专题02 绝对值的五种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题02 绝对值的五种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用数轴化简绝对值】 1 【考法二、分类讨论化简绝对值】 2 【考法三、根据字母取值范围化简绝对值】 3 【考法四、绝对值方程整数解问题】 4 【考法五、绝对值几何意义】 4 【课后练习】 6 【知识点归纳】 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即： 互为相反数的两个数绝对值相等 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数。 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 【考法一、利用数轴化简绝对值】 例．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 变式1．已知的大致位置如图所示：化简． 变式2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 变式3．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【考法二、分类讨论化简绝对值】 例．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 变式1．若，则的值为 ． 变式2．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 变式3．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【考法三、根据字母取值范围化简绝对值】 例．若，则 ． 变式．已知化简：= ． 【考法四、绝对值方程整数解问题】 例．满足的所有整数对有 对． 变式1．若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ． 变式2．已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ． 变式3．若a、b、c是整数，且，则 ． 【考法五、绝对值几何意义】 例．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答一列问题： (1)若，则______．若，则_____． (2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______． (3)当，求的最大值和最小值． 变式1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 变式2．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【课后练习】 1．如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 2．有理数在数轴上的位置如图所示，以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 4．若，则 ． 5．如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 6．有理数、在数轴上的对应点位置如图所示 （1）用“<”连接、、、 （2）化简： （3）若，且，求的值． 7．如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值：①的最小值为 ；②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 8．阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 9．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． (2)探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 (4)知识迁移 最大值是______ ，最小值是______ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值的五种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用数轴化简绝对值】 1 【考法二、分类讨论化简绝对值】 3 【考法三、根据字母取值范围化简绝对值】 8 【考法四、绝对值方程整数解问题】 9 【考法五、绝对值几何意义】 11 【课后练习】 15 【知识点归纳】 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即： 互为相反数的两个数绝对值相等 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数。 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 【考法一、利用数轴化简绝对值】 例．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 变式1．已知的大致位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】 此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴可得：， ， ． 变式2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 变式3．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 【考法二、分类讨论化简绝对值】 例．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 变式1．若，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的值为3或， 故答案为：3或． 变式2．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵,∴； ∵，∴,∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则：； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则：； 综上所述：的值为3或或1或． 变式3．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)；(2)或；(3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得：， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 【考法三、根据字母取值范围化简绝对值】 例．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值后合并解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式．已知化简：= ． 【答案】-a-3b-c 【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可. 【详解】解：∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0 ∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c 故答案为-a-3b-c. 【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键. 【考法四、绝对值方程整数解问题】 例．满足的所有整数对有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，绝对值的意义，根据已知可得到或，分情况进行求解即可． 【详解】解：， ， 或， 所以有或或或，共4对， 故答案为：4． 变式1．若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝ ． 【答案】2 【分析】因为、、都为整数，而且，所以与只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出． 【详解】解：、、为整数，且， 有，或，， ①若，， 则，， ， ， ②，， 则，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是绝对值的化简，解题的关键是掌握两个相反数的绝对值相等是解题的重点，灵活对绝对值的化简进行变形． 变式2．已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ． 【答案】5或7或8或4 【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即，或，，然后解绝对值方程组即可，． 【详解】解：因为，均为整数，， 可得：，或，， ∴当，，可得：，，则； 当，，可得：，，则； 当，，可得：，，则； 当，，可得：，，则， 故答案为5或7或8或4． 【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键． 变式3．若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时，则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 【考法五、绝对值几何意义】 例．数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答一列问题： (1)若，则______．若，则_____． (2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______． (3)当，求的最大值和最小值． 【答案】(1)0；或0； (2)；； (3)最大值是15；最小值是； 【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案； （3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可 【详解】（1）解：∵表示数轴上表示x的点到表示1和1的距离相等， ∴到1和1距离相等的点表示的数为：； ∵， 表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于5， ∴或； 故答案为：0；或0； （2）解：∵， 表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于4， 又∵， ∴能取到的数在和1之间， 即， ∴能取到的最小值是，最大值是； 故答案为：；； （3）解：根据题意， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，有最大值， ∴最大值为：； ∴当，，时，有最小值， ∴最小值为：； 【点睛】本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键． 