专题05 空间直线与平面的位置关系- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题05 空间直线与平面的位置关系 考点剖析 4 知识点一：直线与平面平行 4 知识点二:直线与平面垂直 7 知识点三:直线与平面所成的角 9 知识点四:三垂线定理 10 过关检测 10 A组 双基过关 10 B组 巩固提高 15 C组 综合训练 21 D组 拓展延伸 28 知识点一：直线与平面平行 1、直线和平面的位置关系 （1）直线在平面上（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点)； 位置关系 直线在平面内 直线和平面平行 直线和平面相交 公共点 有无数多个 没有公共点 有且只有一个公共点 符号表示 α a A 图形表示 α a α a 2、直线与平面平行 判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行． 已知：如图，直线不在平面上，直线在平面上，且， 求证：直线。 证明：假设直线不平行于平面，则直线与平面有公共点，设为点P；在平面上，过点P作已知直线的平行线；因为不在上，所以与不重合。另一方面，因为，，所以，这和与交于点P矛盾，所以假设不成立，即直线. 3、直线与平面平行 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行。 已知直线与平面平行，过直线的一个平面与平面相交于直线. 求证：. 证明：由，故和没有公共点；又因为，所以和没有公共点； 因为和同在平面上，且没有公共点，所以. 知识点二：直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直.就说这条直线与这个平面互相垂直.如果直线与平面垂直，我们记作.这时，直线叫做平面的垂线（或者法线）.与的交点叫做垂足.画示意图时，通常使直线与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 已知：是两条直线，且，求证：. 证明：（反正法）假设与不平行，直线与平面的交点为B，过点B作直线，使得. 由直线与确定的平面记为，设平面与平面的交线为；因为，，所以，；由，又可得出. 直线与都在平面上，都过点B，且都垂直于直线，这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，由此得到. 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推理2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 点到平面的距离定义：由推理2，过平面外任意给定的一点M，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点M与垂足N之间的距离叫做点M到平面的距离； 备注：如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而直线与平面的距离可以转化为直线上任意一点M到平面的距离问题。 知识点三：直线与平面所成的角 1、平面的斜线 当直线与平面相交且不垂直时，称为斜交.直线称为平面的斜线； 斜线与平面的交点称为斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段． 2、斜线在平面上的投影（也称射影） 设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影． 备注：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短． 3、斜线和平面所成角的定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角. 如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角． 【规定】 （1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角； （2）一条直线和平面平行，或在平面上，定义它和平面所成的角是角． 【注意】 （1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关； （2）直线和平面所成角的范围是； （3）斜线和平面所成角的范围是； （4）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角； 知识点四：三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 考点剖析 知识点一：直线与平面平行 例1、（1）已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B （2）直线平面，直线直线，则直线与平面的位置关系是 （ ） A．平行 B．在面内 C．相交 D．平行或相交或在面内 【答案】D 例2、下列四个命题判断正确的是 （ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则a平行于α内所有的直线 D．若，，，则 例3、如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证： （1）； （2）平面： 【解析】（1）取中点，连接， 是中点，且，，，则四边形为平行四边形，，是中点，，则四边形为平行四边形，，； （2）连接，交于，连接，，为中点，，为中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面； 例4、（1）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是_______________. （1） （2） （3） （4） 【答案】(1)(3) （2）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是 （ ） A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 【答案】A 例5、（1）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b （ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 （2）已知三个互不重合的平面，，，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①，；②，；③，．能推得的条件是________． 【答案】①③ 【解析】对于①，成立，证明如下： 证明如下： ，， ，，，又，； 对于②，；③，，不成立，如图 此时和是异面； 对于③，，成立，证明如下： 证明如下：，，，或， 假设，则，，又，， 这与相矛盾，因此不成立，故．故答案为：①③. 例6、（1）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．