1.1 菱形的性质与判定（九大题型）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出，，平分和，再由得出，从而利用等腰三角形等边对等角得出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，平分和，即， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 3．如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接,求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作垂直平分线和以及垂直平分线的性质，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的作法是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解题关键．由菱形的性质得到，，，再利用勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】解：菱形的两条对角线相交于点，， ，，， 在中，， ， 故选：C． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质以及中位线定理是解题的关键．先利用菱形对角线的性质求出线段长度，再通过构造中位线得到相关线段的长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 6．如图，在中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， ， 即． 在和中 ， ． （2）四边形为菱形，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于计算即可． 本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得菱形的面积等于， 故选：A． 8．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式，得到，证明是等腰直角三角形，从而得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：连接，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴由勾股定理可得，， ∵， ∴． 故答案为： ． 9．如图，在等腰中，，是边上的中线，点E，F在射线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，，结合，可知四边形为平行四边，然后根据“对角线相互垂直的平行四边形是菱形”即可证明结论； （2）设，则，根据题意，可知，，然后在中，利用勾股定理列出方程求得x，进而得到，最后菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 题型四 利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的对角线互相垂直平分但不一定相等”是解题的关键．根据菱形的性质依次判断即可． 【详解】A．∵菱形的对角线互相垂直，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴，该选项正确； B．∵菱形的四条边相等，又∵四边形是菱形，、是菱形的邻边，∴，该选项正确； C．∵菱形的对角线仅满足互相垂直且平分，不一定相等，又∵题目中仅说明四边形是菱形，未说明是正方形，∴无法推出，该选项错误； D．∵菱形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，又∵四边形是菱形，对角线与交于点，∴是的中点，即，该选项正确． 故选：C． 11．在菱形中，，，M为对角线的中点，N为边上一个动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由菱形的性质可求，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理可求的长，分，两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， 与互相垂直平分，，， 是等边三角形， ，， ， 当时，则， ， ∴， ， ， ， ， ， 当时，， 故答案为：或1． 12．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 14．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，在四边形是平行四边形的前提下，可添加邻边相等、对角线相互垂直等；根据菱形的判定条件添加即可． 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)添加，可使四边形是菱形（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）添加，可使四边形是菱形，理由：先根据平行线的判定与性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：添加，可使四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 题型六 证明四边形是菱形 16．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 17．如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有 填写序号 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； ②， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； ③， ， 平分， ， ， ， ，不能判定四边形是菱形； ④， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形，故能判定四边形是菱形； 故答案为：①②④． 18．如图，在中，，分别是，的中点，连接，，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理、菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的判定方法和性质是解题关键． （1）利用“三角形中位线定理”推出与的关系，结合已知条件得到且，先判定平行四边形，再通过“邻边相等”判定菱形． （2）借助“菱形对角线互相垂直平分”的性质，将对角线拆分后，用“勾股定理”求出另一条对角线的一半，进而得到完整对角线长度，最后代入“菱形面积公式”计算面积． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点，，， ，， ，， 四边形是平行四边形，又， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于点． 四边形是菱形，，， ，，， ，， ． 答：菱形的面积为． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，由作图可知，即得四边形是菱形，再根据菱形的性质解答即可，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 20．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，和是等边三角形， ∴平分，， ∴， 故答案为：． 21．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，角平分线的意义，等角对等边，根据菱形的性质与判定求线段长，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明四边形是菱形，根据菱形的性质可得出，，，再利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 23．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；过点B作于点E，连接，与交于点O，由折叠的性质可知：，垂直平分，即，由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 24．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形，得，结合，得四边形是平行四边形，结合，则，故四边形是菱形，即可作答． （2）根据菱形的性质，得，因为四边形是平行四边形，则，，运用勾股定理得，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 26．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】连接交于M，连接，根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而证得四边形为菱形，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，可得的长，进而求出，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图，连接交于M，连接， ，， 四边形是平行四边形， 点D，E分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ，点E为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得， 又点D为的中点， 为的中位线， ， ， 菱形的面积． 故答案为：4． 27．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得的长，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：∵在中，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：四边形为菱形， ∴四边形的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 菱形的性质与判定 题型一 利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 3．如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接,求的度数． 题型二 利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的两条对角线相交于点，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 6．如图，在中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 题型三 利用菱形的性质求面积 7．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 ． 9．如图，在等腰中，，是边上的中线，点E，F在射线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型四 利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 11．在菱形中，，，M为对角线的中点，N为边上一个动点，若为等腰三角形，则的长为 ． 12．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求的长． 题型五 添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 15．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 题型六 证明四边形是菱形 16．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 17．如图，在四边形中，，，下列条件①；②；③平分；④，能判定四边形是菱形的有 填写序号 18．如图，在中，，分别是，的中点，连接，，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 19．小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 20．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 21．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 23．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 24．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 25．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 26．如图，在中，，D，E分别是，的中点，，，若，，则四边形的面积为 ． 27．如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $