精品解析：辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 （解析版） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 设，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ） A. B. C. D. 7. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ） A. 点，，与向量同方向的单位向量为 B. 若，重心为G，过点G的直线交，与E，F，若，，则 C. 若，垂心为H，则与共线 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 8. 函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，. ①A，B是锐角的内角，； ②； ③； ④. 其中正确的有（ ） A. ②③④ B. ①② C. ①②④ D. ①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若向量与向量夹角为锐角，则 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设符号函数，已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. 在上单调递减 D. 函数在上有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________. 14. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，且，为方程的两根． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在中，为边上一点，且． （1）设，求实数、的值； （2）若，求的值； （3）设点满足，求证：． 17. 已知函数，其中 （1）求函数的最大值及取得最大值时的集合； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）若方程在区间上有两个解，若，求的值. 18. 校园里有个如图的半径为4，圆心角为的扇形花坛，P是圆弧上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径，上.为美化校园，分别在四边形，和种植红色，黄色的牡丹花，其余地方种植绿草点缀. （1）若种植红色牡丹的四边形为矩形，求其面积最大值； （2）若种植黄色牡丹的和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围. 19. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 （解析版） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值，可得答案. 【详解】, 故选:A 2. 若一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形弧长与面积公式列方程组求解圆心角及半径. 【详解】设该扇形半径为，圆心角为， 由题意得， 解得. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求得，利用同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 所以 ， 故选：A 4. 已知，．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由 得 ， 又 ， 代入数值计算即可. 【详解】因为，所以 ，所以 ， 又 . 故选：A. 5. 设，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的恒等变换以及同角三角函数关系式把化为一个正弦函数，再利用正弦函数当的单调性比较大小即可. 【详解】， ， 在上为增函数，， . 故选：C. 6. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设时刻两点重合，可得出，求出的表达式，然后利用三角函数的定义以及诱导公式判断即可. 【详解】点的初始位置，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，且， ，即，故C正确； 当时，，且， ，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B. 7. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ） A. 点，，与向量同方向的单位向量为 B. 若，重心为G，过点G的直线交，与E，F，若，，则 C. 若，垂心为H，则与共线 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】A 【解析】 【分析】A选项中根据单位向量的定义公式，求出与向量同方向的单位向量即可，B选项由平面向量的基本定理和根据重心的性质公式可解，C选项根据垂心的性质，利用向量垂直的充要条件以及向量数量积的定义进行化简，结合共线定理可解.D选项根据投影向量的概念公式可解决. 【详解】解：对于A，点，，， 与向量同方向的单位向量为，故A错误； 对于B，∵G为的重心，∴， ∴，又E、G、F三点共线， ∴，得，故B正确； 对于C， ， ∴，又， ∴与共线，故C正确； 对于D，若向量，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：A． 8. 函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，. ①A，B是锐角的内角，； ②； ③； ④. 其中正确的有（ ） A. ②③④ B. ①② C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析的对称性和周期性可知函数为周期为4的周期函数，再利用在上单调递减，即可分析4个结论是否正确，综合可得答案. 【详解】因为为奇函数，所以关于成中心对称，即， 又因为为偶函数，所以关于对称，即， 所以，所以，即， 所以，所以函数为周期为4的周期函数， 当时，，则在上单调递减， 对于①A，B是锐角三角形的内角，则，则有， 所以， 所以，所以，①错误； 对于②，，则有，②正确； 对于③，，，则有，③正确； 对于④，函数为周期为4的周期函数，则，④正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若向量与向量夹角为锐角，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：先利用向量运算的坐标表示求出相关向量的坐标，再利用向量共线的判定进行求解；对于B：先利用向量运算的坐标表示求出相关向量的坐标，再利用向量垂直的判定进行求解；对于C：利用向量夹角公式进行判定；对于D：利用且、不平行进行求解判定. 