设平面平面，证明：； 【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. （2）如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 【解析】证明：用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，可得平面，平面， 又平面平面，平面平面， 则，，即，同理可证，所以截面MNPQ是平行四边形. 知识点二:直线与平面垂直 例7、（1）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D （2）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是______________. ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 【答案】①④ 例8、（1）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．求证：平面． 【解析】连接．∵四边形为菱形，，∴是等边三角形． ∵为的中点，∴，．又∵，∴，，∴，∴，∵，∴，． 又，平面，平面，∴平面． （2）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形．求证：平面； 【解析】因为四边形为平行四边形，所以． 因为平面，所以平面，所以． 因为是以为直径的圆上的圆周角，所以， 因为，，平面，所以平面． 例9、（1）已知平面，三条不同直线，，，下列四个选项中，正确的是___________． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 【答案】①④ （2）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则 （ ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 例10、在棱长为的正方体中求出下列距离： ①点到面的距离； ②线段到面的距离； ③点到面的距离； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）因为正方体，则平面， 所以点到面的距离为边长； （2）因为平面，且平面， 所以线段到面的距离为； （3）因为平面，所以点到面的距离为面对角线的AC的，即； （2）已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是 （ ） A．cm B．cm C．2cm D．2cm 【答案】B 解析：如图所示， 过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA；在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm. 知识点三:直线与平面所成的角 例11、（1）若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成角的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知直线与直线所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以与直线所成的角的最小值为，又为异面直线，则直线与所成角的最大值为.故直线与直线所成角的取值范围是，故选：D （2）在正方体中，与平面所成角是 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解析】如图：连交于，连， 因为平面，所以，又，，所以平面，则是直线与平面所成的角，设，则，，所以，所以.故选：A （3）正方体中，为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 知识点四:三垂线定理 例12、如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知. 求证：； 【答案】证明见解析； 【解析】解：（1）连接，易证，又因为平面，所以平面， 因为平面，所以.在矩形中，是线段的中点，, 所以，所以，所以， 又因为，所以平面，所以. 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（    ） A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线，即可得线线平行，进而结合选项即可求解. 【详解】连接相交于， 当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故①错误， 连接相交于， 当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故②正确， 故选：C 2．（23-24高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】充分性，以正方体为例，把直线和平面对应正方体的棱和面，举出反例即可；必要性利用线面平行的性质定理和空间平行线的性质判断即可. 【详解】必要性，若，则存在直线，， 由于，，得， 因为，，所以，必要性成立； 充分性：若平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足， ， 但平面，即，不满足充分性； 所以“”是“”的必要非充分条件； 故选：B.    3．（23-24高二上·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断. 【详解】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得： 当时，可满足题意； 当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意； 当时，无法满足题意. 故直线与平面相交或平行. 故选：B. 4．（23-24高二上·上海金山·期中）已知直线平面是平面上的一条直线，则直线与的关系不可能是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】A 【分析】利用线面垂直的性质即可. 【详解】因为直线平面， 所以， 故直线与的关系可以是异面的，也可以是相交的，不可能是平行的. 故选：A 5．（23-24高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】当两点在平面的异侧时，利用中点的性质即可求解到平面的距离． 【详解】当两点在平面的异侧时，如图， 所以点到平面的距离为1； 故答案为：1． 6．（23-24高二上·上海徐汇·期中）如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）.根据我们所学的 定理，我们可以证明书脊所在的直线垂直于桌面. 【答案】线面垂直的判定 【分析】略 【详解】略 7．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则 . 【答案】4 【分析】根据线面垂直和等腰三角形三线合一的性质得到点为中点，然后根据直角三角形的性质求即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 因为，所以点为中点， 因为，，所以. 故答案为：4.    8．（23-24高二上·上海·课后作业）直线与平面平行的性质定理： 文字语言：一条直线和一个平面平行，如果过 的平面和 相交，那么这条直线与 平行． 图形语言：如图所示．      符号语言：若，且 ，则． 【答案】 该直线 此平面 交线 【分析】由线面平行的性质定理可得. 【详解】由线面平行的性质定理可得：一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面和此平面相交，那么这条直线与交线平行. 符号语言表示为：若，且，则. 故答案为：该直线；此平面；交线；. 9．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案； （2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 因为，由勾股定理得，， 故， 所以； （2）连接交于，则， 因为⊥平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．（2023·上海普陀·二模）设表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则，其中不正确的个数是（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解. 【详解】若且，则或，故命题错误； 若且，则或为异面直线，故命题错误； 若且，则或，故命题错误； 若且，则或相交或异面，故命题错误. 故选：D. 11．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）设平面的斜线在平面的射影为，直线在平面上，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据线线垂直求证线面垂直，即可求解线线垂直. 【详解】过直线上一点作于,直线在平面上，则， 若，则平面POB,所以平面,平面,故， 若，同理可证， 故“”是“”的充分必要条件， 故选：C 12．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可. 【详解】 如图所示，假设在长方形中必存在使得， 又易知平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面， 又，则平面， 因为平面，所以，即存在使得， 但若，如下图所示，不妨设， 过作交直线于P，过作， 易得，所以， 又，则， 则在延长线上，此时①不成立； 易知与不垂直，，所以与不垂直， 又平面，所以不垂直于平面，即②成立 故选：C 13．（23-24高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理即可得. 【详解】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直， A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符， 故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 14．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    【答案】30 【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案． 【详解】如图，过作⊥，交于B1，过A作⊥，交于，    因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为30． 故答案为：30． 15．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）欲证线面垂直，需证线线垂直.根据条件，先证直线垂直于平面内的两条相交直线即可； （2）先确定所求的线面角，再在三角形中求解. 【详解】（1）如图： 因为底面是正方形； 又因为底面，平面； 又平面，且； 所以平面. （2）因为平面，所以即为直线与平面所成的角. 在直角中： ，，. 所以.即为所求. 16．（23-24高二上·上海·期末）为直角梯形，，，，平面，， (1)求证：； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）先利用勾股定理逆定理证明，再证，得平面即得. （2）先判断，再作高线,利用等面积即可求得点到直线的距离. 【详解】（1）    证明：如图，连接,在中，,则， 因为直角梯形，且,则， 又，由可知①， 因平面,平面，故② 又平面，由①② 知平面, 因平面,故. （2）   在中，因，由可知：,如图，过点作于， 由的面积可得：,解得：， 即点到直线的距离为. 17．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 三、C 18．（23-24高二上·上海·期末）已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】对A、B、C选项，可通过找反例排除，对D选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到. 【详解】对A选项：若，，，则可能与平行或异面，故A错误； 对B选项：若，，则与可能平行或相交，故B错误； 对C选项：若，，，，可能， 此时与可能平行或相交，故C错误； 对D选项：若，则必存在直线，使， 又，则，又，则，故D正确. 故选：D. 19．（23-24高二上·上海·期末）空间中，设是直线外一点，是一个平面，则以下列命题中，错误的是（    ）． A．过点有且仅有一条直线平行于 B．过点有且仅有一条直线垂直于 C．过点有且仅有一条直线垂直于 D．过点有且仅有一个平面垂直于 【答案】B 【分析】根据空间中平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：假设过点不止一条直线平行于， 设任取其中两条直线为，则，， 可得，这与相矛盾，故假设不成立， 所以过点有且仅有一条直线平行于，故A正确； 对于选项B：若直线垂直过点的平面， 则直线垂直平面内的任一条过点的直线，故B错误； 对于选项CD：根据线面垂直的性质可知： 过点有且仅有一条直线垂直于，且过点有且仅有一个平面垂直于， 故CD正确； 故选：B. 20．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;（2）平面上不存在直线，使之与所成角小于;（3）设，平面上恰有两条直线与所成角均为;（4）若直线，则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 . 【答案】（2）（4） 【分析】利用线面之间的位置关系的相关知识结合几何图形分析可得答案. 