专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型） 题型九 二次函数其他问题 题型十 二次函数综合问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米，求的值； (2)若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积有最大值和最小值． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长，总占地面积为．    (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)请你判断饲养室的占地面积是否可能达到，并说明理由． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 2．（22-23八年级·上海·假期作业）如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，求经过几秒时，    (1)的面积等于8平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿射线以的速度移动．当点停止移动时，点同时停止．点，分别从，同时出发，经过时间为秒． (1)用表示的面积； (2)当为何值时，以点，，，为顶点的四边形面积为； (3)在移动过程中线段长度的最小值为________． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式． (2)因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？（，结果精确到） 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 3．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某公园里的座彩虹桥由三条形状相同的抛物线型桥拱组成，中间的桥拱跨度，此桥拱顶点到的距离为． (1)如图1，建立平面直角坐标系，求中间的桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，一艘宽为的游船沿桥拱正下方驶来，有一名身高的演员站立在甲板上表演，他的头顶是否有触碰到桥拱的危险？请说明理由．（假设船甲板与齐平） (3)如图2，右侧桥拱跨度，且点在同一水平线上，建立如图所示的平面直角坐标系，若中间的桥拱所在抛物线与右侧桥拱所在抛物线交于轴上的某一点，则的值为多少？ 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）． (1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式． (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元． (3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 2．（2024·浙江宁波·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）年末将至、对于厂商来说最关心的是能否将囤积的货物进行清仓，为来年筹备更充足的资金．根据以下厂商提供的信息、请你为其在最后一个月策划一个合适的清仓方案． 【素材】 1.产品成本：元件；产品标价：元/件． 2.三类方式销售情况： （1）线上销售：月销售量与售价的数据统计如下： 售价（元/件） 月销售数量（件） （2）线下直营：按标价销售，但每件赠送价值元的礼品，月销售量最多件； （3）直播促销：直播促销售价为元，销售量最多可达件． 3.清仓数量：件． (1)记线上售价为x元，月销售数量为y件，在直角坐标系中，根据线上销售统计的数据进行描点，并选择合适的函数模型表示y关于x的关系． (2)将件产品以三类方式组合销售，设准备分配给线下直营的数量为a件，要使得销售总利润最大，请分别求出线上销售价格和直播促销的数量． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 1．（2024·浙江嘉兴·一模）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m． (1)求a，b的值． (2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处． 2．（2023·浙江台州·二模）某次三人垫球训练要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少．甲在处将球垫偏之后，乙跑到在处按球传给丙，丙在处传回给处的甲．球沿抛物线运动假设抛物线，在同一平面内，处离地面的距离为米．如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)甲垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由； (3)丙垫球后，若球在运动中离地面的最大高度达到要求，丙垫球处离地面的高度至少为多少米？ 3．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是拋物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． x（米） 0 0.4 1 1.6 … y（米） 2 2.16 2.25 2.16 …      (1)球经发球机发出后，最高点离地面______米：求y与x的函数解析式； (2)发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与之间满足函数关系． ①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米； ②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h． (1)已知．若喷水口在P处，，． ①求水线最高点与点B之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． (2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．      (1)若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时a、b的值； (2)若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】 【例8】（2024·浙江金华·二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【经典例题九 二次函数其他问题】 【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： (1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； (2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； (3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【经典例题十 二次函数综合问题】 【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式及的面积． (2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标． 1．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（    ） A．6元 B．7元 C．8元 D．9元 2．如图二次函数图象与轴交于，两点（点在轴的负半轴），与轴交于一点，过作轴交图象于点，连结，，若，则点的横坐标为　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（        ） A． B． C． D． 6．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 7．飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒． 8．如图所示，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则点的坐标是 ． 9．图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米．      10．如图，已知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 11．一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 12．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m），飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … (1)直接写出水平距离关于飞行时间的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)求飞行高度关于飞行时间的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离． 13．某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下： 素材 内容 素材1 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形 素材3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留） (3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度． 14．已知：、、．抛物线过、、三点．求：连接，抛物线上找点，使时点的坐标．． 15．图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数的应用重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 利用二次函数求图形问题 题型二 利用二次函数求图形运动问题 题型三 利用二次函数求拱桥问题 题型四 利用二次函数求销售问题 题型五 利用二次函数求投球问题 题型六 利用二次函数求喷水问题 题型七 利用二次函数求增长率问题 题型八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型） 题型九 二次函数其他问题 题型十 二次函数综合问题 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【经典例题一 利用二次函数求图形问题】 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S（平方米）． (1)用含x的代数式表示S； (2)当时，求向日葵基地的面积． 【答案】(1) (2)100平方米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，求二次函数值，解题的关键是求出函数解析． （1）根据长方形面积公式求出二次函数解析式； （2）把代入求出函数值即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为x米，则宽为米，则： ． （2）解：把代入得： （平方米）． 答：向日葵基地的面积为100平方米． 1．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设矩形的面积为，找到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴, 设矩形的面积为，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当，即，点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是 2．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米． (1)若苗圃园的面积为平方米，求的值； (2)若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积有最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值，最小值 【分析】（1）由题意可得平行于墙的一边长为米，利用矩形面积建立等量关系解一元二次方程即可； （2）由题意可得园圃面积，根据边长的不等关系建立不等式组得到边长的范围，即，再结合二次函数图象及性质求最值即可； 【详解】（1）解：由题意知：平行于墙的一边长为米， ∵， 整理得：， 解得：， 当，，故舍去， 当，，成立； ∴ （2）设园圃面积为平方米， ∵，解得： ∴ ∵ 当时，， ∵， ∴当时， ∴这个苗圃园的面积有最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了根据题意列方程及函数关系式，解一元二次方程，解一元一次不等式组，二次函数求最值，掌握二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长，总占地面积为．    (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)请你判断饲养室的占地面积是否可能达到，并说明理由． 【答案】(1) (2)面积达不到，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得出矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得到y关于x的函数表达式； （2）将y关于x的函数表达式转化成二次函数顶点式，得出的最值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得矩形的宽为，， （2）解： 的最大值为， 又∵     ∴饲养室的占地面积达不到． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用及求二次函数的最值，理解题意找出变量之间的关系列出函数表达式及熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接，设运动时间为，的面积为S． (1)用含t的代数式表示______；______． (2)点D运动至何处时，？ (3)点D运动过程中，的最大值是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)． 【分析】本题考查动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，一元二次方程的实际应用等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点D和点E的运动路径和运动速度即可得到答案； （2）求出，由，则，，，可得即可求出； （3）根据直角三角形面积公式列出关于t的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）∵点D从点C开始沿边运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：， （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得： ，（舍去）， ∴当时，． （3）由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值是4， 即点D运动过程中，的最大值是． 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． (2)经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【分析】（1）设运动时间为x秒，根据勾股定理求出的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可； （2）根据，当时，即可取得最大值． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒， 则，， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，最短，最短为， ∴经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． （2）∵ ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． 2．（22-23八年级·上海·假期作业）如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，求经过几秒时，    (1)的面积等于8平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1)2秒或4秒； (2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是63平方厘米． 【分析】（1）设运动时间为t，则，，再由面积公式建立方程求解即可； （2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案． 【详解】（1）解：设运动时间为t，则，， 则， 解得：或． 经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）解： 由（1）可得：； 要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，最小值为． 【点睛】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程以及二次函数的性质是解本题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿射线以的速度移动．当点停止移动时，点同时停止．点，分别从，同时出发，经过时间为秒． (1)用表示的面积； (2)当为何值时，以点，，，为顶点的四边形面积为； (3)在移动过程中线段长度的最小值为________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到，，再根据三角形面积公式即可得到答案； （2）先求出，然后分两种情况讨论：①点Q在点C下方，根据，列方程求解即可求出的值；②点Q在点C上方，根据，列方程求解即可求出的值； （3）有勾股定理，得到，令，利用二次函数的性质，得到当时，有最小值为，即可求得线段长度的最小值． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ①如图，当点Q在点C下方时，此时， ， 由（1）可知，， ， 解得：或（舍）， ②如图，当点Q在点C上方时，此时， ， 解得：， 即当或时，以点，，，为顶点的四边形面积为； （3）解：由题意可知，，， 由勾股定理得：， 令， ， 当时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，勾股定理等知识，理解题意，巧妙运用二次函数解决问题是解题关键，注意分类讨论． 【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】 【例3】（22-23九年级上·浙江台州·期中）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面的距离为6米，宽度为12米． (1)求该抛物线的解析式； (2)若隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带，如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？ 【答案】(1)； (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析． 【分析】（1）由题意可知顶点P的坐标为，则设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）根据隧道隧道是双向车道，把代入解析式中求出的值与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即所求抛物线的解析式为：； （2）解：当时， ， 这辆货车不能安全通过． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式． 1．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式． (2)因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？（，结果精确到） 【答案】(1) (2)此时水面的宽度是 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意，可得抛物线上各点的坐标：，设抛物线的解析式为：，采用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，可得抛物线上各点的坐标：， 设抛物线的解析式为：， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数， 当时，， 解得：， ， 即此时水面的宽度是． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 3．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某公园里的座彩虹桥由三条形状相同的抛物线型桥拱组成，中间的桥拱跨度，此桥拱顶点到的距离为． (1)如图1，建立平面直角坐标系，求中间的桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，一艘宽为的游船沿桥拱正下方驶来，有一名身高的演员站立在甲板上表演，他的头顶是否有触碰到桥拱的危险？请说明理由．（假设船甲板与齐平） (3)如图2，右侧桥拱跨度，且点在同一水平线上，建立如图所示的平面直角坐标系，若中间的桥拱所在抛物线与右侧桥拱所在抛物线交于轴上的某一点，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)没有触碰危险 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得：顶点，，设抛物线的表达式为，将代入抛物线得：，求出的值即可； （2）计算出，在中，当时，，由此即可得出答案； （3）设，则，设，，将代入得 ，当时，，得出，从而得出，，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：顶点，， 设抛物线的表达式为， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：， 在中，当时，， 没有触碰危险； （3）解：设，则， ， 设，， 将代入得：， 解得：， ， 当时，， ， 解得：， ，， ． 【经典例题四 利用二次函数求销售问题】 【例4】（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】【任务一】110；；【任务二】将售价下降2元或6元能使利润达到2520元；【任务三】将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． [任务一]依据题意，由售价每上涨1元个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元个，每天可多卖出10个，可得当降价元个时，可得平均每天销售数量； [任务二]依据题意，若设涨价元个时，可得，进而可得△，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价元个时，则得，进而计算可以得解； [任务三]依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润，再由二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：[任务一] 由题意，售价每上涨1元个，每天要少卖出5个， 又涨价2元个， 平均每天销售数量为：（个）． 又售价每下降1元个，每天可多卖出10个， 当降价元个时，平均每天销售数量为：个． 故答案为：110；． [任务二] 由题意，若设涨价元个时， 得， 化简得． ． 涨价不能使利润达到2520元． 若设降价元个时， 得， 化简得， 解得，． 将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． [任务三] 尽快减少库存， 采取降价促销． 每天的利润． 将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）． (1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式． (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元． (3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)1600元或1800元 (3)当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元 【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式即可求解； （2）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出方程，即可求解； （3）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出二次函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得， 解得：， 当时，每个房间的定价为（元）， 当时，每个房间的定价为（元）， 答：定价为1600元或1800元． （3）解：设利润为，则根据题意得， ∵， ∴有最大值，即当时，的最大值为22500元， 即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元． 2．（2024·浙江宁波·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围． 【答案】(1)该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元 (2)优惠幅度的范围是15元至85元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键． （1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可； （2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得， ， 解得：， 答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元； （2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意得， ， ∵，二次函数的图象的开口向下， 当时，有， 解得：， ∵为整数， ∴，， 当时，， ∴ 答：优惠幅度的范围是15元至85元． 3．（2023·浙江温州·模拟预测）年末将至、对于厂商来说最关心的是能否将囤积的货物进行清仓，为来年筹备更充足的资金．根据以下厂商提供的信息、请你为其在最后一个月策划一个合适的清仓方案． 【素材】 1.产品成本：元件；产品标价：元/件． 2.三类方式销售情况： （1）线上销售：月销售量与售价的数据统计如下： 售价（元/件） 月销售数量（件） （2）线下直营：按标价销售，但每件赠送价值元的礼品，月销售量最多件； （3）直播促销：直播促销售价为元，销售量最多可达件． 3.清仓数量：件． (1)记线上售价为x元，月销售数量为y件，在直角坐标系中，根据线上销售统计的数据进行描点，并选择合适的函数模型表示y关于x的关系． (2)将件产品以三类方式组合销售，设准备分配给线下直营的数量为a件，要使得销售总利润最大，请分别求出线上销售价格和直播促销的数量． 【答案】(1)描点见解析， (2)线上销售价格为元，直播促销的数量为件 【分析】本题考查了一次函数解析式，画一次函数图象，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质等知．熟练掌握一次函数解析式，画一次函数图象，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）描点即可，设y关于x的函数关系为，将代入，计算求解，然后作答即可； （2）由题意知，线上售数量为y件，则直播促销的数量的数量为件，其中，，设总利润为，依题意得，，整理得，，由，，可知当，时，最大，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：描点如下， 设y关于x的函数关系为， 将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，线上售数量为y件，则直播促销的数量的数量为件，其中，， 设总利润为， 依题意得，， 整理得，， ∵，， ∴当，时，最大， ∴（件）， 当时， ∴线上销售价格为元，直播促销的数量为件． 【经典例题五 利用二次函数求投球问题】 【例5】（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 1．（2024·浙江嘉兴·一模）小嘉同学经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m． (1)求a，b的值． (2)小嘉经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网． (3)通过对本次训练进行分析，若击球高度下降0.3m，则在吊球路线的形状保持不变的情况下，直接写出他应该向正前方移动______米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处． 【答案】(1)， (2)能过网，见解析 (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式和过点解得b，再求出点P的坐标，代入二次函数求得a； （2）选择扣球，利用一次函数求得网的高度，选择吊球，结合利用二次函数求得值与网高进行判断即可； （3）由吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m，得点P的坐标为，设向前移动m米，则二次函数解析式为，将及点P的坐标代入，求出m即可． 【详解】（1）∵扣球时，当羽毛球的水平距离为2m时，飞行高度为2m， ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当时，， 则点P的坐标为， ∴， 解得或（舍去）； （2）令中，则， ∴球网的高度为1.6m， 选择吊球，二次函数， ∴选择吊球的方式也刚好能使球过网； （3）∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降0.3m， ∴点P的坐标为 设向前移动m米，则二次函数解析式为 将点及点P的坐标代入， 得， 解得， ∴他应该向正前方移动米吊球，才能让羽毛球刚好落在点C正上方0.4m处． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与实际问题，以及二次函数图象的平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移． 2．（2023·浙江台州·二模）某次三人垫球训练要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少．甲在处将球垫偏之后，乙跑到在处按球传给丙，丙在处传回给处的甲．球沿抛物线运动假设抛物线，在同一平面内，处离地面的距离为米．如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)甲垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由； (3)丙垫球后，若球在运动中离地面的最大高度达到要求，丙垫球处离地面的高度至少为多少米？ 【答案】(1) (2)没有达到要求，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式； （2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案； （3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点B的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线表达式为，且经过点，， ∴， 解得：, ∴抛物线表达式为： （2）最大高度未达到要求，理由如下： 由（1）得，抛物线的函数表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵处离地面的距离为米， ∴球在运动中离地面的最大高度为， ∴最大高度未达到要求； （3）由（1）可知，， ∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵球在运动中离地面的最大高度达到要求， ∴, ∴或， ∵对称轴在轴负半轴， ∴， ∴， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为, ∴点离地面的高度至少为（米） 3．（23-24九年级下·浙江湖州·阶段练习）某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是拋物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． x（米） 0 0.4 1 1.6 … y（米） 2 2.16 2.25 2.16 …      (1)球经发球机发出后，最高点离地面______米：求y与x的函数解析式； (2)发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与之间满足函数关系． ①为确保球在米高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离是多少米； ②通过计算判断第一、二次发球后飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【答案】(1)2.25， (2)①球拍的接球位置距离发球机2米；②不超过1米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）利用对称性质求得对称轴，得到最高点的坐标可求得最高点离地面2.25米；再利用待定系数法即可求得与的函数解析式； （2）①求得当时，的值，即可求解； ②通过计算得到高度差，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，，即顶点为， ∴球经发球机发出后，最高点离地面2.25米， 设与的函数解析式为， 将代入， 解得， ∴； 故答案为：2.25； （2）①当，整理得， ∴（舍） ∴即球拍的接球位置距离发球机2米． ②球的高度差为： ∵， ∴当时，球的高度差最大为米． ∵， ∴不超过1米． 【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】 【例6】（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【答案】(1)①；② (2)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． （1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解； ②依据题意，把代入即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，利用，得出与的关系，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得 ． ． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入， 得， 得； （2）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为． ， ． 把代入，得， ． ． 水柱达到的最大高度8米． 1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题： （1）运用待定系数法求解即可； （2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ， 射水鱼在原点处， 将代入8，得， 解得或（舍去）， 水柱的解析式为 （2）解：①令，得， 解得或， ， ， 射水鱼需要向右游动才能击中昆虫． ②由题意得，， 经过射水鱼恰好能击中昆虫． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h． (1)已知．若喷水口在P处，，． ①求水线最高点与点B之间的水平距离； ②求水线的最大高度； ③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． (2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度． 【答案】(1)①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米 (2)水线的最大高度是米 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质． （1）①根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答；②根据抛物线对称轴为直线，得出，得出，设，把代入得求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式，即可解答；③把代入，求出函数值，结合二次函数的增减性，即可解答； （2）设，则，则抛物线对称轴为直线，，设该抛物线解析式为． ，代入得，推出，即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴水线最高点与点B之间的水平距离为2米； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， 设， 把代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵，， ∴当时，y取最大值， ∴水线的最大高度为米； ③把代入得：， 解得：， ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴该点与O的水平距离应小于4米； （2）解：设，则， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， 设该抛物线解析式为． ∵， ∴， 设， 把，代入得： ， 得：， ∴， ∴水线的最大高度是米． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．      (1)若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时a、b的值； (2)若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)9米 (3) 【分析】（1）根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得a，b的值； （2）根据，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度； （3）抛物线的顶点在直线上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得a的范围． 【详解】（1）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达， ∴，， 解得，，， 即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时a、b的值分别是，2； （2）解：，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边，抛物线的顶点在直线上， ∴此时抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米； （3）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：， 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】 【例7】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 1．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用预计2023年第一季度我省的总值=2022年第三季度我省的总值每季度我省总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论． 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 3．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】 【例8】（2024·浙江金华·二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解； （2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解； （3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）由题意，设， ． 又在抛物线， ． 或（舍去）． ； 答：门高为； （3）由题意，，， 直线为． 又∵， 可设为． ． ． △． ． 直线为． 令， ．即， 答：此时的长为． 1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为 （3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时 【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位； （2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可； （3）把带入解析式求解，与比较即可； （4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值． 【详解】（1）反应时间 所以驾驶员正常的反应时间为秒 （2）解：图像如下： 由图像大致可知函数图象为二次函数， 因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入： 函数表达式为． （3）把代入， 解得（舍）． 车速大于限速， 所以该车已超速行驶． （4）设汽车刹车前的速度为千米/小时． 则根据停车距离反应距离制动距离， 可列： 整理得：， 取最大距离，则 解得（舍） 汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时． 【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元 【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为； （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可． 任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可． 【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为： ． （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时， ， 将代入得：， 解得：，， 为了保证净收入又能吸引顾客，应取， ∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元． 任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为： （元）， 每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为： ， ∵，且x为整数， ∴当或时，获得利润最大， ∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为： （元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列出函数解析式． 3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二、不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三、 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 【经典例题九 二次函数其他问题】 【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用， （1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可． 【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，      则点A的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得 ，解得， 滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系   运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 即 运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，   点Q在底面下方竖直距离， 把代入得， ， 解得， 点， ，， ， ， 设与k的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ， ， 射线的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， 俯角至少15度． 2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息： （秒） 0 4 8 12 16 20 24 … S（米） 256 196 144 100 64 36 16 … 当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考： (1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法； (2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式； (3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间） 【答案】(1)见解析 (2)二次， (3)28秒 【分析】本题考查了二次函数的应用，画函数图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键． （1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解； （3）将代入，解方程即可求出的值，再用即可得出结论． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数， 设， 将，，代入中， 得：， 解得：， 该函数的表达式为； （3）解：依题意，当时，， 解得：， ， 地铁的停靠时间为28秒． 3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 【经典例题十 二次函数综合问题】 【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 【答案】(1)①；② (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围； （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可． 【详解】（1）解：①二次函数过点 二次函数的表达式为； ② 时，随的增大而减小 即当随的增大而减小时，的取值范围为； （2）二次函数 抛物线的对称轴为 点 和点关于对称轴对称 把点代入得 解得 . 1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)以，，，为顶点的四边形的面积为8 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质： （1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到； （3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵且， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （3）解：当时，解得或 ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8． 2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可． （1）把点，代入二次  函数，即可； （2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可． （3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． （2）∵与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵点在直线上，且横坐标为， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． （3）存在，理由如下： ∵点与点关于直线对称 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接，交点为点， ∴点是，的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵点是，的中点， ∴，， 设点， ∵点，， ∴， ∴点， ∵点，， ∴， 点； 综上所述，点或．    3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．    (1)求抛物线的解析式及的面积． (2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为：；面积为 (2)点的横坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数的综合； （1）根据题意可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可，根据解析式得，，，根据三角形面积公式即可求解； （2）过点作轴，交于点，易求得直线的解析式为，则设点，则点，然后可得，进而可得方程，最后问题可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为． 抛物线经过点， ． ． 抛物线的解析式为． 令，解得，． ，． 当时，， ． ． （2）解：如图，过点作轴，交于点．    设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为． 设点，则点， ∵， ． ． ． 解得，． 综上所述，点的横坐标为或． 1．某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（    ） A．6元 B．7元 C．8元 D．9元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均利润为元，根据列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均利润为元，由题意得； ； ； ∵； ∴当时，y有最大值； 故选：C． 2．如图二次函数图象与轴交于，两点（点在轴的负半轴），与轴交于一点，过作轴交图象于点，连结，，若，则点的横坐标为　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易得四边形为平行四边形，则，求得抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性可得，设点的横坐标为，点的横坐标为，于是，再根据根与系数的关系可得，求出即可． 【详解】解：轴，轴， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 二次函数的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可知，点关于直线的对称点为点， 点的横坐标为2，即， ， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点的横坐标为4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点坐标，利用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点的横坐标是解题关键． 3．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 5．学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴， 根据题意，， 设抛物线解析式为 ， 将Q点坐标代入解析式得，， 解得：， 所以抛物线解析式为：， 当时，即， 解得：，或（舍去）， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是. 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 6．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元． 【答案】 10240 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 7．飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质；先求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：把，代入得， ， 解得 ∴， ∴时，最大，即飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒， 故答案为：． 8．如图所示，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与正方形的综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．