专题04 空间直线与直线的位置关系- 【暑假自学课】2024年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020，上海专用）

专题04 空间直线与直线的位置关系 考点剖析 3 知识点一：空间平行直线 3 知识点二：异面直线 4 知识点三：两条异面直线所成的角 5 过关检测 8 A组 双基过关 8 B组 巩固提高 11 C组 综合训练 18 D组 拓展延伸 27 一、新课引入 在初中学过的平面几何中平行关系具有传递性；即在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；对于空间的直线，这种传递性是否还存在吗？接下来我们一起研究学习： 知识点一：空间平行直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号语言：． 定理1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 等角定理的推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补。 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 证明定理1如下：在射线、上分别取点，使得，在射线、上分别取点，使得，又，，所以四边形和四边形都是平行四边形，则,所以,所以。即证. 知识点二：异面直线 1、异面直线： ①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线． ②异面直线画法： ③异面直线证法：反证法，即证明两直线既不平行也不相交． 2、空间两直线的位置关系： （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点． 注:相交与平行都是两直线共面的情形. 3． 空间中两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 定理2：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条给定的直线都是异面直线。（判定两直线异面的依据） 证明如下：已知直线a在平面上，点A不在平面上.直线AB与平面交于点B，点B在平面上但不在直线a上.求证：直线AB和a是异面直线. 证明：假设存在一个平面使得直线AB与平面都在平面上，那么平面一定经过点A、B和直线a；由公理2的推理1可知，经过点B和直线a有且只有一个平面，也就是平面；。从而平面与平面是同一个平面，这样点A应该在平面上，这与已知点A不在平面相矛盾！所以直线AB和a是异面直线. 知识点三：两条异面直线所成的角 1、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上．异面直线所成的角的范围：． 2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作． 3、两条异面直线所成角的求法：求两条异面直线所成角时，一般通过平移将所求角置于某个三角形中，利用三角形的边角关系来求出这个角的大小。 考点剖析 知识点一：空间平行直线 例1、给出下列命题： ①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行； ④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形， 可得这两条直线不一定互相平行，故①错; 在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错; 在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故③对. 若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故④错; 故选：A 例2、如图，已知棱长为的正方体中，分别是棱的中点. ①找出与AD平行的所有棱，并解释你的结论； ②四边形是何图形？如何证明？ ③与有何关系？ 【答案】（1）； （2）梯形，见解析； （3） 【解析】（1）由正方体性质与公理4易知，与AD平行的棱有； （2）梯形连接，利用中位线可证.由正方体的性质得. 从而，且，即，故四边形是梯形. （3）分别是棱的中点， ，所以两角相等. 例3、（1）若，且，则为________. 【答案】或 （2）若，且，与的方向相同，则下列说法中，正确的是（ ） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【解析】如图， ； 当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行．如图． 知识点二：异面直线 例4、（1）如果直线与没有公共点 ，那么直线与的位置关系是 （ ） A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或异面 【答案】D （2）在空间中直线AB和CD是异面直线，则直线AC和BD的位置关系为______． 【答案】异面 （3）若直线与平面相交，则下列说法正确的是 （ ） A．平面内的每条直线都与相交 B．平面内存在直线与平行 C．平面内存在直线与垂直 D．平面内的每条直线都与异面 【答案】C 例5、（1）如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直线成异面直线的是 （ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C （2）如图所示，G､H､M､N分别是下面几何体的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 例6、如图，平面与平面相交于直线，直线在平面上，直线在平面上，且，//，求证：直线是异面直线 【解析】假设//，由//，所以//，与矛盾，所以与不平行. 假设直线与相交，且，由直线在平面内，直线在平面内，所以点，又，所以，故与相交，又//，故矛盾，所以与不相交.综上所述：直线是异面直线. 知识点三：两条异面直线所成的角 例7、（1）如图，在正方体中，M、N分别为，的中点，则异面直线与所成角为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C （2）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为，连接，，， 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 而，，，故，所以，所以，因为为锐角，故，选：A. 例8、（1）在正方体中，O是底面的中心，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 如图所示，为的中点，，故即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，则在中，，故，故选：B. （2）如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线与所成角大小为________. 【答案】 【解析】把六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，如图， ，是直线与所成角（或所成角的补角）， ，，正方体中，直线与所成角大小为．故答案为：． 例9、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5．故选：C. 例10、如图所示，在正方体中． （1）求与所成角的大小； （2）若、分别为、的中点，求与所成角的大小． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）连接，，由是正方体，知为平行四边形， 所以，从而与所成的角就是与所成的角． 由可知，即与所成的角为． （2） 连接，由，且可知是平行四边形， 所以，即与所成的角就是与所成的角． 因为是△的中位线，所以， 又因为，所以，即所求角为． 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【详解】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 2．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意可得（或其补角）为异面直线与所成角，根据余弦定理计算即可求解. 【详解】如图，取的中点F，连接EF，，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 故（或其补角）为异面直线与所成角. 设正方体的棱长为，在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期末）是边长为a正方体，与所成角的大小 ． 【答案】 【分析】在平面内作出的平行线，通过证明垂直关系即可求出两异面直线的夹角. 【详解】连接，因为且，所以四边形是平行四边形， 所以，因为是正方形，所以， 所以，即与成. 故答案为： 4．（2024高二上·上海·专题练习）已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】以正方体为例，举例说明，结合充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】以正方体为例，举例说明即可. 如图，在正方体中，，但是异面，即不相交； ，但是、不垂直. 故答案为：既不充分也不必要. 5．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）空间中和两边分别平行，，则的大小是 . 【答案】或 【分析】利用等角定理可得结果. 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补， 又因为，则或. 故答案为：或. 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）异面直线、的夹角取值范围是 . 【答案】 【分析】由异面直线夹角的范围可得结果. 【详解】异面直线、的夹角取值范围是. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海·期中）已知空间两个角和，若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据空间向量等角定理求解即可. 【详解】因为，， 当和开口方向相同时，， 当和开口方向相反时，. 故答案为：或 9．（23-24高二上·上海·期中）如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    【答案】5 【分析】列出与直线异面的面对角线所在直线，得到答案. 【详解】与直线相交的有， 与直线平行的有， 剩余的与直线异面，共5条. 故答案为：5 10．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．    (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)证明过程见解析. 【分析】第一问利用三角形中位线性质，结合平行公理推理作答.第二问利用反证法来证明. 【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．所以线段是的中位线，所以且，同理可得且，所以且，所以四边形为平行四边形. （2）反证法：假设和不是异面直线，则和平行或相交，所以和可以确定一个平面，所以，这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线. B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C. 【详解】当运动到点时，与直线相交，故A错误； 当运动到点时，与直线相交，故B错误； 因为与在同一平面上，,平面， 所以由异面直线判定定理知，直线与直线始终异面，故C正确； 当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误； 故选：C 12．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 【答案】B 【分析】根据空间中两直线的位置关系判断即可. 【详解】依题意可得时或时时针均与棱平行，所以此时两时针平行，    时或时时针均与棱垂直，所以此时两时针垂直， 其余时刻时针与棱成相同的角（不包括点），但是两时针不同在任何一个平面，故两时针不平行； ∴在点到点时针与分针的转动中（包括点，但不包括点），相邻两面时钟的时针两两相互平行的情况的次数为. 故选：B． 13．（2023·上海·模拟预测）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】利用正方体的特征及异面直线的定义一一判定即可. 【详解】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误； 当P与重合时，此时、面，故B错误； 当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误； 由正方体的特征可知四边形为平行四边形， 而平面，平面，、平面，， 故与始终异面，即D正确. 故选：D 14．（21-22高二上·上海浦东新·期中）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】找出“两条直线没有公共点”的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】“两条直线没有公共点”“两条直线平行或异面”， 所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要非充分条件. 故选：B. 15．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 【答案】 【分析】取，，的中点，，，由中位线的性质可得，，再由勾股定理即可求得. 【详解】分别取，，的中点，，，连接，，， 则，，.    又，即. . 故答案为：. 16．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角 . 【答案】 【分析】分别取中点，易证得四边形和均为平行四边形，根据平行关系可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得结果. 【详解】分别取中点，连接， 三棱柱为正三棱柱，为等边三角形， 设， ，，，， 四边形和均为平行四边形， ，，（或其补角）即为直线与所成角； ，， 又，， ，即直线与所成角大小为. 故答案为：. 17．（23-24高二上·上海金山·期中）在正方体中，异面直线与所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】利用平移求异面直线所成角即可. 【详解】 在正方体中， 可将直线平移到直线, 故异面直线与所成的角即与所成的角. 且四边形为正方形， 所以. 故异面直线与所成的角为： 故答案为： 18．（23-24高二上·上海·阶段练习）（1）用文字语言和符号语言叙述异面直线判定定理： 文字语言：过______一点和______一点的直线，和此平面上______的任何一条直线是异面直线； 符号语言：若______，则直线与直线异面． （2）用反证法证明异面直线判定定理． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据异面直线的判定定理直接求解即可； （2）根据题意，由反证法证明即可. 【详解】（1）异面直线判定定理为：过平面内一点与平面外一点的直线，和此平面上不过该点的任何一条直线是异面直线； 符号语言：若，，，，则直线与直线异面． （2）证明：假设直线和在同一平面内， 那么这个平面一定经过点和直线， 因为，且经过点与直线只能有一个平面， 所以直线与应在平面内， 所以，这与已知矛盾， 所以直线和是异面直线. 19．（23-24高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）判断出异面直线与所成角并计算出角的大小. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点Q在直线DC上. （2）根据正方体的性质可知， 所以异面直线与所成角为， 由于分别是的中点， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为. 20．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据已知推得，，进而得出； （2）结合已知，根据异面直线的定义，即可得出证明. 【详解】（1）   如图，连接， 因为、分别是棱、的中点， 所以，. 由已知可得，，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以，、、、四点共面. （2）因为平面，平面， 平面，但是， 根据异面直线的定义可得，直线与是异面直线. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 21．（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 22．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 【答案】或 【分析】根据异面直线所成角为锐角或直角，且由等角定理可知与异面直线所成角相等或是其补角，从而求解. 【详解】由题意知，，，且异面直线，所成角为， 由等角定理及异面直线所成角为锐角或直角， 所以为异面直线，所成的角或补角， 所以或. 故答案为：或. 23．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解. 【详解】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内， 因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条； 对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线； 对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可； 故答案为：①③. 24．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 【答案】1 【分析】在空间取一点，经过分别作，，分析满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案. 【详解】在空间取一点，经过分别作，，设直线确定平面， 当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与所成角为， 因为直线所成角为，得所成锐角为， ①当直线的射影在所成锐角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点有1条直线与所成角都是 ②当直线的射影在所成钝角的平分线上时， 则与所成角的范围是， 这种情况下，过点不存在直线与所成角都是， 综上，过点且与所成的角都是的直线有且仅有1条. 故答案为：1. 25．（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 【答案】或 【分析】取中点为，连接，根据已知得出，，或.然后在中，根据余弦定理，即可得出答案. 【详解】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 26．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则 . 【答案】或 【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长. 【详解】取线段的中点，连接、， 在四面体中，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，则是边长为的等边三角形，此时，； 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 27．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 【答案】①② 【分析】由平面的基本事实三即可判定选项①；由基本事实二及推论二即可判定选项②；在正方体中取反例，即可判定③④. 【详解】因为在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，    所以平面平面, 所以三点在平面与平面的交线上，即三点共线, 故①正确； 因为与平行，则可有由，确定一个平面，    又， 所以 所以平面，平面， 因为与平行，则可有由，确定一个平面， 同理可得，平面，平面， 又，而两条相交直线只能确定一个平面， 所以，为同一平面，即四线共面, 故②正确； 取正方体中为，为，为， 直线a、b异面，b、c异面，但a、c相交，不异面，故③错误； 取正方体中三直线，他们两两相交， 但不仅仅确定一个平面，故④错误. 故答案为：①②. 28．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】取的中点，连接，，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即，求解即可. 【详解】取的中点，连接，， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即，因为正方体的棱长为2， ， 所以异面直线与所成角的大小为. 29．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）不共面的四点、、、构成了空间四面体，，    (1)证明：直线与直线是异面直线 (2)求异面直线与所成角大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义，结合点平面，点平面，即可判断； （2）根据平行关系可证明异面直线与所成角为（或其补角），结合余弦定理可得解. 【详解】（1）如图，因为直线平面，点平面， 点，点平面，所以直线与直线是异面直线． （2）    如图：取的中点O，的中点F，的中点，连接FO，OE，EF， 所以， 所以异面直线与所成角（或其补角）， 因为，所以， 在中，， 所以有， 由余弦定理得， 所以异面直线与所成角大小为． 30．（22-23高二上·上海静安·期末）三棱锥中，，分别为，中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）连接，证明，,根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取的中点M，连接，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，解三角形，即可求得答案. 