【详解】对于（1），直线l在平面上的投影记为m，则，平面内与m平行的直线都与直线l所成角为，故平面上有无数条直线与直线l所成角为，故（1）错误； 对于（2），如下图：为直线l与平面所成角，， 设AD是平面内任意一条直线，， 结合线面角的范围可得，故（2）正确； 对于（3），若平面上有一条直线与l所成角均为，则此平面内与该直线平行的直线都与l所成角均为，因此（3）错误； 对于（4），如下图： 若直线，则直线l与n所成角大小为，故（4）正确， 故答案为：（2）（4）. 21．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为的中心，则与底面ABC所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】设为中点，则，可得面，可得与底面所成的角，在中，计算正弦值，进而可得答案． 【详解】设在底面内的射影为，为的中心， 则平面，， 又平面，所以，则， 同理：，，则， 因为的侧棱与底面边长都相等，不妨设其棱长为， 则，故四面体为正四面体， 记，为中点，连接， 则为中点，，面， 即与底面所成的角， 在正中，， 在中，，， 在正三角形中，， 所以在中，， 故与底面ABC所成角的大小为. 故答案为：． 22．（23-24高二上·上海·期中）已知P为所在平面外一点，且在平面上的射影为O，若P到的三边距离相等，则O为的 心． 【答案】内 【分析】作出图象，由线面垂直可得，，再由三角形全等可得，结合三角形的内心的定义即可得答案. 【详解】 过分别作于， 因为到距离相等， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，所以， 同理可证， 因为， 所以两两全等， 所以， 即到距离相等， 所以为的内心． 故答案为：内． 23．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 24．（2023高二上·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明，，即可证明平面； （2）通过构造面面平行，从而推出线线平行，再利用三角形相似求解. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以①， 又为等腰三角形，且D为PB中点，所以②， 又平面PBC，平面PBC，，结合①②， 故平面，即得证. （2）取BE中点为M，连接，作图如下： 在中，因为分别为中点，所以， 又PE平面PEF，DM平面PEF，所以平面， 由已知得：平面，且，平面，平面， 所以平面平面；又平面平面，平面平面， 所以，则，； 因为，所以. 【点睛】（1）第一问考查由线线垂直，证明线面垂直，难点是找出线线垂直；（2）本题考查由面面平行，推出线线平行，从而由三角形相似，推出线段的比值，本题中的做法值得借鉴. 25．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 26．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】①利用正方体对角线截面可得；②先在下底面上过点作直线与平行，利用公理和推论找到过和的截面，将判断直线与是否恒为异面直线，转化为判断是否在截面上，当在截面上，则与重合，利用三角形相似和已知，设正方体棱长为，可解出，即说明直线与不恒为异面直线. 【详解】①如图，当点是线段交点时，满足题意. 此时无论点在线段何处，线段都在平面上， 由正方体结论知平面，由线面垂直定义得，所以①正确； ②如图，在下底面上过点作直线与平行，且交棱于点，交棱于点， 由于正方体中，由平行传递公理得， 在中，作，且交于点， 在左侧面上，延长，且； 在后侧面上，延长，且， 连接，由公理及推论可得在截面上， 由于， 所以判断直线与是否恒为异面直线，只需判断是否在截面上. 如图，当在截面上，则与重合， 则由∽得， 由∽得， 不妨设，正方体棱长为，又，设，， 则，解得， 此时直线与为共面直线，故②错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：判断是否是异面直线，可以作其中一条直线的平行线与另一条直线构成的平面，再判断第一条直线是否在该平面上. 27．（2023·上海嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 .    ① ②； ③； ④. 【答案】①③④ 【分析】利用题设中的垂直关系可得、、、，利用这些直角三角形逐项计算各角的三角函数后可得它们的关系，从而可得正确的选项. 【详解】因为四边形是矩形，故，而， 平面，故平面. 因为四边形是矩形，故，故，而， 而平面，故平面. 而，，，. 故，，而平面， 故平面，因平面，故, 同理，. 在中，有； 在中，有； 在中，有； 故，故①正确. 在中，有， 在中，有； 故，故，故③正确. 在中，有， 在中，有； 故，故④正确. 若不成立，否则由④的结论可得，这样为锐角矛盾. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化. 28．（22-23高二上·上海普陀·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，. ①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面. 上述说法正确的有 （填写序号） 【答案】②④ 【分析】根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理及性质即可得出答案. 【详解】对于①，当直四棱柱的底面为正方形时， 其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故①错误； 对于②，若，则菱形为正方形， 因为平面，平面， 所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故②正确； 对于③，若，则， 又，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故③错误； 对于④，在四面体中，，，， 所以， 所以四面体在点处的离散曲率为， 解得，易知， 所以，所以， 所以直四棱柱为正方体， 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理， 又平面， 所以平面，故④正确， 所以正确的有②④. 故答案为：②④. 【点睛】本题主要考查离散曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力，试题结合新定义——离散曲率命制立体几何试题，角度新颖，要求考生充分理解离散曲率的定义，结合立体几何的结构特征求解，体现了数学探索、理性思维学科素养． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 空间直线与平面的位置关系 考点剖析 4 知识点一：直线与平面平行 4 知识点二:直线与平面垂直 7 知识点三:直线与平面所成的角 9 知识点四:三垂线定理 10 过关检测 10 A组 双基过关 10 B组 巩固提高 15 C组 综合训练 21 D组 拓展延伸 28 知识点一：直线与平面平行 1、直线和平面的位置关系 （1）直线在平面上（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点)； 位置关系 直线在平面内 直线和平面平行 直线和平面相交 公共点 有无数多个 没有公共点 有且只有一个公共点 符号表示 α a A 图形表示 α a α a 2、直线与平面平行 判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行． 