专题11 有理数的混合运算（新知讲练+高频易错点+四大模块讲练+培优精练）-2024年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题11 有理数的混合运算 （新知讲练+高频易错点+四大模块讲练+培优精练） 知识目标 熟练掌握有理数的运算法则和运算律，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等。 深入了解有理数的混合运算顺序，能够按照先乘除后加减、括号优先的原则进行运算。 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算，并能够合理运用运算律简化运算过程。 能力目标 培养学生的运算能力和思维逻辑能力，使学生能够准确、迅速地进行有理数的混合运算。 提升学生的解决实际问题的能力，使学生能够运用有理数的混合运算知识解决日常生活中的实际问题。 培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、合作解题等方式，提高学生的协作能力和沟通能力。 小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，是按照怎样的顺序进行的？ （1）6÷3×2；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （2）6÷；本题含有 种运算，还含有 ，应先算 ，再算 ； 比较（1）（2）的运算顺序，你能得到什么结论？ ________________________________________________________________________________ （3）17－8÷＋4×；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （4）32－50÷22×＋1；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； 然后再算 。 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 有理数混合运算一般按怎样的顺序进行？ 小学里，我们学过哪些运算律？ 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、 乘法结合律，乘法分配律． 这些运算律在有理数范围内依然成立 知识点01：有理数的加减法 同号数相加：绝对值相加，取相同的符号。 异号数相加：绝对值相减，取绝对值较大的数的符号。 减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 知识点02：有理数的乘法 乘法计算：两数相乘，绝对值相乘，符号根据两数符号的乘积决定。 乘法运算律：包括乘法交换律、乘法结合律。 知识点03：有理数的除法 除法计算：两数相除，绝对值相除，符号根据两数符号的相除决定。 分数除法可以转化为乘法：即分数的除法等于乘以除数的倒数。 知识点04：有理数的混合运算顺序 先乘除后加减：当有理数的混合运算包含加减乘除时，先进行乘除运算，再进行加减运算。 括号优先：如果有括号，先进行括号内的运算。 知识点05：有理数混合运算的应用 分数的混合运算：在分数的混合运算中，常常需要进行分数化简、约分等操作。 运算律的应用：合理地利用加法和乘法的运算律可以简化计算过程，如分配律和分配律的逆向使用。 知识点06：高频易错知识点 易错点01：运算顺序错误 乘除与加减混淆：学生容易在运算过程中混淆乘除和加减的优先级。正确的运算顺序是先乘除后加减，但在实际计算时，学生可能会先计算加减再计算乘除，导致结果错误。 括号使用不当：在有括号的混合运算中，学生可能会忽略括号内的运算优先级，或者在去括号时出错，导致整个计算过程出错。 易错点02：符号处理不当 负号处理错误：有理数运算中涉及到负数的加减乘除，学生在处理负号时容易出现错误。例如，在减去一个数时，学生可能会忘记变号，或者将负数与正数混淆。 乘方符号处理错误：对于负数的乘方运算，学生可能会忘记负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一规则，导致计算错误。 易错点03：概念理解不全面 倒数与相反数混淆：学生可能会将倒数和相反数的概念混淆，导致在运算过程中出现错误。例如，将互为倒数的两个数相乘得到的结果误认为是它们的相反数。 乘方与乘法混淆：学生可能会将乘方运算和乘法运算混淆，尤其是在处理含有乘方和乘法的混合运算时，容易出现错误。 易错点04：乱用运算律 滥用加法交换律和结合律：虽然加法交换律和结合律在有理数运算中适用，但学生在使用时可能会过度简化或错误地应用这些运算律，导致计算错误。 错误使用乘法分配律：乘法分配律是有理数运算中的一个重要定律，但学生在使用时可能会错误地将它应用于不满足条件的情况，如将分配律应用于除法运算等。 易错点05：错用乘方意义 乘方与乘法混淆：乘方表示的是几个相同的数相乘，而学生可能会错误地将乘方理解为乘法，导致计算错误。 底数与指数混淆：在乘方运算中，底数和指数的位置和意义是不同的。学生可能会将底数和指数混淆，导致计算错误。 【典例精讲】（2020秋•徐州期中）下列运算中，结果最小的是（　　） A．2+（﹣3） B．2×（﹣3） C．2﹣（﹣3） D．﹣32 【思路点拨】根据有理数的运算法则分别计算，再比较大小即可求解． 【规范解答】解：A、2+（﹣3）＝﹣1， B、2×（﹣3）＝﹣6， C、2﹣（﹣3）＝5， D、﹣32＝﹣9， 所以结果最小的是﹣9； 故选：D． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．也考查了有理数大小比较． 