精品解析：上海市市西中学2023-2024学年高一下学期期末复习数学试卷

2023学年高一数学期末复习卷——火卷 2024.6 一、填空题 1. 已知是虚数单位，复数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则，直接计算即可. 【详解】 故答案为： 2. 若，，且与的夹角为，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量模的公式计算即把模平方转化为数量积的运算． 【详解】解：， 故答案为：2. 3. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简，再弦化切，即可求解. 【详解】解：因为， 所以， 故答案为： 4. 无穷等比数列的前n项和为，且，则首项的取值范围是_______． 【答案】; 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的前n项和的极限得到的关系，再由即可求得的取值范围. 【详解】因为在无穷等比数列中，，即， 因为， 所以当时，； 当时，； 综上：或，即. 故答案为：. 5. 在等差数列中，，，则______. 【答案】74 【解析】 【分析】根据等差数列的性质列式计算即可. 【详解】因为，所以由等差数列的性质可得， 所以， 故答案为：74 6. 已知向量，，，若，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算，结合向量的夹角公式求解即可 【详解】，，即，所以，解得. 故答案为：5 7. 若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是________． 【答案】和 【解析】 【分析】由图象可求出函数在上减区间，再由函数为奇函数可得其在上的减区间，从而可答案 【详解】由图可知在区间上的减区间为， 因为是定义在R上的奇函数， 所以在上的减区间为， 所以的单调减区间是和， 故答案为：和 8. 函数在的零点个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数． 【详解】［方法一］：【最优解】 由题可知，或 解得,或故有3个零点． 故答案为：． 方法二： 令，即，解得，，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3． 故答案为：． 【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解； 方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点． 9. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】根据题意得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 10. 已知，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则对应数阵中的数是__________． 【答案】97 【解析】 【分析】根据数阵的排列规律，结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】由题意可得：每个数均为奇数，且第行有个数， 则到第行最后一个数共有个， 则是第个奇数，所以. 故答案为：97. 11. 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】因为点为莱洛三角形曲边上的一动点，所以需要讨论点在哪一条弧上.每一种情况将原式中的向量利用向量的运算转化为共起点且已知长度和角度的向量，再设出唯一变化的角或，进而利用数量积运算表示成该角的三角函数，借助辅助角公式求出最值. 【详解】当点落在圆弧上时，长度恒为半径2， 设，， 原式 其中，， 又，， 原式取最小值. 当点落在圆弧上时，根据对称性同理可得原式取最小值. 当点落在圆弧上时，长度恒为半径2， 设，， 原式 又 ，∴当时，原式取最小值. ，故原式取最小值. 故答案为：. 12. 设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.. 【详解】设. 由，可知，即，即. 因为，，，所以， 则可化为，解得. 即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分. 弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为. 故答案为：. 二、单选题 13. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ） A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 【答案】A 【解析】 【分析】设建筑物底部到第一次观察时镜面位置之间的距离为，根据光线反射性质列出关于的方程组，求解即可. 【详解】 如图：设建筑物最高点为A，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为，第一次观察时人眼睛位置为C处，第二次观察时镜面位置为， 设到之间的距离为， 由光线反射性质得，所以，即，① 同理可得，② ①②两式相比得，解得， 代入①得， 故选：A． 14. 复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 15. 设O是△ABC的外心，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取BC的中点D，连接OD，AD，设，根据向量的数量积运算可求得，代入可得答案. 【详解】解：取BC的中点D，连接OD，AD，因为O是△ABC的外心，所以， 设，则 所以，所以， 故选：C. 16. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）.它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，.则下列判断中不正确的是（ ） A. 数列是以4为首项，为公比的等比数列 B. 从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为32 C. 使得不等式成立的的最大值为 D. 数列的前项和 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，进而求出，结合等比数列定义可判断A；求得的表达式，即可求出连续3个正方形的面积之和，判断B；求出的表达式，结合数列的单调性可判断C；利用等比数列的前n项和公式结合不等式知识判断D. 【详解】对于A，由题意可得，且， 所以，而， 故数列是以4为首项，为公比的等比数列，A正确； 对于B，由A的分析可得， 所以， 即从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为，B错误； 对于C，， 由于指数函数为R上单调递减函数，故随n的增大而减小， 且， 故使得不等式成立的的最大值为，C正确； 对于D，因为，即为等比数列， 故，由于. 故，D正确， 故选：B 三、解答题 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （1）若，求b； （2）若，求b． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）依据余弦定理结合条件即得； （2）依据正弦定理结合条件即得. 【小问1详解】 由余弦定理，得， 解得（负值舍去）， 故. 【小问2详解】 由正弦定理，得， ∵， ∴或， 当时，，∴； 当时，，∴． 综上，或． 18. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】（1）， （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法、减法和数乘运算即可求出答案； （2）通过证明，从而证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 . 证明如下： 由（1）得，， 所以， 所以，即. 19. 已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6；（2）或． 【解析】 【分析】（1）将已知的根代入原方程，从而可求实数的值． （2）就的取值范围分类计算，从而可求实数的值． 【详解】解： （1）∵为方程的根，所以， 整理得到：，由可得. （2）由方程可得， 若即或，则， 则，即，解得， 若即，则，即，解得， 综上所述，实数的值为或． 20. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 . 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. 【小问3详解】 原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 21. 在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： （1）对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ （2）提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ （3）总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 【答案】（1）根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. （2）当时,最低值为多少 （3）由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【解析】 【分析】（1）结合条件，提出合理的假设即可. （2）由条件求解析式，结合基本不等式求求最小值. （3）第三小问属于开放式试题,合理的建议即可. 【小问1详解】 根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. 【小问2详解】 稳定阶段: 疲劳阶段: 故. 当时， 当时， 当且仅当时，即时取等号. 比较可知，当时 故最低值为多少 【小问3详解】 由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【点睛】分段函数要找到分段点，时间的变化要带入数学式子中计算,以免产生错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年高一数学期末复习卷——火卷 2024.6 一、填空题 1. 已知是虚数单位，复数______. 2. 若，，且与的夹角为，则___________. 3. 已知，则______. 4. 无穷等比数列的前n项和为，且，则首项的取值范围是_______． 5. 在等差数列中，，，则______. 6. 已知向量，，，若，则___________. 7. 若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是________． 8. 函数在的零点个数为________． 9. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________. 10. 已知，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则对应数阵中的数是__________． 11. 莱洛三角形也称圆弧三角形，是一种特殊的曲边三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为莱洛三角形曲边上的一动点，则的最小值为______. 12. 设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______． 二、单选题 13. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为（ ） A. 6m B. 5m C. 4m D. 3m 14. 复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 15. 设O是△ABC的外心，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 16. 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）.它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，.则下列判断中不正确的是（ ） A. 数列是以4为首项，为公比的等比数列 B. 从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为32 C. 使得不等式成立的的最大值为 D. 数列的前项和 三、解答题 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （1）若，求b； （2）若，求b． 18. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． （1）用，表示，． （2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 19. 已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 20. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； （3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 21. 在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： （1）对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ （2）提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ （3）总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $