专题03 特殊平行四边形中的旋转问题全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题03 特殊平行四边形中的旋转问题全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、正方形旋转问题】 2 【考法二、矩形翻折问题】 5 【考法三、菱形翻折问题】 7 【课后练习】 9 【方法归纳】 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 【考法一、正方形旋转问题】 例1．问题提出： （1）如图，四边形是正方形，是上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求的大小； 问题探究： （）如图，在四边形中，，连接，若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） 问题解决： （）如图，在四边形中，与交于点且，求四边形的面积． 例2．【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由． （2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）． （3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长； （4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值． 变式1．在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状．以下是智慧小组的探究过程． 【特例探究】如图1，点G在边上． 小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路： 从M是的中点入手，延长交于点N，如图2． 通过证明，得到，． 由于，，故________． 所以是________． 再结合M是的中点从而可得结论． （1）横线处应填：________，________． 【类比探究】 （2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 变式2．（1）【探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，． ①求证：； ②若，，求正方形的边长． （2）【应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），、分别是，上一点，交于点，，若，直接写出的值：． 变式3．问题解决：如图1在矩形中，点分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，则__________． 【考法二、矩形翻折问题】 例．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形． (1)当点落在对角线上时，、分别交于点、． ①求证：； ②求的长； (2)在旋转过程中，若直线经过线段的中点，请直接写出线段的长度． 变式1．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．    (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________； (2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 变式2．在数学综合与实践活动课上，淇淇以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 淇淇将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． (2)深入探究 淇淇在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若， 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，如图③． 求线段长度的最大值和最小值． 【考法三、菱形翻折问题】 例．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 变式1．已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．    (1)如图1，当，求的长； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：； (3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 变式2．如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 【课后练习】 1．综合与实践 【提出问题】 在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点是射线上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：．   （1）如图1，当点在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得，，______． ．． 补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．求证：； 【拓展应用】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，请求出线段的长． 2．综合与实践 正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角．因此，正方形既是矩形，又是菱形．它既有矩形的性质，又有菱形的性质．    (1)【尝试探究】如图1 条件一：正方形、正方形，点落在上，连接、． 条件二：连接，取的中点，连接． 根据以上条件，证明：； (2)【深入探究】如图2 在（1）中的正方形、正方形，是的中点，连接，若将正方形绕着点旋转至点落在的延长线上，连接，证明：； (3)【拓展应用】 在（2）中是的中点的条件不变，继续将正方形绕着点旋转，如图3，连接交于点，连接，若点为的中点，的面积为2，求线段的长． 3．如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 4．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4， 在中， ，，点， 在边上，且，当， 时， 求的长． 5．（1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ． （2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长； （3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ． 6．【发现问题】如图1，已知，以点为直角顶点、分别以、为腰向外作等腰直角、等腰直角．连接、．那么与的数量关系是 ． 【拓展探究】如图2，已知，以、为边向外作正方形和正方形，连接、，试判断与之间的数量关系，并说明理由．（提示：正方形四条边相等，四个角相等） 【解决问题】如图3，有一个四边形场地，为等边三角形，，，求的最大值． 7．在等腰中，，，点，分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．    问题探究 (1)先将问题特殊化，如图，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系： (2)再探讨一般情形，如图，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 (3)如图，若为的中点，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊平行四边形中的旋转问题全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、正方形旋转问题】 2 【考法二、矩形翻折问题】 14 【考法三、菱形翻折问题】 21 【课后练习】 29 【方法归纳】 （1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF. 图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小 【考法一、正方形旋转问题】 例1．问题提出： （1）如图，四边形是正方形，是上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求的大小； 问题探究： （）如图，在四边形中，，连接，若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） 问题解决： （）如图，在四边形中，与交于点且，求四边形的面积． 【答案】（）（）（） 【分析】（）先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的定义即可得； （）过点作于，交的延长线于，先根据三角形全等的判定定理可得，再证四边形是正方形，然后根据正方形的性质、面积公式即可得； （）直接根据（）的结论求解即可． 【详解】解：（）四边形是正方形， 在和中， ， （）如图②，过点作于，交的延长线于， 又四边形是矩形， ， 又 四边形是正方形， ∴四边形的面积； （）由（）的结论可得：四边形的面积 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 例2．【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边，上．容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转（）． （1）如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由． （2）小组研究发现：如图3，连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角α的度数 ． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点B顺时针方向旋转a（）． （3）在旋转过程中，当A，G，E三点在同一条直线上时，求线段的长； （4）如图4，连接，取中点H，连接，请直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）成立，证明见解析；（2）或；（3）或；（4） 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得；延长，二线交于点M，与交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明． （2）画图分类计算即可． （3）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可； （4）连接，取中点M，连接，则，利用三角形中位线定理，三角形不等式，勾股定理解答即可． 【详解】（1）且仍成立．理由如下： ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；； 延长，二线交于点M，与交于点N， 则，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）如图，∵， ∴， ∴， 故； 如图，∵， ∴， ∴， ∴， 故． ． 故答案为：或 （3）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，,, ∴， ∵， ∴， ∴； ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，,, ∴， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，， ∴； 综上所述，的长为或； （4）如图，连接，取中点M，连接， 则， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴， , ∴， ∵， ∴三点共线时，线段长度取得最大值， 此时，． 故线段长度的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式的应用求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形不等式是解题的关键． 变式1．在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状． 以下是智慧小组的探究过程． 【特例探究】如图1，点G在边上． 小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路： 从M是的中点入手，延长交于点N，如图2． 通过证明，得到，． 由于，，故________． 所以是________． 再结合M是的中点从而可得结论． （1）横线处应填：________，________． 【类比探究】 （2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），等腰直角三角形     （2）仍是等腰直角三角形，不发生变化，理由见解析 （3）或 【分析】（1）根据给定的信息，填空作答即可； （2）过点C作的平行线，交的延长线于点P，连接，证明，得到，推出，过点作于点，则：，设与的交点为，证明，推出为等腰直角三角形，得到，且，即可得证； （3）分点M在线段的延长线上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由于，，故， 所以是等腰直角三角形， 故答案为：，等腰直角三角形； （2）不发生改变，理由如下： 过点C作的平行线，交的延长线于点P，连接，如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， 过点作于点，则：，设与的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴，且， ∴为等腰直角三角形； （3）①当点M在线段的延长线上时，如图所示． 由(2)，可知是等腰直角三角形， ∴设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）． ∴． ②当点M在线段的延长线上时，如图所示． 同理，可得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的关键． 变式2．（1）【探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，． ①求证：； ②若，，求正方形的边长． （2）【应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），、分别是，上一点，交于点，，若，直接写出的值：． 【答案】（1）①见解析；②6；（2） 【分析】（1）①延长至点，使得，连接，，先证明，再证明即可得出答案； ②设正方形边长为，根据①中结论列方程求解即可； （2）作，连接，设正方形的边长为，，利用（1）中结论求出、的长即可． 【详解】解：（1）①证明：延长至点，使得，连接，，如图， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； ②解：设正方形边长为， ，， ，， 由①得， 根据勾股定理得，， 解得， 正方形的边长． （2）解：作，连接，如图， 设正方形的边长为，， ，四边形是平行四边形， ， ， ，，， 根据勾股定理得，， 解得，， 则，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题关键是根据正方形的性质证明三角形全等，利用勾股定理求出线段长． 变式3．问题解决：如图1在矩形中，点分别在边上，于点G． (1)求证：四边形是正方形； (2)延长到点，使得，判断的形状，并说明理由． (3)类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，则__________． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）证，得，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，则，再证，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论； （3）延长到点，使得，连接，证，得，，再证是等边三角形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在△与△中， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）解：是等腰三角形； 理由如下： ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， 即垂直平分， ， 是等腰三角形； （3）解：如图：延长到点，使得，连接，如图2所示： ∵四边形是菱形，∴，，∴， 在与中， ，∴， ∴，， 又∵，∴，∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【考法二、矩形翻折问题】 例．