【详解】对于A：因为，， 所以，又因为且， 所以，解得，即选项A正确； 对于B：因为，， 所以，又因为且， 所以，解得，即选项B正确； 对于C：若，则，则， 即选项C错误； 对于D：因为，，所以， 因为向量与向量夹角为锐角， 所以且、不平行，则且， 解得且，即选项D错误. 故选：AB. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两角和差正切公式计算判断A选项，根据两角和差正弦公式计算判断B选项，应用同角三角函数结合诱导公式计算可得C选项，根据两角和差正弦公式结合二倍角正弦公式判断D选项. 【详解】对于A，，故A错误． 对于B，由 ，故B正确； 对于C，∵设， 则， 而，故即，故C正确． 对于D， ，所以D正确. 故选：BCD. 11. 设符号函数，已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上的值域为 C. 在上单调递减 D. 函数在上有5个零点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据所给定义得到的解析式，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 即，作出的部分图象，如图所示： 由图可知，不是周期函数，故A错误； 由图可知，在上的值域为，故B错误； 由图可知，在上单调递减，故C正确； 令，得，由图可知，在上，的图象与直线只有5个交点， 所以在上有5个零点，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知以6为周期，枚举求出前项，然后计算前项和，计算周期数以及剩余项求和即可. 【详解】易知以6为周期.枚举得，，，，，， 所以.又， 所以. 故答案为： 13. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田.已知正八边形的边长为，点P是正八边形边上的一点，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征求出，根据的定义，即可求出的最大值. 【详解】由题意知，每个三角形的顶角为，， 作垂直的延长线于点M，根据正八边形的特征知，， 设与所成的角为，则， 所以， 由的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积可确定周期，确定，又根据图象过点，可确定，从而确定解析式. 【详解】如图所示. 区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积， 可得，设函数的最小正周期为，则， 由题意可得，解得，故，可得， 即， 又的图象过点，即， 因为，所以，解得. 故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正切性函数的解析式求法，属于较难题.由已知不规则图形面积，显然难以直接求解，故根据正切性函数的周期性，将其平移成规则图形，即可求得周期，继而求出函数解析式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，且，为方程的两根． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系列出关于，，的方程组，利用三角函数的基本关系平方关系结合作差，消去，，可以求出； （2）利用诱导公式与同角公式化简表达式，结合（1）中的数据即可得到结果． 【详解】（1）由题意得， 则，， ，得． （2） ， ，且， ，则，， ，则， 故原式． 16. 如图，在中，为边上一点，且． （1）设，求实数、的值； （2）若，求的值； （3）设点满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底表示出向量，再用数量积运算律表示出模长，即可得证. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，， ,, 所以, , 所以,即，得证. 17. 已知函数，其中 （1）求函数的最大值及取得最大值时的集合； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）若方程在区间上有两个解，若，求的值. 【答案】（1）最大值2，此时的集合为 （2）；， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算结合二倍角公式及辅助角公式化简即可求得函数解析式，结合取最大值的条件进行计算即可； （2）整体代入法求解即可； （3）化简方程，结合条件可得，结合即可求解. 【小问1详解】 即， 则当， 即时，取得最大值2， 所以使取得最大值时自变量的集合为. 【小问2详解】 令， 可得， 的单调递增区间是 令，可得， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 可化为 ， 由题意，当时， 在区间上有两个解， ， 则， 由已知可得： 18. 校园里有个如图的半径为4，圆心角为的扇形花坛，P是圆弧上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径，上.为美化校园，分别在四边形，和种植红色，黄色的牡丹花，其余地方种植绿草点缀. （1）若种植红色牡丹的四边形为矩形，求其面积最大值； （2）若种植黄色牡丹的和均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，令，用表示出矩形的面积，再借助三角函数计算作答即可. （2）利用（1）中信息，用表示出和的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答. 【小问1详解】 连接，如图，令， 因四边形为矩形， 则，， 可得矩形的面积， 且，则当，即时，取最大值1， 所以的最大值为8， 所以矩形面积最大值为8； 【小问2详解】 由（1）知，，， 则，， 所以和的面积和： ， 令， 即，，则， 且， 则， 显然在上单调递减， 当，即时，， 且，因此， 所以和的面积和的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）时，对称中心为；时，对称中心为; （2）; （3） 【解析】 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 ∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，时，图像的对称中心为， 时，图像的对称中心为. 【小问2详解】 ∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. 【小问3详解】 由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $