形分析求解. 28．（23-24高二上·上海·期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵中，，堑堵的顶点到直线的距离为，到平面的距离为，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】设，，利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值． 【详解】设，， 则，，， 且到平面的距离为， ，， ，， ， 又， ，， ，，， . 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法和等体积法求出，关于的不等式，根据的范围得出的值. 29．（22-23高二上·上海徐汇·期末）在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果. 【详解】 设G关于平面对称的点为，连接，则， ，的周长， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，， 设，则，所以 即点到与距离和的最小值， 设关于x轴对称的点为， 则 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况. 30．（22-23高二上·上海松江·期中）在棱长为1的正方体中,是的中点,分别为线段和上的动点,点为底面上的动点,则到的距离为 ， 的最小值为 . 【答案】 /0.5 【分析】以为原点,建立如图所示坐标系,取的中点为M,证明出,即可得到的长为到的距离,计算出结果即可. 分别为线段和上的动点,点为底面上的动点,当平面时,有最小值,当为的中点时,有最小值,所以通过把平面绕旋转到与平面在同一平面内,求出点到直线的距离即为最小值. 【详解】以为原点,建立如图所示坐标系,取的中点为,连接, 则,,,, 是的中点,为的中点, ,, ,, 则, , 即的长为到的距离, , 即到的距离为. 为线段上的动点,点为底面上的动点, 当平面时,有最小值, 即在上. 四边形为正方形, , 平面,平面, , 又,平面,平面, 平面, 当为的中点时,有最小值. 把平面绕旋转到与平面在同一平面内,如图所示,为的中点, 过点作于,, 则的最小值即为的长. , 在中,, 又, , 在中, , 即 的最小值为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$