如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形． (1)当点落在对角线上时，、分别交于点、． ①求证：； ②求的长； (2)在旋转过程中，若直线经过线段的中点，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等： （1）①根据平行得，由旋转得，即可得出，根据等腰三角形的性质即可得出； ②设，则，根据勾股定理得出的值，进而求出，再根据等腰三角形的性质求出即可； （2）利用勾股定理求出，分情况根据和分别求出的长度即可． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， ， 由旋转的性质可得：， ， ； ②设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 在中，， ， ， ， ， ， ； （2）解：分情况讨论： ①如图2所示：过点作于，则， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ②如图3所示：过点作延长线于点，则， 同①得：，， ， 综上：的长度为或． 变式1．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．    (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________； (2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②； (3)存在，最大值为：； 【分析】 （1）本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案； （2）①矩形的性质，旋转的性质及三角形全等的判定，根据旋转及矩形得到，，即可得到证明；②本题考查三角形全等的性质与勾股定理，根据得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）本题考考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：，∴； （3）解：∵为边的中点，∴， ∴，    过A作于E，∵点B到的距离小于， ∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2．在数学综合与实践活动课上，淇淇以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 淇淇将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． (2)深入探究 淇淇在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若， 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，如图③． 求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形；(2)探究一：；探究二：的最大值为，最小值为． 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，由勾股定理得，进而根据三角形的三边关系即可得解． 【详解】（1）解：两个完全相同的矩形纸片和，， 是等腰三角形， ，．，，， ∵，∴，∴， ，，， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）探究一：，，， ，， ，，， ，，， 在中，， ，解得，，的面积； 探究二：连接，      ∵保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若， ∴点在以为圆心，为半径的上运动，，， ∵， ∴的最大值为，最小值为， ∵取的中点， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，圆的认识，三角形的三边的关系的应用，能够确定点的运动轨迹是解题的关键． 【考法三、菱形翻折问题】 例．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），见解析；（2）；（3）4或2 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． （1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得，可得出，即可得出结论； （2）取的中点，连接，利用菱形的性质，可得出是等边三角形，易证，得出，由，即可得出； （3）分两种情形：如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于．解直角三角形求出，，可得结论．如图中，当点靠近点时，同法可求． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）（1）中的结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （3）如图中，当点靠近点时，过点作于，连接，作交于． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ． 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， 综上所述，满足条件的的值为4或2． 故答案为：4或2． 变式1．已知菱形的面积为，且，连接对角线，相交于点O，点E是边上一点，连接交于M．    (1)如图1，当，求的长； (2)如图2，将绕点A顺时针旋转，点E对应点F，连接交于点G，连接，求证：； (3)如图3，将沿射线方向平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）由菱形的性质得，证明是等边三角形，由等边三角形的性质及菱形面积是即可求出； （2）截取，连接，证明，得即可得结论； （3）设交于点O，取的中点E，连接，过点作，交延长线于，求出当三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】（1）解： 菱形中，， 是等边三角形三角形，，， ， ， ，， ，， ，即， ，， ， ； （2）    截取，连接， 在和中， ， ， ， 将绕点A顺时针旋转， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； （3）设交于点O，取的中点E，连接，    由题知，，且， 四边形是平行四边形， ， 点B与点D关于直线轴对称，点O在直线上， ，，即， 由题知，O是的中点， ， ， ， 是的中点， ， 即， 当三点共线时，有最小值， 即有最小值， 过点作，交延长线于， ，，， ，，， ， 又，， 所以的最小值为． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了菱形的性质、平移的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的三角形的性质、勾股定理、最小值等知识，熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 变式2．如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）如图，连接，利用菱形的性质可得和为等边三角形，进而可得，由直角三角形的性质可得，，即可得到； （）．如图，连接，证明得到，即可求证； （）如图，连接，同理（）可证，得到，即可得到； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵菱形中，，∴，， ∴和为等边三角形， ∵于，于，∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ， ∵，， ∴，∴， ∴，∴； （3）解：如图，连接， 同理可证，∴， ∴， 即． 【课后练习】 1．综合与实践 【提出问题】 在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点是射线上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：．            （1）如图1，当点在边上时，小明的证明思路如下： 在上截取，连接． 则易得，，______． ．． 补全小明的证明思路，横线处应填______． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．求证：； 【拓展应用】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，请求出线段的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3或7 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用等角的余角相等求得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）在上截取，连接． 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接． 则， 是等腰直角三角形， ，则，，， ， ； （3），则是等腰直角三角形， ， ， ， ； 当在线段上时， ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上，线段的长为3或7． 2．综合与实践 正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角．因此，正方形既是矩形，又是菱形．它既有矩形的性质，又有菱形的性质．    (1)【尝试探究】如图1 条件一：正方形、正方形，点落在上，连接、． 条件二：连接，取的中点，连接． 根据以上条件，证明：； (2)【深入探究】如图2 在（1）中的正方形、正方形，是的中点，连接，若将正方形绕着点旋转至点落在的延长线上，连接，证明：； (3)【拓展应用】 在（2）中是的中点的条件不变，继续将正方形绕着点旋转，如图3，连接交于点，连接，若点为的中点，的面积为2，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答； 【详解】（1）∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）在上截取，连接，    ∵是中点， ， ， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，    ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 3．如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时，    连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接，    由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 4．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4， 在中， ，，点， 在边上，且，当， 时， 求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)14 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点D作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ 5．（1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长 ． （2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长； （3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长 ． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】[操作与思考] 以为边，向左侧作等边三角形，结合等边三角形的性质利用可证明，可知，再利用勾股定理可求得答案； [迁移与应用] 作B关于的对称点，连接，可得等边三角形，再以为边，向左侧作等边三角形，类比可证，得，再作延长线于F，利用勾股定理可求得，再结合三角形中位线定理即可求得答案； [拓展与创新] 连接，以为边作等边，交于点，过点作，由等边三角形的性质可证，得，设，得，，进而可证得为直角三角形，结合等边三角形的性质可得，，，为的中点，则，由直角三角形斜边上的中线可得，由，知，得，则，设，则，由勾股定理可得：，即：，易得，则，，进而可得． 【详解】[操作与思考]解：以为边，向左侧作等边三角形， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：； [迁移与应用]解:作B关于的对称点，连接，再以为边，向左侧作等边三角形，再作延长线于F，如图所示： ∵， ∴， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴点B、C、在同一直线上， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵C，D分别为，的中点， ∴； [拓展与创新]连接，以为边作等边，交于点，过点作于点H，连接，，如图所示： ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，，， 则， ∵，为等边三角形， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴，设 则，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴平分， ∴，为的中点，则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，则，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，勾股定理，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解决问题的关键． 6．【发现问题】如图1，已知，以点为直角顶点、分别以、为腰向外作等腰直角、等腰直角．连接、．那么与的数量关系是 ． 【拓展探究】如图2，已知，以、为边向外作正方形和正方形，连接、，试判断与之间的数量关系，并说明理由．（提示：正方形四条边相等，四个角相等） 【解决问题】如图3，有一个四边形场地，为等边三角形，，，求的最大值． 【答案】发现问题：；拓展探究：，理由见详解；解决问题：的最大值为． 【分析】发现问题：根据等腰直角三角形的性质，推出，利用证明，即可得出； 拓展探究：由正方形的性质，推出，利用证明，即可得出； 解决问题：以为边向外作等边三角形，连接，由等边三角形的性质，得出，，证出，利用证明，得出，当、、三点共线时，最大，得出答案即可． 【详解】解：发现问题： ∵以点为直角顶点、分别以、为腰向外作等腰直角、等腰直角， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展探究： ，理由如下， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 解决问题： 如图，以为边向外作等边三角形，连接， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最大， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 7．在等腰中，，，点，分别在边，上（不同时在点），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，探究与的位置关系．    问题探究 (1)先将问题特殊化，如图，点，分别与点，重合，直接写出与的位置关系： (2)再探讨一般情形，如图，证明（）中的结论仍然成立． 问题拓展 (3)如图，若为的中点，点是点关于直线的对称点，若点，，在一条直线上，求的值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）先证，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论； （）过作交的延长线于点，证得 则，即可得出结论； （）连接，过作于点，延长交于点，证四边形是正方形，得，，，再证 ，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，即可解决问题． 【详解】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：如图，    过作交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由旋转的性质得： ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图， 连接，过作于点，延长交于点，    则， 由（）可知，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴平行四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$