【变式演练01】（2023秋•南京期末）计算﹣3×2﹣8÷（﹣2）的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．7 【思路点拨】先算乘除，后算加减，即可解答． 【规范解答】解：﹣3×2﹣8÷（﹣2） ＝﹣6+4 ＝﹣2， 故选：B． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式演练02】（2020秋•溧阳市期中）计算题： （1）（﹣2）+（+8）+（﹣8）； （2）（）； （3）（）×（﹣36）； （4）﹣12×[2﹣（﹣6）]﹣30÷（﹣3）． 【思路点拨】（1）把互为相反数的先加，比较简单； （2）把除法先统一成乘法，约分即可； （3）利用乘法对加法的分配律，比较简便； （4）先乘方、计算括号里面的，再乘除，最后加减． 【规范解答】解：（1）原式＝﹣2+8﹣8 ＝﹣2+（8﹣8） ＝﹣2； （2）（） （） ； （3）（）×（﹣36） ＝（）×（﹣36）（﹣36）（﹣36） ＝18+6﹣27 ＝﹣3； （4）﹣12×[2﹣（﹣6）]﹣30÷（﹣3） ＝﹣1×8+10 ＝﹣8+10 ＝2． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，题目难度不大，掌握有理数的运算法则和顺序是解决本题的关键． 【典例精讲】（2023秋•沭阳县期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用加法的交换律与结合律计算即可； （2）先算乘方及括号里面的，再算乘法，最后算加法即可． 【规范解答】解：（1）原式＝（﹣1.5﹣8.5）+（1.25+10.75） ＝﹣10+12 ＝2； （2）原式（﹣90.8）+（） （﹣1）+（） （）+（） ＝﹣8.1﹣2.25 ＝﹣10.35． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式演练01】（2023秋•赣榆区校级月考）计算： （1）（﹣10）﹣（﹣22）+（﹣8）﹣13； （2）3×5﹣（﹣5）×5+（﹣1）×5； （3）（﹣81）（﹣16）； （4）﹣22+（﹣3）×|﹣4|． 【思路点拨】（1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘法，再算加减即可； （3）利用有理数的乘除法则计算即可； （4）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【规范解答】解：（1）原式＝﹣10+22﹣8﹣13 ＝12﹣8﹣13 ＝4﹣13 ＝﹣9； （2）原式＝15+25﹣5 ＝40﹣5 ＝35； （3）原式＝﹣81（） ＝1； （4）原式＝﹣4+（﹣3）×4﹣9×（﹣2） ＝﹣4﹣12+18 ＝2． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式演练02】（2023秋•射阳县期末）先观察下列各式，再完成题后问题： ；；． （1）①请仿照上面各式的结构写出：　　； ②　　；（其中，n为整数，且满足n≥1） （2）运用以上方法思考：求的值． 【思路点拨】（1）①直接利用已知将原式分成两分数的差即可； ②利用已知中规律将原式化简求出答案； （2）首先提取，进而利用已知规律化简求出答案． 【规范解答】解：（1）①； 故答案为：； ②原式 ； 故答案为：； （2）原式 ． 【考点评析】此题主要考查了数字变化规律，正确将已知分数化简变形是解题关键． 【典例精讲】（2023秋•通州区期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3※5＝8， （﹣3）※（﹣5）＝8. （﹣3）※5＝﹣8， 3※（﹣5）＝﹣8. 3※0＝3， （﹣3）※0＝3. 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　绝对值相加　.任何数同0进行“※”运算，都得 　这个数的绝对值　． 【运用】 （2）计算：（﹣12）※（4※0）； （3）化简：（﹣7）※x． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【思路点拨】（1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【规范解答】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2）（﹣12）※（4※0） ＝（﹣12）※4 ＝﹣16； （3）当x＞0时，（﹣7）※x＝﹣（7+x）＝﹣7﹣x； 当x＝0时，（﹣7）※x＝7； 当x＜0时，（﹣7）※x＝7﹣x． 【考点评析】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义． 【变式演练】（2023秋•仪征市期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“a⊕b”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕3＝5，（﹣2）⊕3＝﹣5，2⊕（﹣3）＝﹣5，（﹣2）⊕（﹣3）＝5，（﹣2）⊕（﹣2）＝4，2⊕（﹣2）＝﹣4，2⊕0＝2，（﹣2）⊕0＝2，…… （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　正　，异号得 　负　，并把绝对值 　相加　；一个数与0相“乘加”等于 　这个数　； （2）根据法则计算：（﹣4）⊕2＝　﹣6　； ⊕（﹣3）＝　　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①[（﹣11）⊕0]⊕（﹣4）； ②[6⊕（﹣1）]⊕[（﹣1）⊕]． 【思路点拨】（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果； （3）根据新的运算和括号的作用，计算出结果． 【规范解答】解：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数， 故答案为：正，负，相加，这个数． （2）（﹣4）⊕2＝﹣（|﹣4|+|2|）＝﹣6； ⊕（﹣3）＝||+|﹣3|＝3， 故答案为：﹣6；3． （3）①[（﹣11）⊕0]⊕（﹣4） ＝（﹣11）⊕（﹣4） ＝15； ②[6⊕（﹣1）]⊕[（﹣1）⊕] ＝（﹣7）⊕（﹣1） ＝8． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． 【典例精讲】（2023秋•景县校级期末）某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是（　　） A．15% B．10% C．25% D．20% 【思路点拨】先算出此商品卖出时的利润，即132﹣110＝22，那么此商品的利润率为． 【规范解答】解：此商品的利润为132﹣110＝22， 那么商品的利润率为20%． 故选：D． 【考点评析】本题考查了一般的计算问题．正确理解利润、进价、售价、和利润率之间的关系为解题关键． 【变式演练01】（2023秋•工业园区校级期中）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 　1+4+3+16＝24（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据题意列式计算即可． 【规范解答】解：1+4+3+16＝24， 故答案为：1+4+3+16＝24（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查有理数的运算，由题意列得计算结果等于24的算式是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可． 【变式演练02】．（2023秋•姑苏区校级月考）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为﹣39℃，求此处的高度是多少千米？ 【思路点拨】根据题意，此处的高度＝（﹣39﹣21）÷（﹣6）×1，求出数值，即为高度． 【规范解答】解：∵高度每增加1km，气温大约降低6℃，某地区的地面温度为21℃，高空某处的温度为﹣39℃， ∴该处的高度为：（﹣39﹣21）÷（﹣6）×1＝10（km）， 答：此处的高度是10千米． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算在实际生活中的应用．根据题意列出关系式是解题的关键． 1．（2023秋•平山县期末）下列计算错误的是（　　） A．﹣3﹣5＝﹣8 B．3÷9×（）＝﹣3 C．8÷（）＝﹣32 D．3×23＝24 【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：A、原式＝﹣8，不符合题意； B、原式（），符合题意； C、原式＝8×（﹣4）＝﹣32，不符合题意； D、原式＝3×8＝24，不符合题意， 故选：B． 【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2023秋•宿迁期中）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，则4（a+b）+3xy的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【思路点拨】利用相反数，倒数的定义求出a+b，xy的值，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】解：根据题意得：a+b＝0，xy＝1， 则原式＝3， 故选：C． 【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023秋•锡山区校级月考）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣14 C．﹣7 D．﹣22 【思路点拨】直接利用运算程序，进而计算得出答案． 【规范解答】解：当x＝﹣2时，﹣2×3﹣（﹣1）＝﹣6+1＝﹣5， 则x＝﹣5时，﹣5×3﹣（﹣1）＝﹣15+1＝﹣14， 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 4．（2023秋•天宁区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　） A．45 B．46 C．52 D．53 【思路点拨】根据数字的变化可知，a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，根据此规律求出a即可． 【规范解答】解：∵23＝3+5， 33＝7+9+11， 43＝13+15+17+19， 53＝21+23+25+27+29， …， ∴a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数， ∵45×（45﹣1）+1＝1981， 46×（46﹣1）+1＝2071， ∴奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数， ∴a＝45， 故选：A． 【考点评析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，归纳出a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数是解题的关键． 5．（2023秋•工业园区校级期中）公元前1世纪，我国古代最重要的数学著作《九章算术》，就论述了有理数的加减运算法则，它是至今发现的世界上最早论述“正负数”的数学著作．如果收入350元记作“+350”，那么“﹣80元”表示 　支出80元　． 【思路点拨】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【规范解答】解：收入350元记作“+350”，那么“﹣80元”表示支出80元， 故答案为：支出80元． 【考点评析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 6．（2023秋•沛县校级月考）在一种游戏ad﹣bc规定，则　19　． 【思路点拨】根据题意列式计算即可． 【规范解答】解：原式＝﹣3×（﹣3）﹣（﹣5）×2 ＝9+10 ＝19， 故答案为：19． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 7．（2023秋•江都区期末）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃．有一座海拔为2750米的山，在这座山上海拔为250米的地方测得气温是8℃，则此时山顶的气温约为 　﹣7　℃． 【思路点拨】根据题意，可以列出算式8﹣（2750﹣250）÷100×0.6，然后计算即可． 【规范解答】解：8﹣（2750﹣250）÷100×0.6 ＝8﹣2500÷100×0.6 ＝8﹣15 ＝﹣7（℃）， 故答案为：﹣7． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 8．（2022秋•宿豫区期末）我们平常使用的数是十进制数，以10作为进位基数的数字系统，采用0～9共10个基本数字．有时用到八进制数，它是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021（规定80＝1），则八进制数3747换算成十进制数是 　2023　． 【思路点拨】依据题意，根据所给八进制转换成十进制的例子进行计算可以得解． 【规范解答】解：由题意得，3747换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+7×80＝2023． 故答案为：2023． 【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 9．（2023秋•亭湖区校级月考）规定一种新运算“★”，对于任意有理数a，b，若a≥b，则a★b＝a﹣b；若a＜b，则a★b＝b﹣a．根据这种新运算，计算（3★2）★2＝　1　． 【思路点拨】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算计算得出结果即可． 【规范解答】解：（3★2）★2 ＝（3﹣2）★2 ＝1★2 ＝2﹣1 ＝1． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 10．（2023秋•启东市期末）计算：（1）（﹣1）+（）； （2）﹣22+[（）×（﹣3）22]． 【思路点拨】（1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方及括号里面的，再算加法即可． 【规范解答】解：（1）原式＝﹣1+（）×24 ＝﹣1242424 ＝﹣1+8﹣4﹣3 ＝0； （2）原式＝﹣4+（14） ＝﹣4+（1） ＝﹣4+（1） ＝﹣4 ． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 11．（2023秋•锡山区校级月考）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”．一般地，把n个a（a≠0）相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝　　，　﹣27　； （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　　； （3）算一算：24÷23+（﹣8）×2③． 【思路点拨】（1）根据新定义列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）利用新定义及有理数的运算法则计算即可． 【规范解答】解：（1）2③＝2÷2÷2； （）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣27； 故答案为：；﹣27； （2）aⓝ＝a÷a÷a÷a÷…÷a ＝a1﹣1﹣1﹣…﹣1 ， 故答案为：； （3）原式＝24÷8+（﹣8） ＝3﹣4 ＝﹣1． 【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．（2023秋•射阳县期末）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是﹣4，点B对应的数字是m． （1）若AB＝2，求m的值； （2）点C是直线AB上一点且AC＝2BC，若m＝2，点C对应的数字是n，求n的值． 【思路点拨】（1）根据AB＝2可列式m﹣（﹣4）＝2，再求解即可； （2）用n表示出AC及BC的长，再由AC＝2BC得出n的值即可． 【规范解答】解：（1）由题意得，m﹣（﹣4）＝2， 解得m＝﹣2， ∴m的值是﹣2； （2）∵m＝2，点C对应的数字是n， ∴AC＝|﹣4﹣n|，BC＝|2﹣n|， ∵AC＝2BC， ∴|﹣4﹣n|＝2|2﹣n|， ∴|4+n|＝2|2﹣n|， ∴4+n＝2（2﹣n）或4+n＝﹣2（2﹣n）， 解得n＝0或n＝8． 【考点评析】本题考查的是有理数的混合运算及数轴，熟知有理数混合运算的法则及数轴的特点是解题的关键． 13．（2022秋•南通期末）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位：km）： +3，+1，﹣2，+9，﹣8，+2，﹣4，+5，﹣3，+2． （1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程； （2）若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 【思路点拨】（1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果； （2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可． 【规范解答】解：（1）3+1﹣2+9﹣8+2﹣4+5﹣3+2＝5（km） 20×10+5＝205（km）， 答：小明家这10天轿车行驶的路程为205km． （2）205×3÷100×7×8＝344.4（元）， 答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为344.4元． 【考点评析】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． 14．（2023秋•云龙区校级月考）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题： （1）求7※（﹣3）的值； （2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？ 【思路点拨】（1）把所给定义式中的a换成7、b换成﹣3代入计算即可． （2）根据（1）中所给的定义先分别计算出7※（﹣3）与（﹣3）※7的值，然后比较计算结果即可． 【规范解答】解：（1）7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21 （2）不相等．理由是： ∵7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21，（﹣3）※7＝（﹣3+2）×2﹣7＝﹣2﹣7＝﹣9， 即：21≠﹣9 ∴7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义、运算顺序． 15．（2023秋•宜兴市月考）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； （2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上1m需要耗电0.25度，每向下1m需要耗电0.2度，每度电0.7元，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办完事电梯一共需要耗电多少元？ 【思路点拨】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解． 【规范解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10） ＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10 ＝28﹣28 ＝0， ∴王先生最后能回到出发点1楼； （2）王先生向上的路程是3×（6+10+12）＝84（m）， 王先生向下的路程是3×（3+10+8+7）＝84（m）， 84×0.25+84×0.2＝37.8（度）． 37.8×0.7＝26.46（元） 他办完事电梯一共需要耗电26.46元． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 有理数的混合运算 （新知讲练+高频易错点+四大模块讲练+培优精练） 知识目标 熟练掌握有理数的运算法则和运算律，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等。 深入了解有理数的混合运算顺序，能够按照先乘除后加减、括号优先的原则进行运算。 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算，并能够合理运用运算律简化运算过程。 能力目标 培养学生的运算能力和思维逻辑能力，使学生能够准确、迅速地进行有理数的混合运算。 提升学生的解决实际问题的能力，使学生能够运用有理数的混合运算知识解决日常生活中的实际问题。 培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、合作解题等方式，提高学生的协作能力和沟通能力。 小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，是按照怎样的顺序进行的？ （1）6÷3×2；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （2）6÷；本题含有 种运算，还含有 ，应先算 ，再算 ； 比较（1）（2）的运算顺序，你能得到什么结论？ ________________________________________________________________________________ （3）17－8÷＋4×；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （4）32－50÷22×＋1；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； 然后再算 。 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 有理数混合运算一般按怎样的顺序进行？ 小学里，我们学过哪些运算律？ 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、 乘法结合律，乘法分配律． 这些运算律在有理数范围内依然成立 知识点01：有理数的加减法 同号数相加：绝对值相加，取相同的符号。 异号数相加：绝对值相减，取绝对值较大的数的符号。 减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 知识点02：有理数的乘法 乘法计算：两数相乘，绝对值相乘，符号根据两数符号的乘积决定。 乘法运算律：包括乘法交换律、乘法结合律。 知识点03：有理数的除法 除法计算：两数相除，绝对值相除，符号根据两数符号的相除决定。 分数除法可以转化为乘法：即分数的除法等于乘以除数的倒数。 知识点04：有理数的混合运算顺序 先乘除后加减：当有理数的混合运算包含加减乘除时，先进行乘除运算，再进行加减运算。 括号优先：如果有括号，先进行括号内的运算。 知识点05：有理数混合运算的应用 分数的混合运算：在分数的混合运算中，常常需要进行分数化简、约分等操作。 运算律的应用：合理地利用加法和乘法的运算律可以简化计算过程，如分配律和分配律的逆向使用。 知识点06：高频易错知识点 易错点01：运算顺序错误 乘除与加减混淆：学生容易在运算过程中混淆乘除和加减的优先级。正确的运算顺序是先乘除后加减，但在实际计算时，学生可能会先计算加减再计算乘除，导致结果错误。 括号使用不当：在有括号的混合运算中，学生可能会忽略括号内的运算优先级，或者在去括号时出错，导致整个计算过程出错。 易错点02：符号处理不当 负号处理错误：有理数运算中涉及到负数的加减乘除，学生在处理负号时容易出现错误。例如，在减去一个数时，学生可能会忘记变号，或者将负数与正数混淆。 乘方符号处理错误：对于负数的乘方运算，学生可能会忘记负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一规则，导致计算错误。 易错点03：概念理解不全面 倒数与相反数混淆：学生可能会将倒数和相反数的概念混淆，导致在运算过程中出现错误。例如，将互为倒数的两个数相乘得到的结果误认为是它们的相反数。 乘方与乘法混淆：学生可能会将乘方运算和乘法运算混淆，尤其是在处理含有乘方和乘法的混合运算时，容易出现错误。 易错点04：乱用运算律 滥用加法交换律和结合律：虽然加法交换律和结合律在有理数运算中适用，但学生在使用时可能会过度简化或错误地应用这些运算律，导致计算错误。 错误使用乘法分配律：乘法分配律是有理数运算中的一个重要定律，但学生在使用时可能会错误地将它应用于不满足条件的情况，如将分配律应用于除法运算等。 易错点05：错用乘方意义 乘方与乘法混淆：乘方表示的是几个相同的数相乘，而学生可能会错误地将乘方理解为乘法，导致计算错误。 底数与指数混淆：在乘方运算中，底数和指数的位置和意义是不同的。学生可能会将底数和指数混淆，导致计算错误。 【典例精讲】（2020秋•徐州期中）下列运算中，结果最小的是（　　） A．2+（﹣3） B．2×（﹣3） C．2﹣（﹣3） D．﹣32 【变式演练01】（2023秋•南京期末）计算﹣3×2﹣8÷（﹣2）的结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．7 【变式演练02】（2020秋•溧阳市期中）计算题： （1） （﹣2）+（+8）+（﹣8）； （2）（）； （2） （）×（﹣36）； （4）﹣12×[2﹣（﹣6）]﹣30÷（﹣3）． 【典例精讲】（2023秋•沭阳县期末）计算： （1） ； （2）． 【变式演练01】（2023秋•赣榆区校级月考）计算： （1） （﹣10）﹣（﹣22）+（﹣8）﹣13； （2）3×5﹣（﹣5）×5+（﹣1）×5； （2） （﹣81）（﹣16）； （4）﹣22+（﹣3）×|﹣4|． 【变式演练02】（2023秋•射阳县期末）先观察下列各式，再完成题后问题： ；；． （1）①请仿照上面各式的结构写出：　　； ②　　；（其中，n为整数，且满足n≥1） （2）运用以上方法思考：求的值． 【典例精讲】（2023秋•通州区期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3※5＝8， （﹣3）※（﹣5）＝8. （﹣3）※5＝﹣8， 3※（﹣5）＝﹣8. 3※0＝3， （﹣3）※0＝3. 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　 　.任何数同0进行“※”运算，都得 　 　． 【运用】 （2）计算：（﹣12）※（4※0）； （3）化简：（﹣7）※x． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【变式演练】（2023秋•仪征市期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“a⊕b”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕3＝5，（﹣2）⊕3＝﹣5，2⊕（﹣3）＝﹣5，（﹣2）⊕（﹣3）＝5，（﹣2）⊕（﹣2）＝4，2⊕（﹣2）＝﹣4，2⊕0＝2，（﹣2）⊕0＝2，…… （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　 　，异号得 　 　，并把绝对值 　相加　；一个数与0相“乘加”等于 　 　； （2）根据法则计算：（﹣4）⊕2＝　 　； ⊕（﹣3）＝ 　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①[（﹣11）⊕0]⊕（﹣4）； ②[6⊕（﹣1）]⊕[（﹣1）⊕]． 【典例精讲】（2023秋•景县校级期末）某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是（　　） A．15% B．10% C．25% D．20% 【变式演练01】（2023秋•工业园区校级期中）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 　 　． 【变式演练02】．（2023秋•姑苏区校级月考）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为﹣39℃，求此处的高度是多少千米？ 1．（2023秋•平山县期末）下列计算错误的是（　　） A．﹣3﹣5＝﹣8 B．3÷9×（）＝﹣3 C．8÷（）＝﹣32 D．3×23＝24 2．（2023秋•宿迁期中）如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，则4（a+b）+3xy的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（2023秋•锡山区校级月考）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣14 C．﹣7 D．﹣22 4．（2023秋•天宁区校级月考）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，……已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2023，则a的值是（　　） A．45 B．46 C．52 D．53 5．（2023秋•工业园区校级期中）公元前1世纪，我国古代最重要的数学著作《九章算术》，就论述了有理数的加减运算法则，它是至今发现的世界上最早论述“正负数”的数学著作．如果收入350元记作“+350”，那么“﹣80元”表示 　 　． 6．（2023秋•沛县校级月考）在一种游戏ad﹣bc规定，则　 　． 7．（2023秋•江都区期末）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃．有一座海拔为2750米的山，在这座山上海拔为250米的地方测得气温是8℃，则此时山顶的气温约为 　 　℃． 8．（2022秋•宿豫区期末）我们平常使用的数是十进制数，以10作为进位基数的数字系统，采用0～9共10个基本数字．有时用到八进制数，它是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021（规定80＝1），则八进制数3747换算成十进制数是 　 9．（2023秋•亭湖区校级月考）规定一种新运算“★”，对于任意有理数a，b，若a≥b，则a★b＝a﹣b；若a＜b，则a★b＝b﹣a．根据这种新运算，计算（3★2）★2＝　 　． 10．（2023秋•启东市期末）计算：（1）（﹣1）+（）； （3） ﹣22+[（）×（﹣3）22]． 11．（2023秋•锡山区校级月考）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”．一般地，把n个a（a≠0）相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果：2③＝　　， ； （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 　 ； （3）算一算：24÷23+（﹣8）×2③． 12．（2023秋•射阳县期末）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是﹣4，点B对应的数字是m． （1）若AB＝2，求m的值； （2）点C是直线AB上一点且AC＝2BC，若m＝2，点C对应的数字是n，求n的值． 13．（2022秋•南通期末）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以20km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位：km）： +3，+1，﹣2，+9，﹣8，+2，﹣4，+5，﹣3，+2． （1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程； （2）若该轿车每行驶100km耗用汽油7L，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用． 14．（2023秋•云龙区校级月考）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题： （1）求7※（﹣3）的值； （2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？ 15．（2023秋•宜兴市月考）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10． （1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； （2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上1m需要耗电0.25度，每向下1m需要耗电0.2度，每度电0.7元，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办完事电梯一共需要耗电多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$