变式1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 变式2．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；数轴上表示数3和的两点距离为 ；的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 【课后练习】 1．如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 2．有理数在数轴上的位置如图所示，以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数的运算法则．由数轴得出，，，据此逐项计算验证即可． 【详解】由数轴可得：，，， ∴，结论①正确；，结论②错误；，结论③错误； ，，， ∴，结论④正确． 故正确结论有2个． 故选：B 3．若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答. 【详解】当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以，，故选D 【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键. 4．若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】 本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2． 故答案为：或0或2． 5．如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 本题主要考查了数轴和正负数，先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 【解答】 解：∵， ∴与互为相反数， ∴原点为，如图：    则在原点左侧的数有三个， 即，，，四个数中负数有个． 故选：． 6．有理数、在数轴上的对应点位置如图所示 （1）用“<”连接、、、 （2）化简： （3）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）在数轴上表示出-a、-b，根据数轴上的数右边的总比左边的大，观察数轴，即可得结论；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可. 试题解析： （1）； （2）根据图示，可得a<-1<0<b<1， ∴a<0，a+b-1<0，b-a-1>0， ∴=-a+2(a+b-1)-(b-a-1)=-a+2a+2b-2- =； （3）∵， ∴c<0. ∵， ∴， ∴c+1>0，c-1<0，a-b+c<0， ∴原式=1-1-（-1）=1. 点睛：本题考查了用数轴比较数的大小：数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题时要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 7．如图，数轴上有点三点． (1)用“”将连接起来． (2) 1， 0（填“”“”，“”） (3)求下列各式的最小值： ①的最小值为 ； ②的最小值为 ； ③当 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①2；②③， 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离、利用数轴判断式子的正负，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴即可得出答案； （2）由数轴可得，从而即可得出答案； （3）①由的意义即可得出最小值；②由的意义，结合即可得解；③由的意义，结合即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：； （2）解：由数轴可得：， ，， 故答案为：，； （3）解：①的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， 故的最小值为， 故答案为：； ②的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数的点的距离之和， ， 故的最小值为， 故答案为：； ③的意义是数轴上表示数的点到表示数，到表示数，到表示数的点的距离之和， 故当时，的值最小，为， 故答案为：． 8．阅读下面材料：    在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点分别表示数，则两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为 ； (2)当时， ；当时， ． (3)借助（2）的发现，计算：． (4)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数 ． 【答案】(1)3；； (2)； (3) (4)①数轴见解析，5；②或4 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可； （2）根据去绝对值法则计算即可； （3）先去绝对值然后根据有理数的加减运算即可求解； （4）①先化简绝对值然后合并同类项即可； ②分表示x的点在表示的点的左侧，表示x的点在表示3的点的右侧，两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解∶ 数轴上表示 和的两点之间的距离是∶ ， 数轴上表示数 和 -3 的两点之间的距离表示为∶ ， 故答案为∶ 3 ； ； （2）当 时， ， 当 时， ， 故答案为： ； （3）原式 ； （4）①画出数轴如下：    由数轴可知：当表示数x的点在与3之间移动时，， 故答案为：5； ②表示x的点不可能在表示和3的点之间， 当表示x的点在表示的点的左侧时，如图：    此时； 当表示x的点在表示3的点的右侧时，如图：    此时． 故答案为：或4． 9．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点A，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示和的两点之间的距离是______ ，数轴上表示和的两点之间的距离是______ ． ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______ ，如果，那么为______ ． (2)探索规律： ①当有最小值是______ ． ②当有最小值是______ ． ③当有最小值是______ ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台A、、、、、、、、，一只配件箱应该放在工作台______ 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______ 米 (4)知识迁移 最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】(1)①；②；或 (2)①②③ (3)； (4)； 【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式可直接得出答案； 先由数轴上两点间的距离公式得，进而得，据此解出即可； （2）根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离； 根据的几何意义及“两点之间，线段最短”得：当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和； （3）由（2）可知：当配件箱放在流水线的中点处，共作人员所走的路程最短，进而再求出最短路程即可； （4）根据的几何意义意义分三种情况进行讨论：当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即，可得；当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即，可得，当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即，可得，综上所述可得出，据此可得出答案． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：；． 数轴上表示和的两点和之间的距离是：， 当，则， 或， 由解得：， 由解得：， 的值为：或， 故答案为：；或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是． 故答案为：． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离，即为， 即有最小值是， ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离、数轴上表示数、两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数，两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数，两点之间的距离与数轴上表示数，两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是． 故答案为：． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． 故答案为：；． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、两点间的距离之差， 当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ，， ； 当在数轴上表示数的点在表示数，两点之间时，即， 则，， ，， ， 当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ，， ， ， 的最大值是，的最小值是． 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离，理解题意，理解数轴上点A所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$