第4讲 平面与平面间的位置关系（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第4讲 平面与平面间的位置关系 【知识梳理】 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 6、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 7、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 8、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 【说明】 （1）二面角的平面角范围是； （2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直； （3）二面角的求法：① 几何定义法；② 空间向量法；③射影面积法. 9、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 10、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 11、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 【例题解析】 知识点一：面面平行 例1． （2020·安徽黄山市·屯溪一中高二期中）在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ） A．， B．m，n是两条异面直线，且，，， C．m，n是内的两条直线，且， D．内存在不共线的三点到的距离相等 【答案】B 【分析】根据面面的位置关系和面面平行的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】对于A选项：若，，则平面与平行或相交，故A不正确； 对于B选项： 在直线n.上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m'，所以m'与n是两条相交直线， 所以，，且，根据面面平行的判定定理可得，所以B正确. 对于C选项：若m，n是内的两条直线，且，，则根据面面平行的判定定理可得，平面与平行或相交，所以C不正确. 对于D选项：若内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面与平行或相交，故D不正确. 故选：B. 例2． （2020·安徽高二期末（理））设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．存在一条直线，， B．存在一条直线，， C．存在两条平行直线、，，，， D．存在两条异面直线、，，，， 【答案】D 【分析】考虑两平面相交时也可存在一条直线与它们平行，可判断A，平面相交时可有，可判断B，两平面相交时存在两条平行直线满足条件可判断C，可根据条件证明来判断D. 【详解】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故不对； 对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对； 对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对； 对于，在直线上取点，过点和直线确定一个平面，交平面于， 因为，所以；又，，所以， 又因为，，，，所以； 故选：D 例3． （