专题05 一次函数与特殊平行四边形存在性问题全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题05 一次函数与特殊平行四边形存在性问题全梳理 目录 【考法一、菱形存在性问题】 1 【考法二、矩形存在性问题】 10 【考法三、正方形存在性问题】 17 【课后训练】 24 【考法一、菱形存在性问题】 例．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)存在，，， 【分析】（1）运用待定系数法，将点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）先注意判定点P的位置，如图，，于是点P在第二象限，或第四象限．设，分点P在第二象限，或点P在第四象限，运用组合图形求面积的思路分别求解； （3）存在；由平移知，，，轴；设平移距离为s，则，，分情况讨论：①若以为对角线构成菱形，如图，则点M应在x轴上，②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，③若以为对角线构成菱形，根据菱形的判定方法，由边相等构造方程求解； 【详解】（1）解：，时，；时，，得； ∴点． 直线经过点A，C，所以，解得．∴； （2）解：如图，，， ∴． ∵的面积为18， ∴点P在第二象限，或第四象限．设， 若点P在第二象限，则 ， 解得，，；    若点P在第四象限，则 ， 解得，,；    ∴点P的坐标为或． （3）解：存在；由平移知，，，轴； 设平移距离为s，则，， ①若以为对角线构成菱形，则,点M应在x轴上，令， 由,得，； 由,得； ∴ ∴时，，构成菱形． 此时，    ②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令 由，得，，解得，∴, 由,得，∴，； ∴时，，四边形是菱形． 此时，    ③若以为对角线构成菱形， 由，得， 解得（舍去）或，∴, 由,设，由，得， 解得，（舍去）或， 此时, ∴时，，四边形构成菱形 ． 此时，．    【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，菱形的判定，直角坐标系内求解三角形面积；由菱形的判定方法转化为线段间的数量关系从而求解点坐标是解题的关键． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． (1)分别求出点A、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； (3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)存在满足条件的点的，其坐标为或或 【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标，分别把，代入可求出，的坐标； （2）根据在直线上，设出坐标，表示出三角形面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在的条件下，根据是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况讨论：当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；当四边形为菱形时；当四边形为菱形时；分别求出坐标，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：解方程组， 得：， ； 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， ； （2）解：设， 的面积为， ∴， 解得：， ， 设直线的函数表达式是， 把，代入得：， 解得：， 直线解析式为； （3）解：存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 如图所示，分三种情况考虑： 当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形，此时，即， 此时； 当四边形为菱形时，点与关于对称，即可关于y轴对称， ∵点坐标为， ∴点纵坐标为， 把代入直线解析式中，得， 解得：， ∴， 此时； 当四边形为菱形时，则有， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 此时． 综上可知存在满足条件的点的的坐标为：或或 ． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在中求得点坐标是解题的关键，在中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 变式2．在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，连接，过点作交轴于点，点是线段上的一动点．    (1)如图1，当时， ①求直线的函数表达式； ②设直线与直线交于点，连接，点是直线上的一动点(不与，，重合)，当时，求点的坐标； (2)如图2，点使在轴上，在平面直角坐标系上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或或或 【分析】（1）①先求得点坐标为，利用待定系数法即可求解； ②过点作轴交直线于点，利用勾股定理及三角形面积公式求得点坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式以及点坐标，设点坐标为，则点坐标为，利用三角形面积公式即可求解； （2）分为是边和是对角线，当为边时，可以根据观察，用平移直接得出，当是对角线时，设点的坐标，根据列方程求得． 【详解】（1）解：①点坐标为，点坐标为， ， ， ， 点坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； ②过点作轴交直线于点，    点坐标为，点坐标为，，，， ，， 由勾股定理得：， ，解得：， 点坐标为， 设直线的解析式为，，解得， 直线的解析式为， 解方程，得，， 点坐标为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ，， 即，整理得，解得：或； 当时，；当时，； 点坐标为或； （2）如图，    若是边，当时，则，同理可得： ， 如图4，    是边，当时，， 如图，    是对角线， 设，， 由得，，，，， 综上所述或或或． 【点睛】本题考查了一次函数及其图象性质，菱形的性质和分类等知识，解决问题的关键是要求较强运算能力和扎实的基础以及正确分类． 【考法二、矩形存在性问题】 例．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为， 【分析】（1）根据题意得出，进而求得的解析式； （2）由，当时，；当时，，可得点，，进而得出，根据三角形的面积公式即可求解． （3）当时，可得，根据，，，即可求解，勾股定理的逆定理可得，进而可得，当时，，则点与点重合，根据矩形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：点在上，点的横坐标为， 当时，， ， 将点和代入中， 得：，解得． 直线的函数解析式为：； （2）直线与轴，轴分别交于点，， 当时，；当时， 点，， ， ． ，； （3）当时，轴，则的纵坐标为， 将代入，解得：，即， ∵，， ∴ ，，， ∴，，， ∴，即， 则 当时，，则点与点重合， ∵到可以看作向左平移个单位，向上平移个单位， 则点可以看作点向左平移个单位，向上平移个单位，得到 ∴满足条件的点的坐标为，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式1．综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C． 初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)平移的距离为；(3)能，平移的距离为6 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，设，在中，利用勾股定理列方程求出x，然后用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解； （3）连接，设平移的距离为，则，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，分别代入中 ∴ ∴直线的解析式为 （2）解：取的中点H，连接 ∵G是的中点    ∴， ∵ ∴ ∴GH= 由平移可得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴平移的距离为 （3）解：能．连接，    设平移的距离为 则 ∵四边形为菱形 ∴，，， ∴ ∴ 由平移性质得， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴当时，四边形为矩形 在中 ∴ ∴ ∴平移的距离为6 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，以及平移的性质，数形结合是解答本题的关键． 变式2．如图（1），在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且点的坐标为，点为线段的中点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式； (3)当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点；(2)；(3)存在，点为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）S=PQ•|xP|，即可求解； （3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点． （2）∵点为线段的中点，，， ∴， 设直线OC的表达式为y=px，将代入得：， ∴则直线的表达式为：， ∵点的横坐标为，且点为直线上的点， 将代入，得到， 又∵轴， ∴， ∴， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ， 当点在轴右侧，且与点重合时， 当点在轴右侧，且在点左侧时， ， 当点在轴左侧时，， 当点在轴上时，． 综上， （3）设P（m，-m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）； ①当OB是矩形的边时， 则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）； ②当OB是矩形的对角线时， 由中点公式得：m+s=0且-m+3+t=3+0①， 由矩形的对角线相等得：OB=PN，即（m-s）2+（-m+3-t）2=32②， 联立①②并解得：，∴，故点； 综上，点P的坐标为（4，0）或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【考法三、正方形存在性问题】 例．如图，已知四边形是平行四边形，点和点，连结并延长交y轴于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)若点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动，过点P，Q分别作x轴垂线交直线和直线分别于点E，F，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形? （直接写出结果） 【答案】(1)直线的解析式为 (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)点P运动 秒或3秒时, 四边形是正方形 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法求解析式、平行四边形，矩形，正方形的判定及其性质等知识点， （1）设直线的解析式为,将点和点代入即可求解； （2）由题意可得直线的解析式为，，进而可得 据此即可求解； （3）由（2）可得：，当时，四边形是正方形，据此即可求解； 【详解】（1）解：设直线的解析式为, ∵ 点和点, ∴ 解得： ∴ 直线的解析式为 （2）解：如图, ∵点A的坐标为 ∴直线的解析式为. ∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿轴向右运动， ∴, ∴  . ∵点P从点C出发以2个单位/秒沿轴向左运动， ∴, ∴. 由(1)知, 直线的解析式为 ∴ ∴ ∴. ∵轴, 轴, ∴ ∵, ∴四边形是平行四边形. ∵, ∴四边形是矩形. （3）解：由（2）可得： ∵四边形是矩形. ∴当时，四边形是正方形 即： 解得：或 变式1．如图，直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点，直线与轴交于点． （1）的值为_______________； （2）求的函数表达式和的值； （3）直线与直线和直线分别交于点，，（，不同） ①直接写出，都在轴右侧时的取值范围； ②在①的条件下，以为边作正方形，边恰好在轴上，直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2），；（3）①且，②或 【分析】（1）由点C的坐标，利用待定系数法可求出k值； （2）由点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线l1的函数表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，结合点A，C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出S△ABC的值； （3）①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线l1与直线l2与y轴的交点坐标，结合函数图象，即可得出当M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，结合正方形的性质可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）将C（4，2）代入y＝kx﹣1，得：2＝4k﹣1， 解得：k＝； （2）设直线的表达式为 将点，代入，解得 直线的表达式为， 当y=0时，，解得，点的坐标为 ∴； （3）①当x＝0时，y＝x﹣1＝﹣1，y＝﹣x+6＝6， ∴M，N（，不同）都在y轴右侧时a的取值范围为﹣1＜a＜6且． ②当y＝a时，x﹣1＝a， 解得：x＝a+， ∴点N的坐标为（a+，a）； 当y＝a时，﹣x+6＝a， 解得：x＝6﹣a， ∴点M的坐标为（6﹣a，a）， ∴MN＝|6﹣a﹣a﹣|＝|﹣a|． ∵四边形MNDE为正方形， ∴|﹣a|＝|a|， 解得：a1＝，a2＝， ∴a的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、正方形的性质以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用三角形的面积公式，求出S△ABC的值；（3）①利用一次函数图象上点的坐标特征，求出直线l1与直线l2与y轴的交点坐标；②利用正方形的性质，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程． 变式2．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；    （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；    【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）在中，分别令即可求得A，B的坐标，从而求得的长； （2）过点E作轴于M，构造“型全等”即可求得点E的坐标； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，这样构造了“型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （4）分三种情况考虑，构造“型全等”即可求得点D的坐标． 【详解】解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 故答案为：4，2； （2）过点E作轴于M，如图， 则， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴点E的坐标为；故答案为：；    （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图， 则， ∵， ∴； ∵，∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴； 设直线的解析式为：， ∵直线过点A、C，∴，解得：，即直线的解析式为：；    （4）存在，对于，令，得；令，得；∴； ①当为正方形的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N； 则， ∵， ∴； ∵；，∴， ∴，∴，∴；同理得； ②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C，即点D的坐标为；    ③当为正方形的对角线时，如图， 过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H， 同理可证明，∴， 显然点D落在第一象限，设，则，， 由题意得，四边形是矩形，∴， ∴，解得：，即； 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论思想． 【课后训练】 1．在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）把代入确定a值，再代入确定直线的解析式； （2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，设点，则点，根据旋转证明，可求得点，即有点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，再利用二次函数的性质即可求得其最小值； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， 故直线的表达式为：； （2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，如图， ∵直线的表达式为：， ∴设点，则点， ∵绕点B逆时针旋转度得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴点， ∴，， 故点， 令， ∴． ，当时，， 故最小值为． （3）∵直线，直线上有任意一点F， ∴设点F的坐标为， ∵点，点， ∴， ∵点，点， ∴， 当点F与点M重合时，为菱形的一边时， 点M沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点M平移后的点都是符合题意的， ∵点，∴； 当点F在的左侧，为菱形的一边时， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∵点F的坐标为，， ∴，解得，故点或， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点N平移后的点都是符合题意的，∴或， 当是菱形的对角线时， 设与的交点为G，则， ∵轴，∴， ∴，，解得，∴， 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的运用，涉及到待定系数法求解析式、一次函数的性质、三角形全等、二次函数的最值、菱形的判定和性质、平移思想和分类思想，熟练掌握待定系数法、菱形的判定和性质和平移是解题的关键． 2．定义：在平面直角坐标系中，若P，Q为某个四边形相邻的两个顶点，且该四边形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或重合，则称该四边形为点P，Q的“奇美四边形”．图1为点P，Q的“奇美四边形”的一个示意图．设点，点 【初步尝试】（1）若，在图2网格中画出点A，B的一个“奇美四边形”，并记作：“奇美四边形”； 【深入探究】：（2）①若（1）中得到的“奇美四边形”，满足，．求证：“奇美四边形”是菱形； ②若点A，B的“奇美四边形”为矩形，求直线的函数解析式； 【拓展应用】：（3）已知点，在线段上存在点N，平面内存在一点M，使点M，N的“奇美四边形”为矩形，且点B到直线的距离始终为，请直接写出b的取值范围． 【答案】【初步尝试 】（1）图见解析；【深入探究 】（2）①证明见解析，②直线AB的解析式为y=-x+3或y=x+1；【拓展应用 】满足条件的b的取值范围为-3≤b≤-1或1≤b≤3或5≤b≤7． 【分析】【初步尝试 】（1）根据“奇美四边形”的定义画出图形即可． 【深入探究 】（2）①根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． ②分两种求出求出点B的坐标即可解决问题． 【拓展应用 】（3）求出点N与A重合时，满足条件的点B的坐标，求出点N与C重合时，满足条件的点B坐标，观察图象即可判断． 【详解】【初步尝试 】（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）． 【深入探究 】（2）①证明：如图2中，连接AC．BD． ∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ②如图3中，解： ∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴满足条件的点B的坐标为（3，0）或（-1，0）， ∵A（1，2）， 设直线，若将（1，2），（3，0）代入 可得，解得， 若将（-1，0），（1，2）代入可得 ，解得， ∴直线AB的解析式为y=-x+3或y=x+1． 【拓展应用 】（3）：如图4中， 当点N与A重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B1（-3，0），B2（1，0），B3（5，0）， 当点N与C重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B4（-1，0），B5（3，0），B6（7，0）， 观察图象可知满足条件的b的取值范围为-3≤b≤-1或1≤b≤3或5≤b≤7． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了“奇美四边形”的定义，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点    (1)求直线的解析式 (2)将沿着翻折，点B落在点处，连接，则四边形的形状为 (3)若点H是直线上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的表达式为：； (2)平行四边形 (3)存在，点的坐标为：或或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，，求出点的坐标，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当是对角线、是对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，则， 令，则， 即点、的坐标分别为：、， 点为线段的中点，则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 即直线的表达式为：； （2）解：设点的坐标为：， 由题意得，，， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点的坐标为：； 由点、的坐标得，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）解：存在，理由： 设点、点， 由点的坐标得，，同理可得：， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：（不合题意的值已舍去）， 即点的坐标为：，（舍去）； 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，矩形的性质、图象的翻折等知识点，熟练掌握一次函数的性质，及图形翻折的知识是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC． （1）求直线AC的函数表达式； （2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；（2）18；（3）或． 【分析】（1）根据点B在直线上，可求得直线AB的解析式，进而可求得点A的坐标；由OA=OC ，可得点C的坐标，用待定系数法则可求得直线AC的表达式； （2）根据题意，可求得直线AC向上平移9个单位后的直线解析式，联立此解析式与直线AB 解析式，可求得点D的坐标；过点D作DF⊥y轴于点F，则根据，即可求得结果； （3）分三种情况讨论：分别以ED、EM、EN为矩形的对角线这三种情况；利用两直线垂直，函数解析式中一次项系数之积为-1，以及矩形对角线互相平分的性质，可得方程组，可求得点N的坐标． 【详解】（1）∵B(0，2)在直线AB：上 ∴m=2 即直线的解析式为： 令，得 ∴A(-4，0)，且OA=4 ∴OC=OA=4 ∵点C在y轴负半轴上 ∴C(0，-4) 设直线AC的表达式为：，其中 把A、C两点的坐标分别代入中，得： 解得： ∴直线的表达式为： （2）把直线AC向上平移9个单位后的表达式为： ，即 解方程组： ，消去y，得 ∴x=2 把x=2代入中，得y=3 故方程组的解为： 即点D的坐标为(2，3) 过点D作DF⊥y轴于点F，如图 则DF=2 ∵B(0，2) ∴OB=2 ∴BC=OB +OC=2+4=6 ∴ =18 （3）令，得x=5 ∴E(5，0) ∵点M在直线上 ∴设点M的坐标为 ①当点E、D、M、N是以ED为对角线的矩形时，则ME⊥MD ∴ 即： 解得：或 ∵矩形的对角线相互平分 故有： ∴ 当t=2时，点M坐标为(2，3)，故点M与点D重合，不合题意 当时，， 即点N的坐标为 ②当点E、D、M、N是以EM为对角线的矩形时，则DE⊥DM 则 即 解得t=2，即点M与点D重合，不合题意 ③当点D、E、M、N是以EN为对角线的矩形时，则ME⊥ED 则 即 解得：t=14 ∴M(14，9) ∵矩形的对角线相互平分 ∴ 即 ∴， 即点N的坐标为(11，12) 综上所述，满足条件的点N的坐标为或 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，平面直角坐标系中求图形的面积，求两直线交点坐标，矩形的性质等知识，涉及分类讨论，数形结合等数学思想，其中第（3）小题比较难，探索以四点为顶点的矩形的存在问题，是中考常考的压轴题型． 5．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用绝对值及算术平方根的非负性求解； （2）根据折叠、平行的性质可证，设，则，用勾股定理解，求出x的值即可得到点E的坐标；利用待定系数法求直线的函数解析式； （3）分三种情况：为边，为对角线；为边，为对角线；为对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，（负值舍去）， ，； （2）解：矩形中， ， 由折叠得， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：存在，点P的坐标为或或或． 矩形中，， ， ， 当以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形时，存在四种情况，如图： 当为边，为对角线时，, 当点P在点B左侧时，如所示，点坐标为， 当点P在点B右侧时，如所示，点坐标为； 当为边，为对角线时，点P与点B关于x轴对称，如所示，点坐标为； 当为对角线时，如所示， 设，则， 在中，，即， 解得， 可得点坐标为，即， 综上可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，求一次函数解析式等，注意数形结合及分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数与特殊平行四边形存在性问题全梳理 目录 【考法一、菱形存在性问题】 1 【考法二、矩形存在性问题】 3 【考法三、正方形存在性问题】 4 【课后训练】 6 【考法一、菱形存在性问题】 例．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． (1)分别求出点A、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； (3)在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 变式2．在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，连接，过点作交轴于点，点是线段上的一动点．    (1)如图1，当时， ①求直线的函数表达式； ②设直线与直线交于点，连接，点是直线上的一动点(不与，，重合)，当时，求点的坐标； (2)如图2，点使在轴上，在平面直角坐标系上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考法二、矩形存在性问题】 例．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C． 初步探究：(1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究：(2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸：(3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 变式2．如图（1），在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且点的坐标为，点为线段的中点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式； (3)当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考法三、正方形存在性问题】 例．如图，已知四边形是平行四边形，点和点，连结并延长交y轴于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)若点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动，过点P，Q分别作x轴垂线交直线和直线分别于点E，F，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形? （直接写出结果） 变式1．如图，直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点，直线与轴交于点． （1）的值为_______________； （2）求的函数表达式和的值； （3）直线与直线和直线分别交于点，，（，不同） ①直接写出，都在轴右侧时的取值范围； ②在①的条件下，以为边作正方形，边恰好在轴上，直接写出此时的值． 变式2．综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；    （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；    【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．   【课后训练】 1．在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．定义：在平面直角坐标系中，若P，Q为某个四边形相邻的两个顶点，且该四边形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或重合，则称该四边形为点P，Q的“奇美四边形”．图1为点P，Q的“奇美四边形”的一个示意图．设点，点 【初步尝试】（1）若，在图2网格中画出点A，B的一个“奇美四边形”，并记作：“奇美四边形”； 【深入探究】：（2）①若（1）中得到的“奇美四边形”，满足，．求证：“奇美四边形”是菱形； ②若点A，B的“奇美四边形”为矩形，求直线的函数解析式； 【拓展应用】：（3）已知点，在线段上存在点N，平面内存在一点M，使点M，N的“奇美四边形”为矩形，且点B到直线的距离始终为，请直接写出b的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点    (1)求直线的解析式 (2)将沿着翻折，点B落在点处，连接，则四边形的形状为 (3)若点H是直线上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），直线AC经过y轴负半轴上的点C，且OA＝OC． （1）求直线AC的函数表达式； （2）直线AC向上平移9个单位，平移后的直线与直线AB交于点D，连结DC，求△ACD面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为直线AB上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点E，D，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点A落在点D处，与交于点E．的长满足式子． (1)求点A，C的坐标； (2)求出点E的坐标和直线的函数解析式； (3)F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以O，B，P，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$