先将点代入求出抛物线解析式，由正方形的性质可知点的纵坐标是3，即可求出点的横坐标，结合正方形的性质可得答案． 【详解】解：将点代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的纵坐标是3， 当时，可有， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标是， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 9．图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米．      【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，令，求得，进而当时，求得，进而即可求解． 【详解】解：令， 解得：舍去或米， 则， 则米， 当时，（米）， 则米， 故答案为：． 10．如图，已知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 【答案】 【分析】（1）由，可以求出、、、四点的坐标，将（或）、代入，即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，再利用顶点横坐标代入即可求出点E的坐标； （2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ， 设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、， 联立与，整理得，由韦达定理可得：，，由完全平方公式可得并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，利用过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，可得，建立等量关系求解即可； 【详解】解：∵抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上， ∴设表达式为， ∵，且， ∴，，，， 即：，，，， 将，代入 ，解得： ∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C， ∴设表达式为 将，代入得： ，解得： ∴ 当时， ∴； 故答案为 设过定点的直线表达式为， 将代入得：，即： ∴， 设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、， ∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等， ∴，即： 与联立得： 整理得： ， ∴ 与联立得： 整理得： ， ∴ ∵ 即：， 整理得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了求函数表达式，二次函数的顶点坐标，函数求交点坐标，韦达定理，完全平方公式等知识点，掌握利用点的坐标求出表达式，联立关系式求交点等基本的函数思路，重点是利用截线段相等转化出交点横坐标差的绝对值相等，并利用韦达定理及完全平方公式将数形结合是解题的关键． 11．一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意求出米，利用矩形面积公式即可得到答案； （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质和每段栅栏不可分割即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．则米，根据题意可得， ， ∵且 ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）， ∵，每段栅栏不可分割， ∴当或时，y有最大值，最大值为， 答：当或时，所围矩形土地的面积最大． 12．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m），飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表． 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … (1)直接写出水平距离关于飞行时间的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） (2)求飞行高度关于飞行时间的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离． 【答案】(1)水平距离关于飞行时间t的函数解析式为； (2)飞行高度y关于飞行时间t的函数解析式为； (3)飞机落到安全线时飞行的水平距离为． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式以及一元二次方程的应用，关键是把实际问题分析转变成数学模型． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求解即可； （3）令二次函数代入函数解析式即可求解； 【详解】（1）解：假设x与t是一次函数关系， 因为时，设， 把代入，得：，， 解得：， ∴， 验证：当时，， 当时，， 假设成立，水平距离关于飞行时间t的函数解析式为； （2）解：假设y与t是二次函数关系，设， 把；；代入， ， 解得：， ， 验证：当时，， 当时，， 假设成立，飞行高度y关于飞行时间t的函数解析式为； （3）解：依题意，得． 解得，（舍），， 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． 13．某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下： 素材 内容 素材1 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形 素材3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留） (3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的解析式为： (2) (3)杯中液体深度为或 【分析】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，,分别求出，,即可得出结果； （3）分和进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴， 设抛物线的解析式为：， 将点代入，得，解得． 抛物线的解析式为：． 设抛物线的解析式为：，将点代入， 得，解得． 抛物线FCG的解析式为：． （2）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为， 由题可知，当男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为时，． 在抛物线中：将代入解析式得， ， 两者液体最上层表面圆面积之差为； （3）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为， 当时， 即 解得．此时深度为． 当时，， 即．解得． 此时深度为．综上所述：杯中液体深度为或． 14．已知：、、．抛物线过、、三点．求：连接，抛物线上找点，使时点的坐标．． 【答案】点的坐标为，． 【分析】本题考查的是二次函数、一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．根据待定系数法，可得抛物线以及直线的解析式，过点作于，过点作轴于，过点作于，设，证明，根据全等三角形的性质得，，则，代入抛物线解析式可得答案． 【详解】解：设抛物线为， 由题意得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 设直线的解析式为， 由题意得，， 解得， 直线的解析式为， 过点作于，过点作轴于，过点作于， ，，， ， ，， ， 设， ，， 在和中， ， ， ，， ， 代入得：， 或0（舍去）， 点的坐标为，． 15．图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可． （1）把点，代入二次  函数，即可； （2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可． （3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． （2）∵与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵点在直线上，且横坐标为， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． （3）存在，理由如下： ∵点与点关于直线对称 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接，交点为点， ∴点是，的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵点是，的中点， ∴，， 设点， ∵点，， ∴， ∴点， ∵点，， ∴， 点； 综上所述，点或．    学科网（北京）股份有限公司 $$