已知：如图，直线不在平面上，直线在平面上，且， 求证：直线。 证明：假设直线不平行于平面，则直线与平面有公共点，设为点P；在平面上，过点P作已知直线的平行线；因为不在上，所以与不重合。另一方面，因为，，所以，这和与交于点P矛盾，所以假设不成立，即直线. 3、直线与平面平行 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行。 已知直线与平面平行，过直线的一个平面与平面相交于直线. 求证：. 证明：由，故和没有公共点；又因为，所以和没有公共点； 因为和同在平面上，且没有公共点，所以. 知识点二：直线与平面垂直 1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直.就说这条直线与这个平面互相垂直.如果直线与平面垂直，我们记作.这时，直线叫做平面的垂线（或者法线）.与的交点叫做垂足.画示意图时，通常使直线与表示平面的平行四边形的一边垂直. 2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 已知：是两条直线，且，求证：. 证明：（反正法）假设与不平行，直线与平面的交点为B，过点B作直线，使得. 由直线与确定的平面记为，设平面与平面的交线为；因为，，所以，；由，又可得出. 直线与都在平面上，都过点B，且都垂直于直线，这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，由此得到. 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推理2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 点到平面的距离定义：由推理2，过平面外任意给定的一点M，有且只有一条直线与平面垂直，从而把点M与垂足N之间的距离叫做点M到平面的距离； 备注：如果一条直线平行于一个平面，那么直线上任意两点到平面的距离都相等，从而直线与平面的距离可以转化为直线上任意一点M到平面的距离问题。 知识点三：直线与平面所成的角 1、平面的斜线 当直线与平面相交且不垂直时，称为斜交.直线称为平面的斜线； 斜线与平面的交点称为斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段． 2、斜线在平面上的投影（也称射影） 设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影． 备注：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短． 3、斜线和平面所成角的定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角. 如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角． 【规定】 （1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角； （2）一条直线和平面平行，或在平面上，定义它和平面所成的角是角． 【注意】 （1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关； （2）直线和平面所成角的范围是； （3）斜线和平面所成角的范围是； （4）斜线与平面所成的角，是这条斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角； 知识点四：三垂线定理 三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 考点剖析 知识点一：直线与平面平行 例1、（1）已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线∥平面”的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 （2）直线平面，直线直线，则直线与平面的位置关系是 （ ） A．平行 B．在面内 C．相交 D．平行或相交或在面内 例2、下列四个命题判断正确的是 （ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则a平行于α内所有的直线 D．若，，，则 例3、如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证： （1）； （2）平面： 例4、（1）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是_______________. （1） （2） （3） （4） （2）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是 （ ） A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 例5、（1）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b （ ） A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 （2）已知三个互不重合的平面，，，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①，；②，；③，．能推得的条件是________． 例6、（1）图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．设平面平面，证明：； （2）如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 知识点二:直线与平面垂直 例7、（1）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 （2）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是______________. ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 例8、（1）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥．求证：平面． 例9、（1）已知平面，三条不同直线，，，下列四个选项中，正确的是___________． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 （2）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则 （ ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 例10、在棱长为的正方体中求出下列距离： ①点到面的距离； ②线段到面的距离； ③点到面的距离； （2）已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是 （ ） A．cm B．cm C．2cm D．2cm 知识点三:直线与平面所成的角 例11、（1）若直线与平面所成的角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成角的取值范围是 （ ） A． B． C． D． （2）在正方体中，与平面所成角是 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° （3）正方体中，为侧面的中心，则与平面所成角的正弦值为 （ ） A． B． C． D． 知识点四:三垂线定理 例12、如图，在长方体中，相交于点，是线段的中点，已知. 求证：； 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（    ） A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 2．（23-24高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（23-24高二上·上海青浦·期末）若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（    ）． A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行 C．直线与平面相交 D．直线平行平面 4．（23-24高二上·上海金山·期中）已知直线平面是平面上的一条直线，则直线与的关系不可能是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 5．（23-24高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 6．（23-24高二上·上海徐汇·期中）如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）.根据我们所学的 定理，我们可以证明书脊所在的直线垂直于桌面. 7．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则 . 8．（23-24高二上·上海·课后作业）直线与平面平行的性质定理： 文字语言：一条直线和一个平面平行，如果过 的平面和 相交，那么这条直线与 平行． 图形语言：如图所示．      符号语言：若，且 ，则． 9．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 10．（2023·上海普陀·二模）设表示空间的两条直线，表示平面，给出下列结论：（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则，其中不正确的个数是（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 11．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）设平面的斜线在平面的射影为，直线在平面上，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 12．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 13．（23-24高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 14．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    15．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角大小. 16．（23-24高二上·上海·期末）为直角梯形，，，，平面，， (1)求证：； (2)求点到直线的距离. 17．（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 三、C 18．（23-24高二上·上海·期末）已知空间中，l、m、n是互不相同直线，、是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 19．（23-24高二上·上海·期末）空间中，设是直线外一点，是一个平面，则以下列命题中，错误的是（    ）． A．过点有且仅有一条直线平行于 B．过点有且仅有一条直线垂直于 C．过点有且仅有一条直线垂直于 D．过点有且仅有一个平面垂直于 20．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）设直线与平面所成角为，给出下列命题：（1）平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;（2）平面上不存在直线，使之与所成角小于;（3）设，平面上恰有两条直线与所成角均为;（4）若直线，则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 . 21．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC内的射影为的中心，则与底面ABC所成角的大小为 ． 22．（23-24高二上·上海·期中）已知P为所在平面外一点，且在平面上的射影为O，若P到的三边距离相等，则O为的 心． 23．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 24．（2023高二上·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值． 25．（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】26．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 27．（2023·上海嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 .    ① ②； ③； ④. 28．（22-23高二上·上海普陀·期中）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，. ①直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等； ②若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ③若，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为； ④若四面体在点处的离散曲率为，则平面. 上述说法正确的有 （填写序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$