专题1.1 全等三角形的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题1.1 全等三角形的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、全等图形的判定 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 二、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等） · 典例分析 【典例1】【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【解题过程】 解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， ． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】 利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断． 【解题过程】 解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌，所以正确； ， ， ，所以正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ，所以错误； ≌， ， ， ， ， ，所以正确． 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【解题过程】 解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 在直角三角形中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；如图所示（见详解），过点作于，可证，，由此可知，． 【解题过程】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵点为中点， ∴， 在中，，三角形中，两边之和大于第三边， ∴，故②错误； 如图所示，过点作于， ∵， ∴， 点是中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，为公共边， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； 如图所示，过点作于， 由结论④可知，，， ∴，，， 在中，点是中点， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①③④，共3个 故选：B． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或．    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【思路点拨】 此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．本题根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，可判断③，分2种情况求出x的值可判断④． 【解题过程】 解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②正确； ③如图所示，        当，时， 点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴和不全等，故③错误； ④当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴若与全等，则或，故④正确． 综上所述，正确的选项为①②④． 故选：C． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 【思路点拨】 本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、全等三角形的常见辅助线-截长补短等知识点，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．①根据即可判断；②假设，可推出得到，即可判断；③在上取一点，使得，证、即可判断；④作，证 ，设，根据即可判断． 【解题过程】 解：∵ ∴ ∵平分平分 ∴ ∴，故①正确； 如图1所示： ∵平分平分 ∴ 若， 则 ∴ ∴ ∵， ∴，与题目条件不符，故②错误； 在上取一点，使得，如图1所示： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确； 作，如图2所示： ∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 即： ∴ 设，则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴，故④正确； 故选：C 6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，利用全等三角形的判定和性质，可以证明，由此即可一一判断． 【解题过程】 解：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴，故①②正确， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确， 在和中， ， ∴，故③正确， 故答案为：①②③④． 7．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点C在线段上，，，，且，，，，连接，，则 ．    【思路点拨】 根据等腰三角形的性质推出，求出即可求出答案． 【解题过程】 解：连接，    ∵ ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .    【思路点拨】 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连结，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可． 【解题过程】 解：如图，延长交 的角平分线于点，连接．    平分，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）    【思路点拨】 根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断③是否正确；通过证明，利用性质判断②是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确，从而得解． 【解题过程】 解：∵的角平分线、相交于点O， ∴，， ， 故①正确； 延长交于H，如图所示：    ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵同高的两个三角形面积之比等于底边长之比， ∴， 故④正确； 因此正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 10．（22-23八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 【思路点拨】 先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【解题过程】 解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 故答案为：或6或8 . 11．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，． （1）求的度数； （2）求证：． 【思路点拨】 本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）先由得，然后根据三角形内角和得到，所以； （2）在上截取，连接，先证明，得；再证明，得，所以． 【解题过程】 （1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 的度数是； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ； ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 12．（22-23七年级下·重庆南岸·期末）在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上． （1）如图1，若，请说明 （2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【思路点拨】 （1）由，，可得，结合，，可证，即可求解， （2）在上取点，使，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过辅助线构造全等三角形． 【解题过程】 （1）解：，， ， ，， ， ， （2）解：在上取点，使， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ，即， ， ，即：， ． 13．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【思路点拨】 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解题过程】 解：（1）∵直线m，直线m， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）成立．证明如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【思路点拨】 （1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【解题过程】 解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 15．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【思路点拨】 本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【解题过程】 证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 16．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）在中，，，．是经过点的直线，于，于． （1）求证： （2）若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：． （3）在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：． 【思路点拨】 （1）首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得； （2）首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； （3）首先证明，然后再证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【解题过程】 （1）如图1，，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）如图2，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图3，过作交于， ， ， ， ， 由（2）得：， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 【解题过程】 解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 18．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 （1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【思路点拨】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 19．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 【思路点拨】 （1）在上截取，连接，可证明，得，，则，由，求得，则，所以，即可证明； （2）在上截取，连接，可证明，得，，由，，得，则，所以，即可证明； （3）在的延长线上取一点，使，连接，可证明，得，，所以，而，可推导出，则，所以． 【解题过程】 解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）， 理由：如图②，在上截取，连接，    为平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． （3）， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接，    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．（2023·广西南宁·二模）如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若． （1）猜想线段与的位置关系，并证明； （2）有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值． 【思路点拨】 （1）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，再求出，，①当时，在线段上，然后由三角形面积公式得，即可求解； ②当时，在射线上，由三角形面积公式得，即可求解； （3）①当点在线段延长线上时，证，当时，，此时，求解即可； ②当点在线段上时，证，当时，，此时，求解即可． 【解题过程】 （1），理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，， 由（1）可知，， ， 分两种情况： 当时，在线段上，如图1， ， 解得：（舍去）； 当时，在射线上，如图2， ， 解得：， 此时与重合； 综上所述，存在的值，使得的面积为27，的值为； （3）由（1）可知，， ， 当点在线段延长线上时，如图3， ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 当点在线段上时，如图4， ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 全等三角形的综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、全等图形的判定 判定方法 解释 图形 边边边 (SSS) 三条边对应相等的两个三角形全等 边角边 (SAS) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角 (ASA) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 角角边 (AAS) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 二、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等） · 典例分析 【典例1】【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【解题过程】 解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， ． · 学霸必刷 1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若．则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，： ③若，，时，； ④若与全等，则或．    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，锐角中，平分平分与相交于点，则下列结论①；②连接，则；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．③④ 6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（将你认为正确的结论序号都填上） 7．（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点C在线段上，，，，且，，，，连接，，则 ．    8．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，，，为内一点，且，，则 .    9．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在直角三角形中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的结论是 ．（只填写序号）    10．（22-23八年级上·江西赣州·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 11．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，． （1）求的度数； （2）求证：． 12．（22-23七年级下·重庆南岸·期末）在点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上． （1）如图1，若，请说明 （2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 13．（23-24八年级上·吉林·期末）（1）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m．直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 15．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    16．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）在中，，，．是经过点的直线，于，于． （1）求证： （2）若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：． （3）在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：． 17．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 18．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 （1）【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； （2）【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 19．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 20．（2023·广西南宁·二模）如图，在中，为高，．点为上的一点，，连接，交于，若． （1）猜想线段与的位置关系，并证明； （2）有一动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）条件下，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$