专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、三角形翻折问题】 1 【考法二、四边形翻折问题】 5 【课后练习】 7 【方法归纳】 1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等； 2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解； 3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案 4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。 【考法一、矩形翻折问题】 例．如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结． (1)当点F在下方时（如图1），求证：． (2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 变式1．【实践操作】 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】（1）若点落在矩形的边上（如图）当点与点重合时，_____ ，当点与点重合时， ______ ； 【深入探究】（2）若点落在矩形的内部（如图），且点、分别在、边上，的最小值是______ ； 【拓展延伸】（3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 变式2．【问题情境】 折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程． 【动手操作】 步骤1：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：点M为边上任意一点（与点A，D不重合），沿折叠得到，折痕交于点N． 【问题探究】（1）如图1，当点A的对称点落在上时，连接． 求证：四边形为菱形； （2）已知，继续对折矩形纸片，使与重合，折痕与交于点O．将沿折叠，连接，若点A的对称点恰好落在线段上，此时． ①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A的对称点（保留作图痕迹，不写作法）； ②求的长度； 【拓展迁移】 如图3，在矩形纸片的边上取一点P，折叠纸片，使P，B两点重合，展平纸片，得到折痕；点为EF上任意一点（与点E，F不重合），折叠纸片使B，两点重合，得到折痕l及点P的对应点，折痕l交EF于点K，展平纸片，连接， ． （3）猜想与的数量关系，并证明． 变式3．如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点， 如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 变式4．实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点落在矩形的边上（如图①）． ①当点与点重合时，______； ②当点在上，点F在上时（如图②），当时，的长为_______． 深入探究 （2）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点M，在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 拓展延伸 （3）若点落在矩形的内部，且点分别在边上，请求出的最小值． 【考法二、正方形翻折问题】 例．综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时， (2)迁移探究 爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，　　； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 变式1．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________； (2)【类比应用】 如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； (3)【拓展延伸】 如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长． 变式2．发现（1）如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点，求证：． 拓展（2）如图①所示，若，求的值． 探究（3）如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿BE翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长（用含m、n的式子表示）． 变式3．如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【课后练习】 1．【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）： 【拓展变式】 （2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明； （3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积． 2．实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 3．如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F． 【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得． 【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长． 4．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕的长． (2)如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值． 5．【感知】如图①，中，，则的度数为______； 【探究】如图②，四边形是一张边长为4的正方形纸片，E，F分别为的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，试求的度数和的长； 【拓展】若矩形纸片按图③所示的方式折叠，B，D两点恰好重合于对角线的中点O(如图④)，则四边形为______；当时，则四边形的面积为______．（用含a的代数式表示） 6．如图，直角坐标系下矩形，点A在x轴上，点C在y轴上： (1)如图1，将沿翻折得， ①若，，则______度，P点坐标为______； ②若，，则P点坐标为______； (2)如图2，点B和E的坐标分别为和．点F在线段上，将沿翻折，点O的对应点为P，若点P正好落在边上，求点F的坐标． 7．（1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；    （2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；    （3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理 目录 【方法归纳】 1 【考法一、三角形翻折问题】 1 【考法二、四边形翻折问题】 16 【课后练习】 28 【方法归纳】 1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等； 2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解； 3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案 4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。 【考法一、矩形翻折问题】 例．如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结． (1)当点F在下方时（如图1），求证：． (2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或6或10 【分析】（1）由外角性质，折叠的性质可得，，，能够推导出，从而可证明结论； （2）当点F落在矩形的对称轴上时，即，交于点M，由勾股定理，折叠性质，中位线的定义求出的长，利用勾股定理即可求解； （3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时． 【详解】（1）证明：由折叠性质可知：，， 点D为对角线中点， ， ， ， ， ， ； （2）如图，当点F落在矩形的对称轴上时，即，交于点M， 在中， ，且为中点， 为中位线， ， ， 由折叠性质，，则 设，则， 在中， ，即， 解得：， 的长为； （3）存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 如图，当四边形为平行四边形时， ，且， ， ； 如图，当四边形为平行四边形时， ，， ， ， 在中，， ； 如图，当四边形为平行四边形时， ， ， ， 在中，， ， 综上所述，的长为或6或10． 【点睛】本题是四边形的综合题，图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，中位线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 变式1．【实践操作】 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）若点落在矩形的边上（如图）当点与点重合时，_____ ，当点与点重合时， ______ ； 【深入探究】 （2）若点落在矩形的内部（如图），且点、分别在、边上，的最小值是______ ； 【拓展延伸】 （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）90；45 （2）2 （3）存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或 【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则平分，即可得出答案； （2）当F与C重合，点P在对角线上时，有最小值，根据折叠的性质求，由勾股定理求，即可得出结果； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 当点与点重合时，是的中垂线， ， 当点与点重合时，如图， 则平分， 此时，， 故答案为：，； （2）若点落在矩形的内部，且点、分别在、边上，如图， 设，则， 当，，在一直线上时，最小，最小值为， 当最大为时，最小值为， 故答案为：； （3）分情况讨论： 如图，连接， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， 在和中， ， ， ， 设， 则，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； 如图， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， 设， 则，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ； 综上所述，存在某一情况，使得线段与线段的长度相等，线段的长度为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 变式2．【问题情境】 折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程． 【动手操作】 步骤1：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：点M为边上任意一点（与点A，D不重合），沿折叠得到，折痕交于点N． 【问题探究】 （1）如图1，当点A的对称点落在上时，连接． 求证：四边形为菱形； （2）已知，继续对折矩形纸片，使与重合，折痕与交于点O．将沿折叠，连接，若点A的对称点恰好落在线段上，此时． ①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A的对称点（保留作图痕迹，不写作法）； ②求的长度； 【拓展迁移】 如图3，在矩形纸片的边上取一点P，折叠纸片，使P，B两点重合，展平纸片，得到折痕；点为EF上任意一点（与点E，F不重合），折叠纸片使B，两点重合，得到折痕l及点P的对应点，折痕l交EF于点K，展平纸片，连接， ． （3）猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3），理由见解析 【分析】（1）根据折叠可得出，，，，证明，利用平行线的性质得出，则，利用等角对等边得出，即可得证； （2）①以M为圆心，为半径画弧交于即可； ②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出，证明，得出，在中，根据勾股定理，可求出，进而求出； （3）连接，，延长交于点M，可证明，得出，，由折叠可得，利用等边对等角和三线合一的性质可得出，， ，利用线段垂直平分线的性质，利用三线合一性质可得出，则，由（1）中，可得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵沿折叠，得到， ∴垂直平分， ∴，，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）如图 点即为所求， 解：连接， 由折叠可知：，，，，， 由（1）得， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理，得 ∴， 即， ∴， ∴； （3）证明：连接，，延长交于点M， ∵l为折痕， ∴，，l垂直平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 变式3．如图1，在矩形中，点E是边上的一点，连接． (1)若平分，点G是上的一点，连接，，且．过点C作于，延长线交于H，过点H作于P，如图． ①填空：的形状是______三角形； ②求证： (2)将图1的矩形画在纸上，若平分，沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点，如图．求证：． (3)如图，延长交的延长线于点K使得，此时恰好，连接交于点J，连接． 请证明：． 【答案】(1)①等腰直角；②见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得，进而得出结果； ②可证得，，， 进而得出结论； （2）连接，可证得，可得，根据等角对等边即可得出结论； （3）在线段上取点I，使得，连接，可证，得，在证，得，，得出，进一步得出结论． 【详解】（1）①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， 等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 ②证明：如图，过点E作于W． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 由（1）知，为等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠知，，， ，， 又， 在和中， ，， ， ， ． （3）如图，在线段上取点I，使得，连接， 在与中， ，，， ， ． ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。 变式4．实践操作 在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点落在矩形的边上（如图①）． ①当点与点重合时，______； ②当点在上，点F在上时（如图②），当时，的长为_______． 深入探究 （2）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点M，在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 拓展延伸 （3）若点落在矩形的内部，且点分别在边上，请求出的最小值． 【答案】（）①；②（）①当时，存在；②当时，（）的最小值为 【分析】（）①如图，当点与点重合时，平分解答即可；②利用垂直平分线的性质及矩形的性质可知，再利用正方形的判定及性质可知四边形菱形，最后利用勾股定理即可解答； （）根据全等三角形的判定及性质分两种情况解答即可； （）利用折叠的性质及勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）①当点与点重合时，如图， 由折叠的性质可知， ∵， ∴四边形是正方形， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为； ②当点在上，点在上时， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形菱形， 当时，设菱形的边长为,则， ，, 在中，由勾股定理得， , ∴， 解得：， 当时，菱形的边长为； （）①如图，连接， 由折叠的性质可知：， ∵，， ∴， 设，,， ∵,, ∴， ∴， 解得：； ∴当时，存在； ②，如图，由折叠的性质可知：, ∵，， ∴， 设，,, ∴,,, ∴， 解得：， ∴当时， （）若点落在的内部时，且点分别在边上， 由折叠的性质可知， 设,则， 在中，， 当在一条直线上时，最小， ∴最小值为， ∵最大取， ∴当最大取时，有最小值； 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，菱形的判定与性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 【考法二、正方形翻折问题】 例．综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时， (2)迁移探究 爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图2，当点在上时，　　； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；②，见详解 (3)或 【分析】（1）连接，由于折叠，，垂直平分，所以，即是等边三角形，可得的度数； （2）①由于折叠，，所以，，，而四边形是正方形，则，，可得，，由，可证，则，因为，可得的度数；②：同①可求的度数； （3）分两种情况讨论，当点Q在点F下方时：根据折叠以及正方形的性质设，则，，，对运用勾股定理得，；当点Q在点F上方时：同上可得方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：连接，    由于折叠，，垂直平分， ， ∴是等边三角形， ， 故答案为：； （2）解：①四边形是正方形， ，， 由于折叠，， ，，， ，， ， ∴， ， ， ∴， ， 故答案为：； ②四边形是正方形， ，， 由于折叠，， ，，， ，， ， ∴， 后同①可求； （3）当点Q在点F下方时，如图：    由于折叠，， ， ，， 设，则，，， 由勾股定理得，， 解得：， ； 当点Q在点F上方时，如图： ，，， ，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得：， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 变式1．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： (1)【探究发现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________； (2)【类比应用】 如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； (3)【拓展延伸】 如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长． 【答案】(1)30 (2) (3)或 【分析】（1）取中点O，连接，利用折叠的性质及直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，即可求解； （2）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得； （3）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：由第一步折叠知，， 由第二步折叠知，， ， 如图，取中点O，连接， 在中，点O是斜边中点， ， ， 是等边三角形， ，即， ， 故答案为：30； （2）解：如图， 同（1）可证， ， 在正方形中，，， 由折叠知，， ，， 在和中， ， ， ， ， （3）解：当点Q在点F的下方时，如图， 正方形中，， ， ， 由（2）知， ， 设，由折叠知， ，， 在中，， ， 解得，即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ， ， 设， 则，， 在中，， ， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键． 变式2．发现（1）如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点，求证：． 拓展（2）如图①所示，若，求的值． 探究（3）如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿BE翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长（用含m、n的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由正方形的性质和折叠可得，，利用“”证明，即可得证； （2）设，，则，由折叠可得，设， 则，，在中，根据勾股定理有，代入求的，即可解答； （3）连接，由在矩形的性质与翻折可证得，因此．设，则，在中，根据勾股定理有，代入即可求得，即，从而，根据平行线的性质与等角对等边得到，从而． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴． （2）解：∵， ∴设，，则． ∴在正方形中， ∵沿翻折到处 ∴， ∴设， ∴， 在中， ∴． 解得． ∴ ∴． （3）连接，根据题意在矩形中，将沿翻折到 ∴，，， ∵， ∴ ∴． ∵沿翻折到 ∴，设，则 在中， ． 解得． ∴． ∴ ∵矩形中， ∴ ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，轴对称的性质，勾股定理，等角对等边．正确作出辅助线，综合运用相关知识，运用勾股定理构造方程是解题的关键． 变式3．如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵， ∴，即， 在和中，，∴， ∴，∴，即．    【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【课后练习】 1．【问题情境】已知在四边形中，为边上一点（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图（1），若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点，写出与相等的角：______（写出一个即可）： 【拓展变式】 （2）如图（2），若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．给出下列结论：①；②是等边三角形；③当，，三点共线时，，请任意选择一个你认为正确的结论加以证明； （3）如图（3），若四边形是平行四边形，，，点落在线段上，为的中点，连接，，，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）选择①，见解析；选择②，见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形的特征即可求解； （2）选择①：根据垂直平分线段，结合折叠的性质可得，，在中，根据含30度角的直角三角形的特征即可证明；选择②：根据四边形是矩形，垂直平分线段，结合折叠的性质可得，即可证明为等边三角形； （3）连接，延长至点，使得，连接，由折叠的性质得，易证为等边三角形，推出，在中，求出，，易证，推出，，三点共线，即可得到，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）； （2）选择①： 垂直平分线段， ，，， 由折叠的性质可知， ， ， ， 由折叠性质可知， ， ， 在中，， ， ； 选择②：， 四边形是矩形，垂直平分线段， ， ， 由折叠的性质可知， ， 为等边三角形； （3）连接， 由折叠的性质得， ， 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， 延长至点，使得，连接， 在中，， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形综合问题，涉及正方形，矩形，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的特征，折叠的性质，熟练掌握正方形，矩形，平行四边形的性质是解题的关键． 2．实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：． 操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H． 我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______． 应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______． 【答案】操作一：见详解；操作二：；操作三： 【分析】操作一：由矩形的性质得出，．由折叠的性质得出，，．证出．则可得出结论； 操作二：由折叠得出，．．．进而可得，设，则，，由直角三角形的性质可得出答案； 操作三：连接，过点F作于点T，根据操作二可得：是的垂直平分线可得，即可推出，当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为，在（2）中已求出，可得，证明四边形是矩形，即有． 【详解】操作一：证明：四边形是矩形， ，． 由折叠得，，． ，， ． 又∵，， ； ∴； 操作二：由折叠得，．．． ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：； 操作三：连接，过点F作于点T，如图，    根据操作二可得：是的垂直平分线， ， ， 当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为， ， 在（2）中已求出， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴最小的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F． 【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得． 【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长． 【答案】探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等． 探究：连接，利用折叠的性质及正方形的性质证明，即可得出； 应用：设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：探究：猜想， 理由如下：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可得，， ，， 在和中， ， ， ； 应用：设， ， ，， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 4．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图1，将矩形沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，直线分别交矩形的边于点E、F． ①求证：． ②若，，求折痕的长． (2)如图2，将矩形沿直线翻折，点C、D分别落在点，处，若，，，连接，当点E为的三等分点时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②； (2)或． 【分析】题目主要考查矩形的性质，翻折的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． （1）①根据翻折的性质得出，再由等角对等边即可证明；②过点F作于点H，再由翻折的性质及勾股定理得出，利用矩形的判定和性质即可得出结果； （2）分两种情况分析：①若E为的三等分点，且，②若E为的三等分点，且，作出相应图形，然后利用其性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图1，过点F作于点H． ∵将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴由①可得． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）①若E为的三等分点，且，如图2所示． ∵， ∴，． 过点E作于点M， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． ∵将矩形沿折叠， ∴，，， ∴， ∴． ②若E为的三等分点，且，如图3所示． ∴，．过点E作于点N， 同理可得，， ∴， 同理由折叠可得，，， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 5．【感知】如图①，中，，则的度数为______； 【探究】如图②，四边形是一张边长为4的正方形纸片，E，F分别为的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，折痕交于点，试求的度数和的长； 【拓展】若矩形纸片按图③所示的方式折叠，B，D两点恰好重合于对角线的中点O(如图④)，则四边形为______；当时，则四边形的面积为______．（用含a的代数式表示） 【答案】（感知）：；（探究）：；；（拓展）：菱形； 【分析】本题是四边形的综合题，考查了含30度的直角三角形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定及性质等知识，掌握正方形、矩形折叠的性质是解决本题的关键． （感知）：先判断出是等边三角形，即可得出结论； （探究）：求出的度数，利用翻折变换的性质可求出的度数，在中求出，得出，在中可求出，利用翻折变换的性质可得出的长度． （拓展）：先判断出，得出，从而求出的长度，根据翻折变换的性质可得出，在中求出，即可得出答案． 【详解】解：（感知）：如图（1），取的中点，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； （探究）：∵正方形边长为分别为的中点， ∵沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处， 沿折叠落在处， （拓展）：∵四边形是矩形， 由折叠得， ∴点、、在同一条直线上， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ∵折叠后、两点恰好重合于一点， 由折叠知，， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得， 在中，同理得，， 故答案为：菱形，． 6．如图，直角坐标系下矩形，点A在x轴上，点C在y轴上： (1)如图1，将沿翻折得， ①若，，则______度，P点坐标为______； ②若，，则P点坐标为______； (2)如图2，点B和E的坐标分别为和．点F在线段上，将沿翻折，点O的对应点为P，若点P正好落在边上，求点F的坐标． 【答案】(1)①30，；②；(2) 【分析】（1）①过点P作轴于点H，，由，得，即可求解；而，则， ∴，故； ②过点P作轴于点H，连接交于点K，设， 先，则由，求得 ， ∴，在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得，即, 解得：，因此，，所以； （2）过点E作于点K，设，，在中，，则，，在中，由勾股定理得：求解即可． 【详解】（1）解：①过点P作轴于点H， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵将沿翻折得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，； ②过点P作轴于点H，连接交于点K，设， ∵将沿翻折得， ∴， 在中，， ∵，代入数据求解得： ， ∴， 在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得，即, 解得：，∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：过点E作于点K，∴， ∵点B和E的坐标分别为和， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折得， ∴设，， ∴在中，， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题是矩形背景下的翻折，考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；    （2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；    （3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．    【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）；（3）． 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质，勾股定理． （1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，在中，利用勾股定理列式求得，，再根据折叠的性质和平行线的性质，求出； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先求得，由勾股定理得到，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：菱形 四边形是矩形，，， 垂直平分，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，平行四边形为菱形； （2）解：过点作于，    由折叠可知：，， 在中，，即，，， ∵，，； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，   四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ∵， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$