【详解】（1）连接，∵ O为的中点， ∴，,且, 又，O为的中点， ∴，且， 在中，， ∴，即， 又平面， ∴平面. （2）取的中点M，连接， 由E为的中点，知， ∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角， 在中，，， 由平面，平面,所以, ∵是直角三角形斜边上的中线，∴, 在中，由余弦定理可得：, 由于异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为. D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】 31．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能有4条直线与a异面； ②中可能有5条直线与a异面； ③中可能有8条直线与b异面； ④中可能有10条直线与b异面． A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】利用异面直线的判断逐一分析即可得解. 【详解】当直线取时，中只有四条直线（、、、）与直线异面，故①正确； 因为直线平面，所以不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线，则由①可知，此时只有四条直线与直线异面； 若直线为底面对角线，不妨设为， 此时有超过5条直线与直线异面； 当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点）时， 此时至少有超过5条直线与直线异面； 当直线不过底面任何一个顶点时， 此时至少有超过5条直线与直线异面； 综上，中不可能有5条直线与a异面，故②错误； 当直线取线段AD中点与线段的中点连线时， 中除了AD和之外的10条棱均与直线异面，故④正确； 当直线取A点与线段的中点连线时， 中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面，故③正确； 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对异面直线的充分理解. 32．（21-22高二上·上海黄浦·期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义，从正方体的八个顶点两两连线中任取两条异面直线，可以分类讨论其夹角可能取值，进而得解. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 故选：D 33．（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是 ; 【答案】 【分析】构造线段的中垂面，求得点的轨迹，从而求得的轨迹围成的区域的面积. 【详解】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内， 在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为， 设在平面的投影为， 设在平面内的投影为， 则为的中点， 所以， 因为，所以， 在直线上分别取点四点， 使得， 因为， 所以， 过作交于， 则， 所以的中点在上， 同理可得在上， 所以的轨迹是矩形， 因为， ， 所以. 故答案为： 【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的概念，可在空间一点作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 空间直线与直线的位置关系 考点剖析 3 知识点一：空间平行直线 3 知识点二：异面直线 4 知识点三：两条异面直线所成的角 5 过关检测 8 A组 双基过关 8 B组 巩固提高 11 C组 综合训练 18 D组 拓展延伸 27 一、新课引入 在初中学过的平面几何中平行关系具有传递性；即在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；对于空间的直线，这种传递性是否还存在吗？接下来我们一起研究学习： 知识点一：空间平行直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号语言：． 定理1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 等角定理的推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补。 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 证明定理1如下：在射线、上分别取点，使得，在射线、上分别取点，使得，又，，所以四边形和四边形都是平行四边形，则,所以,所以。即证. 知识点二：异面直线 1、异面直线： ①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线． ②异面直线画法： ③异面直线证法：反证法，即证明两直线既不平行也不相交． 2、空间两直线的位置关系： （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点． 注:相交与平行都是两直线共面的情形. 3． 空间中两直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 定理2：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条给定的直线都是异面直线。（判定两直线异面的依据） 证明如下：已知直线a在平面上，点A不在平面上.直线AB与平面交于点B，点B在平面上但不在直线a上.求证：直线AB和a是异面直线. 证明：假设存在一个平面使得直线AB与平面都在平面上，那么平面一定经过点A、B和直线a；由公理2的推理1可知，经过点B和直线a有且只有一个平面，也就是平面；。从而平面与平面是同一个平面，这样点A应该在平面上，这与已知点A不在平面相矛盾！所以直线AB和a是异面直线. 知识点三：两条异面直线所成的角 1、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上．异面直线所成的角的范围：． 2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作． 3、两条异面直线所成角的求法：求两条异面直线所成角时，一般通过平移将所求角置于某个三角形中，利用三角形的边角关系来求出这个角的大小。 考点剖析 知识点一：空间平行直线 例1、给出下列命题： ①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行； ④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行. 其中正确的命题的个数是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2、如图，已知棱长为的正方体中，分别是棱的中点. ①找出与AD平行的所有棱，并解释你的结论； ②四边形是何图形？如何证明？ ③与有何关系？ 例3、（1）若，且，则为________. 【答案】或 （2）若，且，与的方向相同，则下列说法中，正确的是（ ） A．，且方向相同 B．，且方向不同 C．与不平行 D．与不一定平行 知识点二：异面直线 例4、（1）如果直线与没有公共点 ，那么直线与的位置关系是 （ ） A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或异面 （2）在空间中直线AB和CD是异面直线，则直线AC和BD的位置关系为______． （3）若直线与平面相交，则下列说法正确的是 （ ） A．平面内的每条直线都与相交 B．平面内存在直线与平行 C．平面内存在直线与垂直 D．平面内的每条直线都与异面 例5、（1）如图，正方体的棱，，，所在的直线中，与直线成异面直线的是 （ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 （2）如图所示，G､H､M､N分别是下面几何体的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例6、如图，平面与平面相交于直线，直线在平面上，直线在平面上，且，//，求证：直线是异面直线 知识点三：两条异面直线所成的角 例7、（1）如图，在正方体中，M、N分别为，的中点，则异面直线与所成角为 （ ） A． B． C． D． （2）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例8、（1）在正方体中，O是底面的中心，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值等于 （ ） A． B． C． D． （2）如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线与所成角大小为________. 例9、如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝ （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 例10、如图所示，在正方体中． （1）求与所成角的大小； （2）若、分别为、的中点，求与所成角的大小． 过关检测 A组 双基过关 【难度系数：★ 时间：8分钟 分值：20分】 1．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 2．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）是边长为a正方体，与所成角的大小 ． 4．（2024高二上·上海·专题练习）已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 5．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 6．（23-24高二上·上海·阶段练习）空间中和两边分别平行，，则的大小是 . 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）异面直线、的夹角取值范围是 . 8．（23-24高二上·上海·期中）已知空间两个角和，若，，则 ． 9．（23-24高二上·上海·期中）如图，正六棱柱的底面和顶面均为正六边形，侧棱均垂直于底面和顶面.其6个侧面12条面对角线所在的直线中，与直线异面的共有 条.    10．（23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．    (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． B组 巩固提高 【难度系数：★★ 时间：10分钟 分值：20分】 11．（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针相互平行的情况的次数为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．12 13．（2023·上海·模拟预测）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．（21-22高二上·上海浦东新·期中）“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 15．（23-24高二上·上海·阶段练习）在空间四边形中，，且，若分别为的中点，则 . 16．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角 . 17．（23-24高二上·上海金山·期中）在正方体中，异面直线与所成的角的大小为 ． 18．（23-24高二上·上海·阶段练习）（1）用文字语言和符号语言叙述异面直线判定定理： 文字语言：过______一点和______一点的直线，和此平面上______的任何一条直线是异面直线； 符号语言：若______，则直线与直线异面． （2）用反证法证明异面直线判定定理． 19．（23-24高二上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点． (1)求证：点Q在直线DC上； (2)求异面直线与所成角的大小． 20．（23-24高二上·上海静安·阶段练习）在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. C组 综合训练 【难度系数：★★★ 时间：15分钟 分值：30分】 21．（23-24高二上·上海奉贤·期中）若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知异面直线所成角的大小为，直线且，则 . 23．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点． ①存在唯一的直线与直线和直线都相交； ②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是； ③存在唯一的直线与直线和直线都垂直； 以上三个命题中，所有真命题的序号是 . 24．（23-24高二上·上海普陀·期中）若异面直线所成的角为为空间一定点，则过点且与所成的角都是的直线有且仅有 条. 25．（23-24高二上·上海普陀·期中）在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为 . 26．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则 . 27．（23-24高二上·上海嘉定·阶段练习）下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 28．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.求异面直线与所成角的大小. 29．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）不共面的四点、、、构成了空间四面体，，    (1)证明：直线与直线是异面直线 (2)求异面直线与所成角大小 30．（22-23高二上·上海静安·期末）三棱锥中，，分别为，中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． D组 拓展延伸 【难度系数：★★★ 时间：20分钟 分值：30分】31．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能有4条直线与a异面； ②中可能有5条直线与a异面； ③中可能有8条直线与b异面； ④中可能有10条直线与b异面． A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④ 32．（21-22高二上·上海黄浦·期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 33．（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是 ; 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$